En matemáticas , la geometría de contacto es el estudio de una estructura geométrica en variedades suaves dada por una distribución hiperplana en el fibrado tangente que satisface una condición llamada 'no integrabilidad completa'. Equivalentemente, tal distribución puede darse (al menos localmente) como el núcleo de una forma diferencial uno, y la condición de no integrabilidad se traduce en una condición de no degeneración máxima en la forma. Estas condiciones son opuestas a dos condiciones equivalentes para la ' integrabilidad completa ' de una distribución hiperplana, es decir, que sea tangente a una foliación de codimensión uno en la variedad, cuya equivalencia es el contenido del teorema de Frobenius .
La geometría de contacto es, en muchos sentidos, una contraparte de dimensión impar de la geometría simpléctica , una estructura en ciertas variedades de dimensión par. Tanto la geometría de contacto como la simpléctica están motivadas por el formalismo matemático de la mecánica clásica , donde se puede considerar tanto el espacio de fase de dimensión par de un sistema mecánico como una hipersuperficie de energía constante, que, al ser codimensionada uno, tiene dimensión impar.
Al igual que la geometría simpléctica, la geometría de contacto tiene amplias aplicaciones en física , por ejemplo, óptica geométrica , mecánica clásica , termodinámica , cuantificación geométrica , sistemas integrables y teoría de control . La geometría de contacto también tiene aplicaciones en topología de baja dimensión ; por ejemplo, ha sido utilizada por Kronheimer y Mrowka para demostrar la conjetura de la propiedad P , por Michael Hutchings para definir un invariante de variedades tridimensionales suaves y por Lenhard Ng para definir invariantes de nudos. También fue utilizada por Yakov Eliashberg para derivar una caracterización topológica de variedades de Stein de dimensión al menos seis.
La geometría de contacto se ha utilizado para describir la corteza visual . [1]
Una estructura de contacto en una variedad de dimensión impar es una familia de subespacios de codimensión uno de cada espacio tangente de la variedad que varía suavemente y que satisface una condición de no integrabilidad. La familia puede describirse como una sección de un fibrado de la siguiente manera:
Dada una variedad lisa n -dimensional M , y un punto p ∈ M , un elemento de contacto de M con punto de contacto p es un subespacio lineal ( n − 1)-dimensional del espacio tangente a M en p . [2] [3] Un elemento de contacto puede ser dado por el núcleo de una función lineal en el espacio tangente a M en p . Sin embargo, si un subespacio es dado por el núcleo de una función lineal ω, entonces también será dado por los ceros de λω donde λ ≠ 0 es cualquier número real distinto de cero. Por lo tanto, los núcleos de { λω : λ ≠ 0 } dan todos el mismo elemento de contacto. De ello se deduce que el espacio de todos los elementos de contacto de M puede identificarse con un cociente del fibrado cotangente T* M (con la sección cero eliminada), [2] a saber:
Una estructura de contacto en una variedad de dimensión impar M , de dimensión 2 k + 1 , es una distribución suave de elementos de contacto, denotada por ξ , que es genérica en cada punto. [2] [3] La condición de genericidad es que ξ no es integrable .
Supongamos que tenemos una distribución uniforme de elementos de contacto, ξ , dada localmente por una 1-forma diferencial α ; es decir, una sección uniforme del fibrado cotangente. La condición de no integrabilidad se puede dar explícitamente como: [2]
Nótese que si ξ está dada por la 1-forma diferencial α , entonces la misma distribución está dada localmente por β = ƒ⋅ α , donde ƒ es una función suave distinta de cero . Si ξ es coorientable entonces α está definida globalmente.
Del teorema de Frobenius sobre integrabilidad se desprende que el campo de contacto ξ es completamente no integrable . Esta propiedad del campo de contacto es aproximadamente lo opuesto a ser un campo formado a partir de los planos tangentes de una familia de hipersuperficies no superpuestas en M. En particular, no se puede encontrar una hipersuperficie en M cuyos espacios tangentes concuerden con ξ , ni siquiera localmente. De hecho, no existe ninguna subvariedad de dimensión mayor que k cuyos espacios tangentes se encuentren en ξ .
Una consecuencia de la definición es que la restricción de la 2-forma ω = dα a un hiperplano en ξ es una 2-forma no degenerada. Esta construcción proporciona a cualquier variedad de contacto M un fibrado simpléctico natural de rango uno menor que la dimensión de M . Nótese que un espacio vectorial simpléctico es siempre de dimensión par, mientras que las variedades de contacto deben ser de dimensión impar.
El fibrado cotangente T * N de cualquier variedad n -dimensional N es en sí mismo una variedad (de dimensión 2 n ) y admite naturalmente una estructura simpléctica exacta ω = dλ . (Esta 1-forma λ a veces se denomina forma de Liouville ). Hay varias formas de construir una variedad de contacto asociada, algunas de dimensión 2 n − 1, algunas de dimensión 2 n + 1.
Sea M la proyectivización del fibrado cotangente de N : por tanto, M es un fibrado sobre N cuya fibra en un punto x es el espacio de líneas en T* N , o, equivalentemente, el espacio de hiperplanos en T N . La 1-forma λ no desciende a una 1-forma genuina en M . Sin embargo, es homogénea de grado 1, y por tanto define una 1-forma con valores en el fibrado de líneas O(1), que es el dual del fibrado de líneas tautológico por fibras de M . El núcleo de esta 1-forma define una distribución de contacto.
Supóngase que H es una función suave en T* N , que E es un valor regular para H , de modo que el conjunto de niveles es una subvariedad suave de codimensión 1. Un campo vectorial Y se denomina campo vectorial de Euler (o de Liouville) si es transversal a L y conformemente simpléctico, lo que significa que la derivada de Lie de dλ con respecto a Y es un múltiplo de dλ en un entorno de L .
Entonces la restricción de a L es un formulario de contacto en L.
Esta construcción tiene su origen en la mecánica hamiltoniana , donde H es un hamiltoniano de un sistema mecánico con el espacio de configuración N y el espacio de fases T * N , y E es el valor de la energía.
Elija una métrica de Riemann en la variedad N y sea H la energía cinética asociada. Entonces, el conjunto de niveles H = 1/2 es el fibrado cotangente unitario de N , una variedad suave de dimensión 2 n − 1 que se fibrila sobre N y las fibras son esferas. Entonces, la forma de Liouville restringida al fibrado cotangente unitario es una estructura de contacto. Esto corresponde a un caso especial de la segunda construcción, donde el flujo del campo vectorial de Euler Y corresponde a un escalamiento lineal de los momentos p s , dejando fijos los q s . El campo vectorial R , definido por las igualdades
se denomina campo vectorial de Reeb y genera el flujo geodésico de la métrica de Riemann. Más precisamente, utilizando la métrica de Riemann, se puede identificar cada punto del fibrado cotangente de N con un punto del fibrado tangente de N y, entonces, el valor de R en ese punto del fibrado cotangente (unitario) es el vector (unitario) correspondiente paralelo a N.
Por otra parte, se puede construir una variedad de contacto M de dimensión 2 n + 1 considerando el primer fibrado jet de las funciones de valor real en N . Este fibrado es isomorfo a T * N × R utilizando la derivada exterior de una función. Con coordenadas ( x , t ), M tiene una estructura de contacto
Por el contrario, dada cualquier variedad de contacto M , el producto M × R tiene una estructura natural de variedad simpléctica. Si α es una forma de contacto en M , entonces
es una forma simpléctica en M × R , donde t denota la variable en la dirección R . Esta nueva variedad se denomina simplificación (a veces simplificación en la literatura) de la variedad de contacto M .
Como ejemplo principal, considere R 3 , dotado de coordenadas ( x , y , z ) y la forma unidimensional dz − y dx . El plano de contacto ξ en un punto ( x , y , z ) está abarcado por los vectores X 1 = ∂ y y X 2 = ∂ x + y ∂ z .
Reemplazando las variables individuales x e y por las multivariables x 1 , ..., x n , y 1 , ..., y n , se puede generalizar este ejemplo a cualquier R 2 n +1 . Por un teorema de Darboux , cada estructura de contacto en una variedad se parece localmente a esta estructura de contacto particular en el espacio vectorial (2 n + 1)-dimensional.
Las variedades sasakianas comprenden una clase importante de variedades de contacto.
Los subespacios más interesantes de una variedad de contacto son sus subvariedades legendrianas. La no integrabilidad del campo de hiperplanos de contacto en una variedad (2 n + 1)-dimensional significa que ninguna subvariedad 2 n -dimensional lo tiene como fibrado tangente, ni siquiera localmente. Sin embargo, en general es posible encontrar subvariedades n-dimensionales (embebidas o inmersas) cuyos espacios tangentes se encuentran dentro del campo de contacto: estas se denominan subvariedades legendrianas .
Las subvariedades legendrianas son análogas a las subvariedades lagrangianas de las variedades simplécticas. Existe una relación precisa: la elevación de una subvariedad legendriana en una simplificación de una variedad de contacto es una subvariedad lagrangiana.
El ejemplo más simple de subvariedades legendrianas son los nudos legendrianos dentro de una variedad tridimensional de contacto. Los nudos legendrianos no equivalentes pueden ser equivalentes a los nudos lisos; es decir, hay nudos que son isotópicos lisos en los que la isotopía no puede elegirse como una ruta de nudos legendrianos.
Las subvariedades legendrianas son objetos muy rígidos; por lo general, hay infinitas clases de isotopías legendrianas de incrustaciones que son todas suavemente isotópicas. La teoría de campos simpléctica proporciona invariantes de las subvariedades legendrianas llamadas homología de contacto relativa que, a veces, puede distinguir subvariedades legendrianas distintas que son topológicamente idénticas (es decir, suavemente isotópicas).
Si α es una forma de contacto para una estructura de contacto dada, el campo vectorial de Reeb R puede definirse como el único elemento del núcleo (unidimensional) de dα tal que α( R ) = 1. Si una variedad de contacto surge como una hipersuperficie de energía constante dentro de una variedad simpléctica, entonces el campo vectorial de Reeb es la restricción a la subvariedad del campo vectorial hamiltoniano asociado a la función de energía. (La restricción produce un campo vectorial en la hipersuperficie de contacto porque el campo vectorial hamiltoniano preserva los niveles de energía).
La dinámica del campo de Reeb se puede utilizar para estudiar la estructura de la variedad de contacto o incluso la variedad subyacente utilizando técnicas de homología de Floer como la teoría de campos simplécticos y, en tres dimensiones, la homología de contacto embebida . Diferentes formas de contacto cuyos núcleos dan la misma estructura de contacto producirán diferentes campos vectoriales de Reeb, cuya dinámica es en general muy diferente. Los diversos sabores de homología de contacto dependen a priori de la elección de una forma de contacto, y construyen estructuras algebraicas de las trayectorias cerradas de sus campos vectoriales de Reeb; sin embargo, estas estructuras algebraicas resultan ser independientes de la forma de contacto, es decir, son invariantes de la estructura de contacto subyacente, de modo que al final, la forma de contacto puede verse como una elección auxiliar. En el caso de la homología de contacto embebida, se obtiene un invariante de la tres-variedad subyacente, es decir, la homología de contacto embebida es independiente de la estructura de contacto; esto permite obtener resultados que se mantienen para cualquier campo vectorial de Reeb en la variedad.
El campo Reeb lleva el nombre de Georges Reeb .
Las raíces de la geometría de contacto aparecen en los trabajos de Christiaan Huygens , Isaac Barrow e Isaac Newton . La teoría de las transformaciones de contacto (es decir, las transformaciones que preservan una estructura de contacto) fue desarrollada por Sophus Lie , con el doble objetivo de estudiar ecuaciones diferenciales (por ejemplo, la transformación de Legendre o la transformación canónica ) y describir el "cambio de elemento espacial", familiar a partir de la dualidad proyectiva .
El primer uso conocido del término "variedad de contactos" aparece en un artículo de 1958 [4] [5] [6]
