Tiempo residual

En la teoría de los procesos de renovación , una parte de la teoría matemática de la probabilidad, el tiempo residual o tiempo de recurrencia hacia adelante es el tiempo entre un momento dado y la siguiente época del proceso de renovación en cuestión. En el contexto de los recorridos aleatorios, también se lo conoce como sobreimpulso . Otra forma de expresar el tiempo residual es "¿cuánto tiempo más hay que esperar?". ${\displaystyle t}$

El tiempo residual es muy importante en la mayoría de las aplicaciones prácticas de los procesos de renovación:

• En la teoría de colas , determina el tiempo restante que un cliente recién llegado a una cola no vacía debe esperar hasta ser atendido. ^[1]
• En redes inalámbricas , determina, por ejemplo, la vida útil restante de un enlace inalámbrico tras la llegada de un nuevo paquete.
• En estudios de confiabilidad , modela la vida útil restante de un componente.
• etc.

Definición formal

Ejemplo de evolución de un proceso de renovación con tiempos de retención S _i y tiempos de salto J _n .

Consideremos un proceso de renovación , con tiempos de espera y tiempos de salto (o épocas de renovación) , y . Los tiempos de espera son variables aleatorias no negativas, independientes e idénticamente distribuidas y el proceso de renovación se define como . Entonces, a un tiempo dado , corresponde únicamente un , tal que: ${\displaystyle \{N(t),t\geq 0\}}$ ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle J_{i}}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle N(t)=\sup\{n:J_{n}\leq t\}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle N(t)}$

${\displaystyle J_{N(t)}\leq t<J_{N(t)+1}.\,}$

El tiempo residual (o tiempo sobrante) viene dado por el tiempo transcurrido desde la siguiente época de renovación. ${\displaystyle Y(t)}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle Y(t)=J_{N(t)+1}-t.\,}$

Distribución de probabilidad del tiempo residual

Sea la función de distribución acumulada de los tiempos de retención y recuerde que la función de renovación de un proceso es . Entonces, para un tiempo dado , la función de distribución acumulada de se calcula como: ^[2] ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle F(t)=Pr[S_{i}\leq t]}$ ${\displaystyle m(t)=\mathbb {E} [N(t)]}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle Y(t)}$

${\displaystyle \Phi (x,t)=\Pr[Y(t)\leq x]=F(t+x)-\int _{0}^{t}\left[1-F(t+x-y)\right]dm(y)}$

Diferenciando con respecto a , la función de densidad de probabilidad se puede escribir como ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \phi (x,t)=f(t+x)+\int _{0}^{t}f(u+x)m'(t-u)du,}$

donde hemos sustituido De la teoría de renovación elemental, como , donde es la media de la distribución . Si consideramos la distribución límite como , suponiendo que como , tenemos la función de densidad de probabilidad límite como ${\displaystyle u=t-y.}$ ${\displaystyle m'(t)\rightarrow 1/\mu }$ ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle f(t)\rightarrow 0}$ ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$

${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{\infty }f(u+x)du={\frac {1}{\mu }}\int _{x}^{\infty }f(v)dv={\frac {1-F(x)}{\mu }}.}$

Asimismo, la distribución acumulada del tiempo residual es

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{x}[1-F(u)]du.}$

Para valores grandes de , la distribución es independiente de , lo que la convierte en una distribución estacionaria. Un hecho interesante es que la distribución límite del tiempo de recurrencia hacia adelante (o tiempo residual) tiene la misma forma que la distribución límite del tiempo de recurrencia hacia atrás (o edad). Esta distribución siempre tiene forma de J, con la moda en cero. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$

Los dos primeros momentos de esta distribución límite son: ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle E[Y]={\frac {\mu _{2}}{2\mu }}={\frac {\mu ^{2}+\sigma ^{2}}{2\mu }},}$

${\displaystyle E[Y^{2}]={\frac {\mu _{3}}{3\mu }},}$

donde es la varianza de y y son sus segundo y tercer momentos. ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mu _{2}}$ ${\displaystyle \mu _{3}}$

Paradoja del tiempo de espera

El hecho de que (para ) también se conoce como paradoja del tiempo de espera, paradoja de la inspección o paradoja de la teoría de la renovación. La paradoja surge del hecho de que el tiempo de espera promedio hasta la próxima renovación, suponiendo que el punto de tiempo de referencia se selecciona aleatoriamente de manera uniforme dentro del intervalo entre renovaciones, es mayor que el intervalo promedio entre renovaciones . La espera promedio solo se da cuando , es decir, cuando las renovaciones son siempre puntuales o deterministas. ${\displaystyle E[Y]={\frac {\mu ^{2}+\sigma ^{2}}{2\mu }}>{\frac {\mu }{2}}}$ ${\displaystyle \sigma >0}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\frac {\mu }{2}}}$ ${\displaystyle E[Y]={\frac {\mu }{2}}}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}=0}$

Caso especial: tiempos de retención markovianos

Cuando los tiempos de retención se distribuyen exponencialmente con , los tiempos residuales también se distribuyen exponencialmente. Esto se debe a que y: ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle F(t)=1-e^{-\lambda t}}$ ${\displaystyle m(t)=\lambda t}$

${\displaystyle \Pr[Y(t)\leq x]=\left[1-e^{-\lambda (t+x)}\right]-\int _{0}^{t}\left[1-1+e^{-\lambda (t+x-y)}\right]d(\lambda y)=1-e^{-\lambda x}.}$

Esta es una característica conocida de la distribución exponencial , es decir, su propiedad de no tener memoria . Intuitivamente, esto significa que no importa cuánto tiempo haya pasado desde la última época de renovación, el tiempo restante sigue siendo probabilísticamente el mismo que al comienzo del intervalo de tiempo de retención.

Nociones relacionadas

Los textos de teoría de la renovación suelen definir también el tiempo transcurrido o el tiempo de recurrencia hacia atrás (o la vida actual) como . Su distribución se puede calcular de forma similar a la del tiempo residual. Asimismo, el tiempo de vida total es la suma del tiempo de recurrencia hacia atrás y el tiempo de recurrencia hacia adelante. ${\displaystyle Z(t)=t-J_{N(t)}}$

Referencias

1. William J. Stewart, "Probabilidad, cadenas de Markov, colas y simulación: la base matemática del modelado del rendimiento", Princeton University Press, 2011, ISBN  1-4008-3281-0 , 9781400832811
2. Jyotiprasad Medhi, "Procesos estocásticos", New Age International, 1994, ISBN 81-224-0549-5 , 9788122405491