En el estudio matemático de la geometría diferencial de las curvas , la curvatura total de una curva plana sumergida es la integral de la curvatura a lo largo de una curva tomada con respecto a la longitud del arco :
La curvatura total de una curva cerrada es siempre un múltiplo entero de 2 π , donde N se denomina índice de la curva o número de giro ; es el número de giro del vector tangente unitario respecto al origen o, equivalentemente, el grado del mapa respecto al círculo unitario que asigna a cada punto de la curva el vector de velocidad unitario en ese punto. Este mapa es similar al mapa de Gauss para superficies.
Esta relación entre un invariante geométrico local, la curvatura, y un invariante topológico global, el índice, es característica de los resultados en la geometría de Riemann de dimensiones superiores, como el teorema de Gauss-Bonnet .
Según el teorema de Whitney-Graustein , la curvatura total es invariante bajo una homotopía regular de una curva: es el grado de la función de Gauss . Sin embargo, no es invariante bajo homotopía: al pasar por un quiebre (cúspide), el número de giros cambia en 1.
Por el contrario, el número de vueltas alrededor de un punto es invariante bajo homotopías que no pasan por el punto, y cambia en 1 si una pasa por el punto.
Una generalización finita es que los ángulos exteriores de un triángulo, o más generalmente de cualquier polígono simple , suman 360° = 2 π radianes, correspondiente a un número de giro de 1. De manera más general, las cadenas poligonales que no retroceden sobre sí mismas (sin ángulos de 180°) tienen una curvatura total bien definida, interpretándose la curvatura como masas puntuales en los ángulos.
La curvatura absoluta total de una curva se define casi de la misma manera que la curvatura total, pero utilizando el valor absoluto de la curvatura en lugar de la curvatura con signo. Es 2 π para curvas convexas en el plano, y mayor para curvas no convexas. [1] También se puede generalizar a curvas en espacios de dimensiones superiores aplanando la tangente desarrollable a γ en un plano y calculando la curvatura total de la curva resultante. Es decir, la curvatura total de una curva en un espacio n -dimensional es
donde κ n −1 es la última curvatura de Frenet (la torsión de la curva) y sgn es la función signo .
La curvatura absoluta total mínima de cualquier curva tridimensional que represente un nudo dado es un invariante del nudo. Este invariante tiene el valor 2 π para el nudo no formado, pero según el teorema de Fáry-Milnor es al menos 4 π para cualquier otro nudo. [2]
