Armónicos sólidos

En física y matemáticas , los armónicos sólidos son soluciones de la ecuación de Laplace en coordenadas polares esféricas , que se supone que son funciones (suaves) . Hay dos tipos: los armónicos sólidos regulares , que están bien definidos en el origen y los armónicos sólidos irregulares , que son singulares en el origen. Ambos conjuntos de funciones juegan un papel importante en la teoría del potencial y se obtienen reescalando apropiadamente los armónicos esféricos : ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle I_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )}$

$${\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$$

$${\displaystyle I_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;{\frac {Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}{r^{\ell +1}}}}$$

Derivación, relación con armónicos esféricos.

Introduciendo r , θ y φ para las coordenadas polares esféricas del r de 3 vectores , y asumiendo que es una función (suave) , podemos escribir la ecuación de Laplace de la siguiente forma ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}r-{\frac {{\hat {l}}^{2}}{r^{2}}}\right)\Phi (\mathbf {r} )=0,\qquad \mathbf {r} \neq \mathbf {0} ,}$$

l ²operador de momento angular

$${\displaystyle \mathbf {\hat {l}} =-i\,(\mathbf {r} \times \mathbf {\nabla } ).}$$

Se sabe que los armónicos esféricos Y^metroℓ
_​son funciones propias de l ² :

$${\displaystyle {\hat {l}}^{2}Y_{\ell }^{m}\equiv \left[{{\hat {l}}_{x}}^{2}+{\hat {l}}_{y}^{2}+{\hat {l}}_{z}^{2}\right]Y_{\ell }^{m}=\ell (\ell +1)Y_{\ell }^{m}.}$$

Sustitución de Φ( r ) = F ( r ) Y^metroℓ
_​en la ecuación de Laplace se obtiene, después de dividir la función armónica esférica, la siguiente ecuación radial y su solución general,

$${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}rF(r)={\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}F(r)\Longrightarrow F(r)=Ar^{\ell }+Br^{-\ell -1}.}$$

Las soluciones particulares de la ecuación total de Laplace son armónicos sólidos regulares :

$${\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ),}$$

armónicos sólidos irregulares

$${\displaystyle I_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;{\frac {Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}{r^{\ell +1}}}.}$$

polinomios armónicosecuación de Laplace

La normalización de Racah

La normalización de Racah (también conocida como seminormalización de Schmidt) se aplica a ambas funciones.

$${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta \int _{0}^{2\pi }d\varphi \;R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )^{*}\;R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )={\frac {4\pi }{2\ell +1}}r^{2\ell }}$$

Teoremas de suma

La traslación del armónico sólido regular da una expansión finita,

$${\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} +\mathbf {a} )=\sum _{\lambda =0}^{\ell }{\binom {2\ell }{2\lambda }}^{1/2}\sum _{\mu =-\lambda }^{\lambda }R_{\lambda }^{\mu }(\mathbf {r} )R_{\ell -\lambda }^{m-\mu }(\mathbf {a} )\;\langle \lambda ,\mu ;\ell -\lambda ,m-\mu |\ell m\rangle ,}$$

coeficiente de Clebsch-Gordan

$${\displaystyle \langle \lambda ,\mu ;\ell -\lambda ,m-\mu |\ell m\rangle ={\binom {\ell +m}{\lambda +\mu }}^{1/2}{\binom {\ell -m}{\lambda -\mu }}^{1/2}{\binom {2\ell }{2\lambda }}^{-1/2}.}$$

La expansión similar para armónicos sólidos irregulares da una serie infinita,

$${\displaystyle I_{\ell }^{m}(\mathbf {r} +\mathbf {a} )=\sum _{\lambda =0}^{\infty }{\binom {2\ell +2\lambda +1}{2\lambda }}^{1/2}\sum _{\mu =-\lambda }^{\lambda }R_{\lambda }^{\mu }(\mathbf {r} )I_{\ell +\lambda }^{m-\mu }(\mathbf {a} )\;\langle \lambda ,\mu ;\ell +\lambda ,m-\mu |\ell m\rangle }$$

coeficiente de Clebsch-Gordan ${\displaystyle |r|\leq |a|\,}$

$${\displaystyle \langle \lambda ,\mu ;\ell +\lambda ,m-\mu |\ell m\rangle =(-1)^{\lambda +\mu }{\binom {\ell +\lambda -m+\mu }{\lambda +\mu }}^{1/2}{\binom {\ell +\lambda +m-\mu }{\lambda -\mu }}^{1/2}{\binom {2\ell +2\lambda +1}{2\lambda }}^{-1/2}.}$$

Los teoremas de la suma fueron demostrados de diferentes maneras por varios autores. ^{[1] [2]}

forma compleja

Los armónicos sólidos regulares son soluciones polinómicas homogéneas de la ecuación de Laplace . Separando lo indeterminado y escribiendo , se ve fácilmente que la ecuación de Laplace es equivalente a la fórmula de recursividad ${\displaystyle \Delta R=0}$ ${\displaystyle z}$ ${\textstyle R=\sum _{a}p_{a}(x,y)z^{a}}$

$${\displaystyle p_{a+2}={\frac {-\left(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}\right)p_{a}}{\left(a+2\right)\left(a+1\right)}}}$$

vectores propios ${\displaystyle p_{0}(x,y)}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle p_{1}(x,y)}$ ${\displaystyle \ell -1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \left\{(x^{2}+y^{2})^{m}(x\pm iy)^{k-2m}\mid 0\leq m\leq k/2\right\}}$ ${\displaystyle SO(2)}$ ${\displaystyle \rho _{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha \in [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle e^{\pm i(k-2m)\alpha }}$ ${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{m}(x+iy)^{k-2m}}$

Si combinamos la base de grados y la base de grados con la fórmula de recursividad, obtenemos una base del espacio de polinomios armónicos y homogéneos (esta vez en tres variables) de grado que consta de vectores propios para (tenga en cuenta que la fórmula de recursión es compatible con la -acción porque el operador de Laplace es rotacionalmente invariante). Estos son los armónicos sólidos complejos: ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell -1}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle SO(2)}$ ${\displaystyle SO(2)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\ell }^{\pm \ell }&=(x\pm iy)^{\ell }z^{0}\\R_{\ell }^{\pm (\ell -1)}&=(x\pm iy)^{\ell -1}z^{1}\\R_{\ell }^{\pm (\ell -2)}&=(x^{2}+y^{2})(x\pm iy)^{\ell -2}z^{0}+{\frac {-(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})\left((x^{2}+y^{2})(x\pm iy)^{\ell -2}\right)}{1\cdot 2}}z^{2}\\R_{\ell }^{\pm (\ell -3)}&=(x^{2}+y^{2})(x\pm iy)^{\ell -3}z^{1}+{\frac {-(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})\left((x^{2}+y^{2})(x\pm iy)^{\ell -3}\right)}{2\cdot 3}}z^{3}\\R_{\ell }^{\pm (\ell -4)}&=(x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -4}z^{0}+{\frac {-(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})\left((x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -4}\right)}{1\cdot 2}}z^{2}+{\frac {(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})^{2}\left((x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -4}\right)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}z^{4}\\R_{\ell }^{\pm (\ell -5)}&=(x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -5}z^{1}+{\frac {-(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})\left((x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -5}\right)}{2\cdot 3}}z^{3}+{\frac {(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})^{2}\left((x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -5}\right)}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}}z^{5}\\&\;\,\vdots \end{aligned}}}$$

$${\displaystyle R_{\ell }^{\pm m}={\begin{cases}\sum _{k}(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})^{k}\left((x^{2}+y^{2})^{(\ell -m)/2}(x\pm iy)^{m}\right){\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{(2k)!}}&\ell -m{\text{ is even}}\\\sum _{k}(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})^{k}\left((x^{2}+y^{2})^{(\ell -1-m)/2}(x\pm iy)^{m}\right){\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{(2k+1)!}}&\ell -m{\text{ is odd}}\end{cases}}}$$

${\displaystyle 0\leq m\leq \ell }$

Al conectar coordenadas esféricas , y usar se encuentra la relación habitual con los armónicos esféricos con un polinomio , que es (hasta la normalización) el polinomio de Legendre asociado , y así (nuevamente, hasta la elección específica de normalización). ${\displaystyle x=r\cos(\theta )\sin(\varphi )}$ ${\displaystyle y=r\sin(\theta )\sin(\varphi )}$ ${\displaystyle z=r\cos(\varphi )}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}\sin(\varphi )^{2}=r^{2}(1-\cos(\varphi )^{2})}$ ${\displaystyle R_{\ell }^{m}=r^{\ell }e^{im\phi }P_{\ell }^{m}(\cos(\vartheta ))}$ ${\displaystyle P_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle R_{\ell }^{m}=r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$

forma real

Mediante una simple combinación lineal de armónicos sólidos de ± m estas funciones se transforman en funciones reales, es decir, funciones . Los armónicos sólidos regulares reales, expresados ​​en coordenadas cartesianas, son polinomios homogéneos de orden en x , y , z con valores reales . La forma explícita de estos polinomios es de cierta importancia. Aparecen, por ejemplo, en forma de orbitales atómicos esféricos y momentos multipolares reales . Ahora se derivará la expresión cartesiana explícita de los armónicos regulares reales. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \ell }$

Combinación lineal

Escribimos de acuerdo con la definición anterior.

$${\displaystyle R_{\ell }^{m}(r,\theta ,\varphi )=(-1)^{(m+|m|)/2}\;r^{\ell }\;\Theta _{\ell }^{|m|}(\cos \theta )e^{im\varphi },\qquad -\ell \leq m\leq \ell ,}$$

$${\displaystyle \Theta _{\ell }^{m}(\cos \theta )\equiv \left[{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\,\sin ^{m}\theta \,{\frac {d^{m}P_{\ell }(\cos \theta )}{d\cos ^{m}\theta }},\qquad m\geq 0,}$$

polinomio de Legendreℓde mfase de Condon-Shortley ${\displaystyle P_{\ell }(\cos \theta )}$

La siguiente expresión define los armónicos sólidos regulares reales:

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}C_{\ell }^{m}\\S_{\ell }^{m}\end{pmatrix}}\equiv {\sqrt {2}}\;r^{\ell }\;\Theta _{\ell }^{m}{\begin{pmatrix}\cos m\varphi \\\sin m\varphi \end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}(-1)^{m}&\quad 1\\-(-1)^{m}i&\quad i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}R_{\ell }^{m}\\R_{\ell }^{-m}\end{pmatrix}},\qquad m>0.}$$

metro = 0

$${\displaystyle C_{\ell }^{0}\equiv R_{\ell }^{0}.}$$

matriz unitaria,

parte dependiente de z

Al escribir u = cos θ, la m -ésima derivada del polinomio de Legendre se puede escribir como la siguiente expansión en u

$${\displaystyle {\frac {d^{m}P_{\ell }(u)}{du^{m}}}=\sum _{k=0}^{\left\lfloor (\ell -m)/2\right\rfloor }\gamma _{\ell k}^{(m)}\;u^{\ell -2k-m}}$$

$${\displaystyle \gamma _{\ell k}^{(m)}=(-1)^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}{\frac {(\ell -2k)!}{(\ell -2k-m)!}}.}$$

z = r cos θrz

$${\displaystyle \Pi _{\ell }^{m}(z)\equiv r^{\ell -m}{\frac {d^{m}P_{\ell }(u)}{du^{m}}}=\sum _{k=0}^{\left\lfloor (\ell -m)/2\right\rfloor }\gamma _{\ell k}^{(m)}\;r^{2k}\;z^{\ell -2k-m}.}$$

( x , y ) parte dependiente

Consideremos a continuación, recordando que x = r sen θ cos φ y y = r sen θ sen φ ,

$${\displaystyle r^{m}\sin ^{m}\theta \cos m\varphi ={\frac {1}{2}}\left[(r\sin \theta e^{i\varphi })^{m}+(r\sin \theta e^{-i\varphi })^{m}\right]={\frac {1}{2}}\left[(x+iy)^{m}+(x-iy)^{m}\right]}$$

$${\displaystyle r^{m}\sin ^{m}\theta \sin m\varphi ={\frac {1}{2i}}\left[(r\sin \theta e^{i\varphi })^{m}-(r\sin \theta e^{-i\varphi })^{m}\right]={\frac {1}{2i}}\left[(x+iy)^{m}-(x-iy)^{m}\right].}$$

$${\displaystyle A_{m}(x,y)\equiv {\frac {1}{2}}\left[(x+iy)^{m}+(x-iy)^{m}\right]=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\cos(m-p){\frac {\pi }{2}}}$$

$${\displaystyle B_{m}(x,y)\equiv {\frac {1}{2i}}\left[(x+iy)^{m}-(x-iy)^{m}\right]=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\sin(m-p){\frac {\pi }{2}}.}$$

En total

$${\displaystyle C_{\ell }^{m}(x,y,z)=\left[{\frac {(2-\delta _{m0})(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\Pi _{\ell }^{m}(z)\;A_{m}(x,y),\qquad m=0,1,\ldots ,\ell }$$

$${\displaystyle S_{\ell }^{m}(x,y,z)=\left[{\frac {2(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\Pi _{\ell }^{m}(z)\;B_{m}(x,y),\qquad m=1,2,\ldots ,\ell .}$$

Lista de funciones más bajas

Enumeramos explícitamente las funciones más bajas hasta ℓ = 5 inclusive . Aquí ${\displaystyle {\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)\equiv \left[{\tfrac {(2-\delta _{m0})(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\Pi _{\ell }^{m}(z).}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\Pi }}_{0}^{0}&=1&{\bar {\Pi }}_{3}^{1}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {6}}(5z^{2}-r^{2})&{\bar {\Pi }}_{4}^{4}&={\frac {1}{8}}{\sqrt {35}}\\{\bar {\Pi }}_{1}^{0}&=z&{\bar {\Pi }}_{3}^{2}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {15}}\;z&{\bar {\Pi }}_{5}^{0}&={\frac {1}{8}}z(63z^{4}-70z^{2}r^{2}+15r^{4})\\{\bar {\Pi }}_{1}^{1}&=1&{\bar {\Pi }}_{3}^{3}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {10}}&{\bar {\Pi }}_{5}^{1}&={\frac {1}{8}}{\sqrt {15}}(21z^{4}-14z^{2}r^{2}+r^{4})\\{\bar {\Pi }}_{2}^{0}&={\frac {1}{2}}(3z^{2}-r^{2})&{\bar {\Pi }}_{4}^{0}&={\frac {1}{8}}(35z^{4}-30r^{2}z^{2}+3r^{4})&{\bar {\Pi }}_{5}^{2}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {105}}(3z^{2}-r^{2})z\\{\bar {\Pi }}_{2}^{1}&={\sqrt {3}}z&{\bar {\Pi }}_{4}^{1}&={\frac {\sqrt {10}}{4}}z(7z^{2}-3r^{2})&{\bar {\Pi }}_{5}^{3}&={\frac {1}{16}}{\sqrt {70}}(9z^{2}-r^{2})\\{\bar {\Pi }}_{2}^{2}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\bar {\Pi }}_{4}^{2}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {5}}(7z^{2}-r^{2})&{\bar {\Pi }}_{5}^{4}&={\frac {3}{8}}{\sqrt {35}}z\\{\bar {\Pi }}_{3}^{0}&={\frac {1}{2}}z(5z^{2}-3r^{2})&{\bar {\Pi }}_{4}^{3}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {70}}\;z&{\bar {\Pi }}_{5}^{5}&={\frac {3}{16}}{\sqrt {14}}\\\end{aligned}}}$$

Las funciones más bajas y son: ${\displaystyle A_{m}(x,y)\,}$ ${\displaystyle B_{m}(x,y)\,}$

Referencias

1. RJA Tough y AJ Stone, J. Phys. R: Matemáticas. General vol. 10 , pág. 1261 (1977)
2. MJ Caola, J. Phys. R: Matemáticas. General vol. 11 , pág. L23 (1978)

• Steinborn, EO; Ruedenberg, K. (1973). "Rotación y traslación de armónicos esféricos sólidos regulares e irregulares". En Lowdin, Per-Olov (ed.). Avances en química cuántica . vol. 7. Prensa Académica. págs. 1–82. ISBN 9780080582320.
• Thompson, William J. (2004). Momento angular: una guía ilustrada sobre simetrías de rotación para sistemas físicos . Weinheim: Wiley-VCH. págs. 143-148. ISBN 9783527617838.