Superficie del género g

Superficie lisa cerrada con orificios en forma de G

En matemáticas, una superficie de género g (también conocida como g -toro o g -toro con agujeros ) es una superficie formada por la suma conexa de g toros distintos : se retira el interior de un disco de cada uno de los g toros distintos y se identifican (se pegan) los límites de los g discos, formando un g -toro. El género de una superficie de este tipo es g .

Una superficie de género g es una variedad bidimensional . El teorema de clasificación de superficies establece que toda variedad bidimensional compacta y conexa es homeomorfa a la esfera, a la suma conexa de toros o a la suma conexa de planos proyectivos reales .

Definición de género

El género de una superficie orientable conexa es un número entero que representa el número máximo de cortes a lo largo de curvas simples cerradas que no se intersecan sin que la variedad resultante quede desconectada. ^[1] Es igual al número de puntos de control que tiene. Alternativamente, se puede definir en términos de la característica de Euler χ , a través de la relación χ  = 2 − 2 g para superficies cerradas , donde g es el género.

El género (a veces llamado semigénero o género de Euler) de una superficie cerrada no orientable y conexa es un número entero positivo que representa el número de casquetes cruzados unidos a una esfera. Alternativamente, se puede definir para una superficie cerrada en términos de la característica de Euler χ , a través de la relación χ = 2 − g , donde g es el género no orientable.

Género 0

Una superficie orientable de género cero es la esfera S ² . Otra superficie de género cero es el disco .

• Representaciones de superficies de género 0
• 
  Una esfera ${\displaystyle S^{2}}$
• 
  Un disco cerrado (con límite)
• 
  Según la conjetura de Heawood , se puede colorear con hasta cuatro regiones adyacentes entre sí.

Género 1

Una superficie orientable de género uno es el toro ordinario. Una superficie no orientable de género uno es el plano proyectivo . ^[2]

Las curvas elípticas sobre los números complejos pueden identificarse con superficies de género 1. La formulación de curvas elípticas como la incrustación de un toro en el plano proyectivo complejo se desprende naturalmente de una propiedad de las funciones elípticas de Weierstrass que permite obtener curvas elípticas a partir del cociente del plano complejo por una red . ^[3]

• Representaciones de superficies de género 1
• 
  Un toro de género 1
• 
  Se puede colorear con hasta 7 regiones adyacentes entre sí.
• 
  Una curva elíptica

Género 2

El término toro doble se utiliza ocasionalmente para denotar una superficie de género 2. ^{[4] [5]} Una superficie no orientable de género dos es la botella de Klein .

La superficie de Bolza es la superficie de Riemann más simétrica del género  2, en el sentido de que tiene el grupo de automorfismos conformes más grande posible . ^[6]

• Representaciones de superficies de género 2
• 
  Un toro de género 2
• 
  Se puede colorear con hasta 8 regiones adyacentes entre sí.

Género 3

El término triple toro también se utiliza ocasionalmente para designar una superficie de género 3. ^{[7] [5]}

La cuártica de Klein es una superficie de Riemann compacta de género 3 con el grupo de automorfismos de mayor orden posible para superficies de Riemann compactas de género 3. Tiene 168 automorfismos que preservan la orientación y 336 automorfismos en total.

• Varias superficies del género 3
• 
  Una esfera con tres asas
• 
  La suma conectada de tres toros
• 
  Triple toro
• 
  Se puede colorear con hasta 9 regiones adyacentes entre sí.
• 
  Dodecágono con aristas opuestas identificadas ^[8]
• 
  Tetradecágono con aristas opuestas identificadas ^[8]

Véase también

• Tres toros
• nudo g-toroidal

Referencias

1. Munkres, James R. Topología. Vol. 2. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2000.
2. Bredon, Glen E. (1993). Topología y geometría . Springer-Verlag. ISBN. 0-387-97926-3.
3. Silverman, Joseph H. (1986). La aritmética de las curvas elípticas . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 106. Springer-Verlag. ISBN. 0-387-96203-4.
4. Weisstein, Eric W. "Toro doble". MathWorld .
5. Mayorga, Luis S.; Masone, Diego (2024). "El ballet secreto dentro de los cuerpos multivesiculares". ACS Nano . 18 (24): 15651. doi :10.1021/acsnano.4c01590.
6. Bolza, Oskar (1887), "Sobre sextas binarias con transformaciones lineales en sí mismas", American Journal of Mathematics , 10 (1): 47–70, doi :10.2307/2369402, JSTOR  2369402
7. Weisstein, Eric W. "Triple toro". MathWorld .
8. Jürgen Jost, (1997) "Superficies compactas de Riemann: una introducción a las matemáticas contemporáneas", Springer

Fuentes

• James R. Munkres, Topología, segunda edición , Prentice-Hall, 2000, ISBN 0-13-181629-2 . 
• William S. Massey, Topología algebraica: una introducción , Harbrace, 1967.