Transición dipolar eléctrica

Una transición dipolar eléctrica es el efecto dominante de una interacción de un electrón en un átomo con el campo electromagnético .

Siguiendo la referencia, ^[1] considere un electrón en un átomo con hamiltoniano cuántico , interactuando con una onda electromagnética plana. ${\displaystyle H_{0}}$

${\displaystyle {\mathbf {E} }({\mathbf {r} },t)=E_{0}{\hat {\mathbf {z} }}\cos(ky-\omega t),\ \ \ {\mathbf {B} }({\mathbf {r} },t)=B_{0}{\hat {\mathbf {x} }}\cos(ky-\omega t).}$

Escriba el hamiltoniano del electrón en este campo electromagnético como

${\displaystyle H(t)\ =\ H_{0}+W(t).}$

Al tratar este sistema mediante la teoría de la perturbación dependiente del tiempo , se encuentra que las transiciones más probables del electrón de un estado a otro ocurren debido a la suma de definida como ${\displaystyle W(t)}$

${\displaystyle W_{\mathrm {DE} }(t)={\frac {qE_{0}}{m_{e}\omega }}p_{z}\sin \omega t,\,}$

donde y son la carga y la masa de un electrón desnudo. Las transiciones dipolares eléctricas son las transiciones entre niveles de energía en el sistema con el hamiltoniano . ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle m_{e}}$ ${\displaystyle H_{0}+W_{\mathrm {DE} }(t)}$

Entre ciertos estados electrónicos, la tasa de transición del dipolo eléctrico puede ser cero debido a una o más reglas de selección , particularmente la regla de selección del momento angular . En tal caso, la transición se denomina dipolo eléctrico prohibido , y las transiciones entre dichos niveles deben aproximarse mediante transiciones de orden superior .

La siguiente suma de orden se define como ${\displaystyle W(t)}$

${\displaystyle W_{\mathrm {DM} }(t)={\frac {q}{2m_{e}}}(L_{x}+2S_{x})B_{0}\cos \omega t\,}$

y describe transiciones de dipolos magnéticos .

Contribuciones aún menores a las tasas de transición se deben a transiciones multipolares eléctricas y magnéticas más altas.

Enfoque semiclásico

Diagrama de energía del modelo de tres estados.

Una forma de modelar y comprender el efecto de la luz (principalmente el campo eléctrico) sobre un átomo es observar un modelo más simple que consta de tres niveles de energía. En este modelo, hemos simplificado nuestro átomo a una transición entre un estado de momento angular 0 ( , a un estado de momento angular de 1 ( ). Esto podría ser, por ejemplo, la transición en el hidrógeno entre los 1 (estado fundamental). y el estado 2p ( ). ${\displaystyle J_{g}=0)}$ ${\displaystyle J_{e}=1}$ ${\displaystyle n=1,\ell =1}$

Para comprender el efecto del campo eléctrico sobre este átomo simplificado vamos a elegir el campo eléctrico polarizado linealmente con el eje de polarización para que sea paralelo al eje de transición , a este eje lo llamamos eje . Este supuesto no tiene una pérdida real de generalidad. De hecho, si tuviéramos que elegir otro eje, entonces podríamos encontrar otro estado que sería una combinación lineal de los estados anteriores que sería paralelo al campo eléctrico, lo que nos lleva de nuevo a esta suposición de un campo eléctrico polarizado linealmente paralelo. con el eje de transición. ${\displaystyle |g\rangle }$ ${\displaystyle |e\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {z}}}$

Teniendo esto en cuenta, podemos limitarnos únicamente a la transición de a . Vamos a utilizar un campo eléctrico que se puede escribir como dónde está el eje de transición, es la frecuencia angular de la luz que ingresa al átomo (piense en ello como un láser que se ilumina en el átomo), es la fase de la luz que puede Depende de la posición y es la amplitud de la luz láser. ${\displaystyle |g\rangle }$ ${\displaystyle |e\rangle }$ ${\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}},t)={\hat {z}}{\mathcal {E}}({\vec {r}})\cos(wt-\phi ({\vec {r}}))}$ ${\displaystyle {\hat {z}}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

Ahora, la pregunta principal que queremos resolver es ¿cuál es la fuerza promedio que siente el átomo bajo este tipo de luz? Nos interesa cuál representa la fuerza promedio que siente el átomo. Aquí los corchetes representan un promedio de todos los estados internos del átomo (de forma cuántica), y la barra representa un promedio temporal de la forma clásica. representa el potencial debido al dipolo eléctrico del átomo. ${\displaystyle f={\overline {\langle {\hat {F}}\rangle }}={\overline {\langle -\nabla {\hat {V}}_{e.d.}({\hat {r}},t)\rangle }}}$ ${\displaystyle {\hat {V}}_{e.d.}}$

Este potencial se puede escribir además como ¿dónde está el operador de transición dipolar? ${\displaystyle {\hat {V}}_{e.d}=-{\hat {D}}\cdot {\vec {E}}}$ ${\displaystyle {\hat {D}}}$

La razón por la que utilizamos un modelo de dos estados es que nos permite escribir explícitamente el operador de transición dipolar como y así obtenemos el ${\displaystyle {\hat {D}}=d_{0}(|e\rangle \langle g|+|g\rangle \langle e|)}$

${\displaystyle {\hat {V}}_{e.d}=-d_{0}{\mathcal {E}}({\hat {\vec {r}}})(|e\rangle \langle g|+|g\rangle \langle e|)\cos(\omega t-\phi ({\hat {\vec {r}}}))=-d_{0}{\mathcal {E}}({\hat {\vec {r}}})({\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {\sigma }}_{-})\cos(\omega t-\phi ({\hat {\vec {r}}}))}$.

Entonces

${\displaystyle f({\vec {r}})={\overline {\langle d_{0}({\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {\sigma }}_{-})\nabla [{\mathcal {E}}({\vec {r}})\cos(\omega t-\phi ({\hat {\vec {r}}})]\rangle }}={\overline {d({\vec {r}},t)\nabla {\mathcal {E}}({\vec {r}},t)}}={\overline {f({\vec {r}},t)}}}$.

Ahora, el enfoque semiclásico significa que escribimos el momento dipolar como la polarizabilidad del átomo multiplicada por el campo eléctrico:

${\displaystyle d({\vec {r}},t)=\alpha (\omega ){\mathcal {E}}({\vec {r}},t)}$

Y como tal y así , y como tal tenemos . ${\displaystyle f({\vec {r}},t)=\alpha (\omega ){\mathcal {E}}({\vec {r}},t)\nabla {\mathcal {E}}({\vec {r}},t)={\frac {1}{2}}\alpha (\omega )\nabla {\mathcal {E}}^{2}({\vec {r}},t)}$ ${\displaystyle f({\vec {r}})=\nabla [{\frac {1}{2}}\alpha (\omega ){\overline {{\mathcal {E}}^{2}({\vec {r}},t)}}]=\nabla [{\frac {1}{4}}\alpha (\omega ){\mathcal {E}}^{2}({\vec {r}})]}$ ${\displaystyle V_{e.d}=-{\frac {1}{4}}\alpha (\omega ){\mathcal {E}}^{2}({\vec {r}})}$

Antes de avanzar en matemáticas e intentar encontrar una expresión más explícita para la constante de proporcionalidad , hay un aspecto importante que debemos discutir. Es decir, hemos descubierto que el potencial que siente un átomo en un potencial inducido por luz sigue el cuadrado del campo eléctrico promediado en el tiempo. Esto es importante para mucha física experimental en física de átomos fríos, donde los físicos usan este hecho para comprender qué potencial se aplica a los átomos utilizando la intensidad conocida de la luz láser aplicada a los átomos, ya que la intensidad de la luz es proporcional al cuadrado de el campo eléctrico promediado en el tiempo, es decir . ${\displaystyle \alpha (\omega )}$ ${\displaystyle I\propto {\overline {{\mathcal {E}}^{2}({\vec {r}},t)}}}$

Ahora, veamos cómo obtener la expresión de la polarizabilidad . ${\displaystyle \alpha (\omega )}$

Usaremos el formalismo matricial de densidad y las ecuaciones ópticas de Bloch para esto.

La idea principal aquí es que los elementos de la matriz de densidad no diagonales se pueden escribir como y ; y ${\displaystyle \rho _{eg}=Tr({\hat {\sigma }}_{-}{\hat {\rho }})}$ ${\displaystyle \rho _{ge}=Tr({\hat {\sigma }}_{+}{\hat {\rho }})}$

${\displaystyle d({\vec {r}},t)=Tr({\hat {D}}{\hat {\rho }}(t))=Tr(d_{0}({\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {\sigma }}_{-})\rho (t))=d_{0}[Tr({\hat {\sigma }}_{+}\rho (t))+Tr({\hat {\sigma }}_{-}\rho (t))]=d_{0}(\rho _{ge}+\rho _{eg})}$

Aquí es donde las ecuaciones ópticas de Bloch serán útiles, nos brindan una ecuación para comprender la dinámica de la matriz de densidad.

De hecho, tenemos:

${\displaystyle {\frac {d{\hat {\rho }}(t)}{dt}}={\frac {1}{i\hbar }}[{\hat {H}},\rho ]}$lo que explica la evolución cuántica normal reversible de la matriz de densidad.

y otro término que describe las emisiones espontáneas del átomo:

${\displaystyle {\frac {d{\hat {\rho }}_{eg}(t)}{dt}}=-{\frac {\Gamma }{2}}{\hat {\rho }}_{eg},{\frac {d{\hat {\rho }}_{ge}(t)}{dt}}=-{\frac {\Gamma }{2}}{\hat {\rho }}_{ge}}$

¿Dónde está nuestro hamiltoniano semiclásico? Está escrito como . Y . representa el ancho de línea de la transición y, por lo tanto, puede verse como la vida media de la transición dada. ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega _{0}|e\rangle \langle e|+V_{e.d.}}$ ${\displaystyle \Gamma ={\frac {d_{0}^{2}\omega _{0}^{3}}{3\pi \epsilon _{0}\hbar c^{3}}}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma ^{-1}}$

Introduzcamos la frecuencia Rabi : ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \hbar \Omega =-d_{0}{\mathcal {E}}({\vec {r}})}$

Entonces podemos escribir las ecuaciones ópticas de Bloch para y : ${\displaystyle \rho _{eg}}$ ${\displaystyle \rho _{ge}}$

Para esta parte tomamos la ecuación de la evolución de y tomamos los elementos de la matriz. Obtenemos: ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle i\hbar {\frac {d{\hat {\rho }}_{eg}(t)}{dt}}=\hbar (\omega _{0}-i{\frac {\Gamma }{2}})\rho _{eg}-d_{0}{\mathcal {E}}({\vec {r}},t)(\rho _{gg}-\rho _{ee})}$

Podemos obtener la ecuación tomando su conjugado complejo. ${\displaystyle \rho _{ge}}$

Luego podemos repetir el proceso para los 4 elementos de la matriz, pero en nuestro estudio aplicaremos una aproximación de campo pequeño, de modo que el campo eléctrico sea lo suficientemente pequeño como para poder desacoplar las 4 ecuaciones. Esta aproximación se escribe matemáticamente usando la frecuencia de Rabi como:

${\displaystyle \Omega \ll |\Delta |,\Gamma }$, con . ${\displaystyle \Delta =\omega -\omega _{0}}$

Entonces podemos descuidar y establecer . De hecho, la idea detrás de esto es que si el átomo no ve ninguna luz, entonces, en una aproximación de primer grado , el átomo estará en el estado fundamental y no en el estado excitado, lo que nos obligará a fijarlo . ${\displaystyle \rho _{ee}=0}$ ${\displaystyle \rho _{gg}=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle \rho _{ee}=0}$ ${\displaystyle \rho _{gg}=1}$

Luego podemos reescribir la ecuación de evolución para:

${\displaystyle {\frac {d{\hat {\rho }}_{eg}(t)}{dt}}=-(i\omega _{0}+{\frac {\Gamma }{2}})\rho _{eg}-i\Omega \cos(wt-\phi )}$

Ésta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden con un término no homogéneo en cosenos. Esto se puede resolver fácilmente utilizando la fórmula de Euler para el coseno.

Obtenemos la siguiente solución:

${\displaystyle \rho _{eg}(t)=\Omega /2{\bigg (}{\frac {e^{-i(\omega t-\phi )}}{\omega -\omega _{0}+i\Gamma /2}}-{\frac {e^{i(\omega t-\phi )}}{\omega +\omega _{0}-i\Gamma /2}}{\bigg )}}$

Además, si decimos que la desafinación es mucho mayor que , entonces, por supuesto, la suma de ambas también es mucho mayor que y podemos reescribir la ecuación anterior como: ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \omega ,\omega _{0}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \rho _{eg}(t)=\Omega /2{\bigg (}{\frac {e^{-i(\omega t-\phi )}}{\omega -\omega _{0}}}-{\frac {e^{i(\omega t-\phi )}}{\omega +\omega _{0}}}{\bigg )}}$

y

${\displaystyle \rho _{ge}(t)=\Omega /2{\bigg (}{\frac {e^{i(\omega t-\phi )}}{\omega -\omega _{0}}}-{\frac {e^{-i(\omega t-\phi )}}{\omega +\omega _{0}}}{\bigg )}}$

Y volviendo a nuestro momento dipolar promedio:

${\displaystyle d(t)=d_{0}\Omega /{\overline {\Delta }}\cos(\omega t-\phi )=-{\frac {d_{0}^{2}{\mathcal {E}}({\vec {r}})}{\hbar {\overline {\Delta }}}}\cos(\omega t-\phi )}$con ${\displaystyle {\frac {1}{\overline {\Delta }}}={\frac {1}{\omega -\omega _{0}}}-{\frac {1}{\omega +\omega _{0}}}}$

Entonces queda claro eso y la polarizabilidad se vuelve . ${\displaystyle d(t)=-{\frac {d_{0}^{2}}{\hbar {\overline {\Delta }}}}{\mathcal {E}}({\vec {r}},t)}$ ${\displaystyle \alpha (\omega )=-{\frac {d_{0}^{2}}{\hbar {\overline {\Delta }}}}}$

Finalmente, podemos escribir el potencial que siente el átomo debido a la interacción del dipolo eléctrico como:

${\displaystyle V_{e.d.}({\vec {r}})={\frac {d_{0}^{2}}{4\hbar {\overline {\Delta }}}}{\mathcal {E}}^{2}({\vec {r}})}$

Los puntos esenciales que vale la pena discutir aquí son, como se dijo anteriormente, que la intensidad de la luz del láser produce un potencial local proporcional que los átomos "sienten" en esa región. Además, ahora podemos distinguir los signos de tal potencial. Vemos que sigue el signo del cual a su vez sigue el signo de la desafinación. Esto implica que el potencial es atractivo si tenemos un láser rojo desafinado ( ), y es repulsivo si tenemos un láser azul desafinado ( ). ${\displaystyle I\propto {\overline {{\mathcal {E}}^{2}({\vec {r}},t)}}}$ ${\displaystyle {\overline {\Delta }}}$ ${\displaystyle \omega <\omega _{0}}$ ${\displaystyle \omega >\omega _{0}}$

Ver también

• dipolo
• Momento dipolar eléctrico
• Electromagnetismo
• Transición dipolar magnética

Referencias

1. "Teoría de la perturbación dependiente del tiempo".