Transformada wavelet fraccionaria

La transformada wavelet fraccional ( FRWT ) es una generalización de la transformada wavelet clásica (WT). Esta transformada se propone para corregir las limitaciones de la WT y de la transformada de Fourier fraccional (FRFT). La FRWT hereda las ventajas del análisis multirresolución de la WT y tiene la capacidad de representar señales en el dominio fraccional, lo que es similar a la FRFT.

Definición

La transformada de Fourier fraccional (FRFT), ^[1] una generalización de la transformada de Fourier (FT), sirve como una herramienta de análisis útil y poderosa ^[2] en óptica, comunicaciones, procesamiento de señales e imágenes, etc. Esta transformada, sin embargo, tiene un inconveniente importante debido al uso de un núcleo global, es decir, la representación de Fourier fraccional solo proporciona dicho contenido espectral FRFT sin ninguna indicación sobre la localización temporal de los componentes espectrales FRFT. Por lo tanto, el análisis de señales no estacionarias cuyas características espectrales FRFT cambian con el tiempo requiere representaciones de señales conjuntas en los dominios del tiempo y FRFT, en lugar de solo una representación en el dominio FRFT.

La primera modificación de la FRFT para permitir el análisis de las señales no estacionarias antes mencionadas se produjo como la FRFT de tiempo corto (STFRFT). ^{[3] [4]} La idea detrás de la STFRFT era segmentar la señal mediante el uso de una ventana localizada en el tiempo y realizar un análisis espectral FRFT para cada segmento. Dado que la FRFT se calculó para cada segmento en ventana de la señal, la STFRFT pudo proporcionar una verdadera representación conjunta de la señal en los dominios del tiempo y de la FRFT. Sin embargo, el inconveniente es que la STFRFT tiene la limitación de un ancho de ventana fijo que debe fijarse a priori; esto significa efectivamente que no proporciona la buena resolución necesaria en los dominios del tiempo y de la FRFT. En otras palabras, la eficiencia de las técnicas STFRFT está limitada por el principio de incertidumbre fundamental, ^[5] que implica que las ventanas estrechas producen una buena resolución temporal pero una mala resolución espectral, mientras que las ventanas anchas proporcionan una buena resolución espectral pero una mala resolución temporal. La mayoría de las señales de interés práctico son tales que tienen componentes espectrales altos para duraciones cortas y componentes espectrales bajos para duraciones largas.

Como generalización de la transformada wavelet, Mendlovic y David ^[6] introdujeron por primera vez la transformada wavelet fraccional (FRWT) como una forma de tratar las señales ópticas, que se definió como una cascada de la FRFT y la transformada wavelet ordinaria (WT), es decir,

${\displaystyle {\begin{aligned}W^{\alpha }(a,b)&={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int \limits _{\mathbb {R} }\int \limits _{\mathbb {R} }{\mathcal {K}}_{\alpha }(u,t)f(t)\psi ^{\ast }\left({\frac {u-b}{a}}\right)dtdu\\&={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int \limits _{\mathbb {R} }\left(\int \limits _{\mathbb {R} }f(t){\mathcal {K}}_{\alpha }(u,t)dt\right)\psi ^{\ast }\left({\frac {u-b}{a}}\right)du\\&={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int \limits _{\mathbb {R} }F_{\alpha }(u)\psi ^{\ast }\left({\frac {u-b}{a}}\right)du\\\end{aligned}}}$

donde el núcleo de transformación viene dado por ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\alpha }(u,t)}$

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\alpha }(u,t)={\begin{cases}A_{\alpha }e^{j{\frac {u^{2}+t^{2}}{2}}\cot \alpha -jut\csc \alpha },&\alpha \neq k\pi \\\delta (t-u),&\alpha =2k\pi \\\delta (t+u),&\alpha =(2k-1)\pi \\\end{cases}}}$

donde , y denota la FRFT de . Pero no podría considerarse como un tipo de representación conjunta del dominio de FRFT temporal, ya que la información temporal se pierde en esta transformación. Además, Prasad y Mahato ^[7] expresaron la WT ordinaria de una señal en términos de las FRFT de la señal y la wavelet madre, y también llamaron a la expresión FRWT. Es decir, ${\displaystyle A_{\alpha }={\sqrt {{(1-j\cot \alpha )}/{2\pi }}}}$ ${\displaystyle F_{\alpha }(u)}$ ${\displaystyle f(t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(W_{\psi }^{\alpha }f\right)(b,a)&={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int \limits _{\mathbb {R} }f(t)\psi ^{\ast }\left({\frac {t-b}{a}}\right)dt\\&={\frac {\csc \alpha }{4\pi ^{2}}}\int \limits _{\mathbb {R} }F(u\sin \alpha )\Psi ^{\ast }(au\sin \alpha )e^{j{\frac {u^{2}}{4}}(1-a^{2})\sin 2\alpha -jbu}du\\\end{aligned}}}$

donde y denotan las FT (con sus argumentos escalados por ) y , respectivamente. Claramente, esta denominada FRWT es idéntica a la WT ordinaria. ${\displaystyle F(u\sin \alpha )}$ ${\displaystyle \Psi (u\sin \alpha )}$ ${\displaystyle \sin \alpha }$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle \psi (t)}$

Recientemente, Shi et al. propusieron una nueva definición ^[8] de la FRWT introduciendo una nueva estructura de la convolución fraccional ^[9] asociada con la FRFT. En concreto, la FRWT de cualquier función se define como [8] ${\displaystyle f(t)\in L^{2}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle W_{f}^{\alpha }(a,b)={\mathcal {W}}^{\alpha }[f(t)](a,b)=\int \limits _{\mathbb {R} }f(t)\psi _{\alpha ,a,b}^{\ast }(t)\,dt}$

donde es una transformación afín continua y modulación de chirrido de la ondícula madre , es decir, ${\displaystyle \psi _{\alpha ,a,b}(t)}$ ${\displaystyle \psi (t)}$

${\displaystyle \psi _{\alpha ,a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({\frac {t-b}{a}}\right)e^{-j{\frac {t^{2}-b^{2}}{2}}\cot \alpha }}$

donde y son parámetros de escala y de traducción, respectivamente. Por el contrario, la FRWT inversa viene dada por ${\displaystyle a\in \mathbb {R^{+}} }$ ${\displaystyle b\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi C_{\psi }}}\int \limits _{\mathbb {R} }\int \limits _{\mathbb {R} ^{+}}W_{f}^{\alpha }(a,b)\psi _{\alpha ,a,b}(t){\frac {da}{a^{2}}}db}$

donde es una constante que depende del wavelet utilizado. El éxito de la reconstrucción depende de esta constante, llamada constante de admisibilidad, para satisfacer la siguiente condición de admisibilidad: ${\displaystyle C_{\psi }}$

${\displaystyle C_{\psi }=\int \limits _{\mathbb {R} }{\frac {|\Psi (\Omega )|^{2}}{|\Omega |}}\,d\Omega <\infty }$

donde denota la FT de . La condición de admisibilidad implica que , que es . En consecuencia, las wavelets fraccionarias continuas deben oscilar y comportarse como filtros de paso de banda en el dominio de Fourier fraccionario. Desde este punto de vista, la FRWT de se puede expresar en términos de la representación del dominio FRFT como ${\displaystyle \Psi (\Omega )}$ ${\displaystyle \psi (t)}$ ${\displaystyle \Psi (0)=0}$ ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\psi (t)dt=0}$ ${\displaystyle f(t)}$

${\displaystyle W_{f}^{\alpha }(a,b)=\int \limits _{\mathbb {R} }{{\sqrt {2\pi a}}F_{\alpha }(u)\Psi ^{\ast }(au\csc \alpha )}{\mathcal {K}}_{\alpha }^{\ast }(u,b)du}$

donde indica la FRFT de , y denota la FT (con su argumento escalado por ) de . Nótese que cuando , la FRWT se reduce a la WT clásica. Para más detalles de este tipo de FRWT, véase [8] y. ^[10] ${\displaystyle F_{\alpha }(u)}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle \Psi (u\csc \alpha )}$ ${\displaystyle \csc \alpha }$ ${\displaystyle \psi (t)}$ ${\displaystyle \alpha ={\pi }/{2}}$

Asociado al análisis multirresolución (MRA)

En el artículo se puede encontrar una descripción general completa de MRA y wavelets fraccionarios ortogonales asociados con FRWT. ^[11]

Referencias

1. HM Ozaktas, Z. Zalevsky y MA Kutay, La transformada de Fourier fraccionaria con aplicaciones en óptica y procesamiento de señales. Wiley, Nueva York, 2000.
2. E. Sejdic, I. Djurovic y L. Stankovic, "La transformada fraccionaria de Fourier como herramienta de procesamiento de señales: una descripción general de los desarrollos recientes", Signal Process., vol. 91, págs. 1351--1369, 2011.
3. L. Stankovic, T. Alieva y MJ Bastiaans, "Análisis de señales de tiempo-frecuencia basado en la transformada de Fourier fraccionaria con ventana", Signal Process., vol. 83, págs. 2459--2468, 2003.
4. R. Tao, Y. Lei y Y. Wang, "Transformada de Fourier fraccionaria de tiempo corto y sus aplicaciones", IEEE Trans. Signal Process., vol. 58, págs. 2568--2580, 2010.
5. J. Shi, X.-P. Liu y N.-T. Zhang, "Sobre el principio de incertidumbre para concentraciones de señales con transformada de Fourier fraccionaria", Signal Process., vol. 92, págs. 2830--2836, 2012.
6. D. Mendlovic, Z. Zalevsky, D. Mas, J. Garcia y C. Ferreira, "Transformada wavelet fraccional", Appl. Opt., vol. 36, págs. 4801-4806, 1997.
7. A. Prasad y A. Mahato, "La transformada wavelet fraccionaria en espacios de tipo S", Integral Transform Spec. Funct., vol. 23, núm. 4, págs. 237-249, 2012.
8. Shi, J.; Zhang, N.-T.; Liu, X.-P. (2011). "Una nueva transformada wavelet fraccional y sus aplicaciones". Sci. China Inf. Sci . 55 (6): 1270–1279. doi : 10.1007/s11432-011-4320-x .
9. Shi, J.; Chi, Y.-G.; Zhang, N.-T. (2010). "Muestreo multicanal y reconstrucción de señales de banda limitada en el dominio fraccional de Fourier". IEEE Signal Process. Lett . 17 (11): 909–912. Bibcode :2010ISPL...17..909S. doi :10.1109/lsp.2010.2071383. S2CID  17547603.
10. L. Debnath y FA Shah, Transformadas wavelet y sus aplicaciones, 2.ª edición, 2015, págs. 14-15. URL: https://www.springer.com/cn/book/9780817684174/
11. Shi, J.; Liu, X.-P.; Zhang, N.-T. (2015). "Análisis multirresolución y wavelets ortogonales asociados con la transformada wavelet fraccional". Proceso de señal, imagen y vídeo . 9 (1): 211–220. doi :10.1007/s11760-013-0498-2. S2CID  3807003.