Un período de retorno , también conocido como intervalo de recurrencia o intervalo de repetición , es un tiempo promedio o un tiempo promedio estimado entre eventos como terremotos , inundaciones , [1] deslizamientos de tierra , [2] o caudales de descarga de ríos que ocurren.
Es una medición estadística que generalmente se basa en datos históricos durante un período prolongado y se utiliza generalmente para análisis de riesgos. Los ejemplos incluyen decidir si se debe permitir que un proyecto avance en una zona de cierto riesgo o diseñar estructuras para resistir eventos con un cierto período de retorno. El siguiente análisis supone que la probabilidad de que ocurra el evento no varía con el tiempo y es independiente de eventos pasados.
Intervalo de recurrencia
Para las inundaciones, el evento puede medirse en términos de m 3 /so altura; para marejadas ciclónicas , en términos de la altura de la marejada, y de manera similar para otros eventos. Esta es la fórmula de Weibull. [4] : 12 [5] [ verificación fallida ]
El período de retorno teórico entre ocurrencias es el inverso de la frecuencia promedio de ocurrencia. Por ejemplo, una inundación de 10 años tiene una probabilidad de 1/10 = 0,1 o 10% de ser superada en un año determinado y una inundación de 50 años tiene una probabilidad de 0,02 o 2% de ser superada en un año determinado.
Esto no significa que una inundación de 100 años ocurrirá regularmente cada 100 años, o sólo una vez cada 100 años. A pesar de las connotaciones del nombre "período de retorno". En cualquier período de 100 años, un evento de 100 años puede ocurrir una, dos veces, más o nunca, y cada resultado tiene una probabilidad que se puede calcular como se muestra a continuación.
Además, el período de retorno estimado a continuación es una estadística : se calcula a partir de un conjunto de datos (las observaciones), a diferencia del valor teórico en una distribución idealizada. En realidad, no se sabe si una magnitud determinada o mayor ocurre con una probabilidad del 1%, sólo que se ha observado exactamente una vez cada 100 años.
Esa distinción es significativa porque hay pocas observaciones de eventos raros: por ejemplo, si las observaciones se remontan a 400 años atrás, el evento más extremo (un evento de 400 años según la definición estadística) puede clasificarse más tarde, tras una observación más larga, como un evento de 200 años. evento de un año (si un evento comparable ocurre inmediatamente) o un evento de 500 años (si no ocurre ningún evento comparable durante 100 años más).
Además, no se puede determinar el tamaño de un evento de 1000 años basándose únicamente en dichos registros, sino que se debe utilizar un modelo estadístico para predecir la magnitud de dicho evento (no observado). Incluso si el intervalo de retorno histórico es mucho menor que 1.000 años, si se registran varios eventos menos graves de naturaleza similar, es probable que el uso de dicho modelo proporcione información útil para ayudar a estimar el intervalo de retorno futuro.
Nos gustaría poder interpretar el período de retorno en modelos probabilísticos. La interpretación más lógica de esto es tomar el período de retorno como la tasa de conteo en una distribución de Poisson, ya que es el valor esperado de la tasa de ocurrencias. Una interpretación alternativa es tomarlo como la probabilidad de un ensayo de Bernoulli anual en la distribución binomial . Esto está en contra porque cada año no representa un juicio independiente a Bernoulli sino que es una medida arbitraria de tiempo. Esta pregunta es principalmente académica ya que los resultados obtenidos serán similares tanto bajo la interpretación de Poisson como bajo la interpretación binomial.
La función de masa de probabilidad de la distribución de Poisson es
donde es el número de ocurrencias para las que se calcula la probabilidad, el período de interés, es el período de retorno y es la tasa de conteo.
La probabilidad de que no ocurra se puede obtener simplemente considerando el caso de . La fórmula es
En consecuencia, la probabilidad de excedencia (es decir, la probabilidad de que un evento "más fuerte" que el evento con período de retorno ocurra al menos una vez dentro del período de interés) es
Tenga en cuenta que para cualquier evento con período de retorno , la probabilidad de excedencia dentro de un intervalo igual al período de retorno (es decir ,) es independiente del período de retorno y es igual a . Esto significa, por ejemplo, que hay un 63,2% de probabilidad de que ocurra una inundación mayor que la inundación de retorno de 50 años dentro de cualquier período de 50 años.
Si el período de retorno de ocurrencia es de 243 años ( ), entonces la probabilidad de que ocurra exactamente una ocurrencia en diez años es
En un período dado de por unidad de tiempo (p. ej. ), la probabilidad de un número dado r de eventos de un período de retorno viene dada por la distribución binomial de la siguiente manera.
Esto es válido sólo si la probabilidad de que ocurra más de una ocurrencia por unidad de tiempo es cero. A menudo se trata de una aproximación cercana, en cuyo caso las probabilidades obtenidas por esta fórmula se mantienen aproximadamente.
Si de tal manera que entonces
Llevar
dónde
Dado que el período de retorno de un evento es de 100 años,
Entonces, la probabilidad de que tal evento ocurra exactamente una vez cada 10 años sucesivos es:
El período de retorno es útil para el análisis de riesgos (como el riesgo de falla natural, inherente o hidrológico). [6] Cuando se trata de expectativas de diseño de estructuras, el período de retorno es útil para calcular el riesgo de la estructura.
La probabilidad de que al menos un evento exceda los límites de diseño durante la vida esperada de la estructura es el complemento de la probabilidad de que no ocurran eventos que excedan los límites de diseño.
La ecuación para evaluar este parámetro es
dónde