Tipo de relación lógica
En matemáticas , una relación binaria R ⊆ X × Y entre dos conjuntos X e Y es total (o total izquierdo ) si el conjunto fuente X es igual al dominio { x : hay una y con xRy }. Por el contrario, R se llama total derecho si Y es igual al rango { y : hay una x con xRy }.
Cuando f : X → Y es una función , el dominio de f es todo X , por lo tanto f es una relación total. Por otro lado, si f es una función parcial , entonces el dominio puede ser un subconjunto propio de X , en cuyo caso f no es una relación total.
"Se dice que una relación binaria es total con respecto a un universo de discurso en caso de que todo en ese universo de discurso esté en esa relación con otra cosa". [1]
Caracterización algebraica
Las relaciones totales se pueden caracterizar algebraicamente por igualdades y desigualdades que involucran composiciones de relaciones . Para este fin, sean dos conjuntos y sea Para dos conjuntos cualesquiera sea la relación universal entre y y sea la relación de identidad en Usamos la notación para la relación inversa de![{\displaystyle X,Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle R\subseteq X\times Y.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A,B,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle L_{A,B}=A\times B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle B,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle I_{A}=\{(a,a):a\en A\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle R^{\arriba }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle R.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es total si para cualquier conjunto y cualquier implica [2] : 54 ![{\displaystyle W}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S\neq \emptyset }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle SR\neq \emptyset .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es total si [2] : 54 ![{\displaystyle I_{X}\subseteq RR^{\top }.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Si es total, entonces lo contrario es cierto si [nota 1]
![{\displaystyle R}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle L_{X,Y}=RL_{Y,Y}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Y\neq \emptyset .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Si es total, entonces lo contrario es cierto si [nota 2] [2] : 63
![{\displaystyle R}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\overline {RL_{Y,Y}}}=\emptyset.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Y\neq \emptyset .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Si es total, entonces lo contrario es cierto si [2] : 54 [3]
![{\displaystyle R}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\overline {R}}\subseteq R{\overline {I_{Y}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Y\neq \emptyset .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- De manera más general, si es total, entonces para cualquier conjunto y cualquier Lo contrario es cierto si [nota 3] [2] : 57
![{\displaystyle R}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Z}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\overline {RS}}\subseteq R{\overline {S}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Y\neq \emptyset .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ver también
Notas
- ^ Si entonces no será total.
![{\displaystyle Y=\emptyset \neq X,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle R}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- ^ Observe y aplique el punto anterior.
![{\displaystyle {\overline {RL_{Y,Y}}}=\emptyset \Leftrightarrow RL_{Y,Y}=L_{X,Y},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- ^ Tome y apele al punto anterior.
![{\displaystyle Z=Y,S=I_{Y}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Referencias
- Gunther Schmidt y Michael Winter (2018) Topología relacional
- C. Brink, W. Kahl y G. Schmidt (1997) Métodos relacionales en informática , Avances en informática, página 5, ISBN 3-211-82971-7
- Gunther Schmidt y Thomas Strohlein (2012) [1987] Relaciones y gráficos , p. 54, en libros de Google
- Gunther Schmidt (2011) Matemáticas relacionales , p. 57, en libros de Google