Cálculo

Un cálculo es cualquier tipo de cálculo aritmético o no aritmético que esté bien definido. ^[1]^[2] Ejemplos comunes de cálculo son la resolución de ecuaciones matemáticas y la ejecución de algoritmos informáticos .

Los dispositivos mecánicos o electrónicos (o, históricamente , las personas) que realizan cálculos se conocen como computadoras . La informática es un campo que implica el estudio de la computación.

Introducción

La noción de que los enunciados matemáticos deben estar "bien definidos" ha sido defendida por los matemáticos desde al menos el siglo XVII , ^[3] pero el acuerdo sobre una definición adecuada resultó difícil de alcanzar. ^[4] Una definición candidata fue propuesta independientemente por varios matemáticos en la década de 1930. ^[5] La variante más conocida fue formalizada por el matemático Alan Turing , quien definió un enunciado o cálculo bien definido como cualquier enunciado que pudiera expresarse en términos de los parámetros de inicialización de una máquina de Turing . ^[6] Otras definiciones (matemáticamente equivalentes) incluyen la lambda-definibilidad de Alonzo Church , la recursividad general de Herbrand - Gödel - Kleene y la 1-definibilidad de Emil Post . ^[5]

Hoy en día, cualquier enunciado o cálculo formal que exhiba esta cualidad de estar bien definido se denomina computable , mientras que el enunciado o cálculo en sí se denomina computación .

La definición de Turing asignó "bien definido" a una clase muy amplia de enunciados matemáticos, incluidos todos los enunciados algebraicos bien formados y todos los enunciados escritos en lenguajes de programación informática modernos. ^[7]

A pesar de la amplia aceptación de esta definición, hay algunos conceptos matemáticos que no tienen una caracterización bien definida según ella. Entre ellos se incluyen el problema de la detención y el juego del castor atareado . Sigue siendo una pregunta abierta si existe una definición más potente de "bien definido" que sea capaz de capturar tanto las afirmaciones computables como las "no computables". ^{[nota 1]}^[8]

Algunos ejemplos de enunciados matemáticos que son computables incluyen:

Todas las declaraciones caracterizadas en lenguajes de programación modernos, incluidos C++ , Python y Java . ^[7]
Todos los cálculos realizados mediante una computadora electrónica , calculadora o ábaco .
Todos los cálculos se realizan en un motor analítico .
Todos los cálculos se realizan en una máquina de Turing .
La mayoría de las afirmaciones y cálculos matemáticos se dan en los libros de texto de matemáticas.

Algunos ejemplos de enunciados matemáticos que no son computables incluyen:

Cálculos o afirmaciones que están mal definidos, de modo que no pueden codificarse de forma inequívoca en una máquina de Turing: ("Paul me ama el doble que Joe").
Enunciados de problemas que parecen estar bien definidos, pero para los cuales se puede demostrar que no existe una máquina de Turing para resolverlos (como el problema de la detención ).

El proceso físico del cálculo

La computación puede considerarse un proceso puramente físico que ocurre dentro de un sistema físico cerrado llamado computadora . La prueba de Turing de 1937, Sobre los números computables, con una aplicación al problema de Entscheidung , demostró que existe una equivalencia formal entre los enunciados computables y los sistemas físicos particulares, comúnmente llamados computadoras . Ejemplos de tales sistemas físicos son: las máquinas de Turing , los matemáticos humanos que siguen reglas estrictas, las computadoras digitales , las computadoras mecánicas , las computadoras analógicas y otros.

Explicaciones alternativas de la computación

La cuenta de mapeo

En las obras de Hilary Putnam y otros se encuentra una explicación alternativa de la computación . Peter Godfrey-Smith la ha denominado la "explicación de la correlación simple". ^{[9] El resumen de esta explicación que hace} Gualtiero Piccinini afirma que se puede decir que un sistema físico realiza una computación específica cuando existe una correlación entre el estado de ese sistema y la computación de tal manera que los "estados microfísicos [del sistema] reflejan las transiciones de estado entre los estados computacionales". ^[10]

La cuenta semántica

Filósofos como Jerry Fodor ^[11] han sugerido varias explicaciones de la computación con la restricción de que el contenido semántico sea una condición necesaria para la computación (es decir, lo que diferencia un sistema físico arbitrario de un sistema computacional es que los operandos de la computación representan algo). Esta noción intenta evitar la abstracción lógica de la explicación de la asignación del pancomputacionalismo , la idea de que se puede decir que todo está computando todo.

La explicación mecanicista

Gualtiero Piccinini propone una explicación de la computación basada en la filosofía mecánica . Afirma que los sistemas informáticos físicos son tipos de mecanismos que, por diseño, realizan computación física o la manipulación (por un mecanismo funcional) de un vehículo "independiente del medio" de acuerdo con una regla. La "independencia del medio" requiere que la propiedad pueda ser instanciada ^{[ aclaración necesaria ]} por múltiples realizadores ^{[ aclaración necesaria ]} y múltiples mecanismos, y que las entradas y salidas del mecanismo también sean realizables de forma múltiple . En resumen, la independencia del medio permite el uso de variables físicas con propiedades distintas del voltaje (como en las computadoras digitales típicas); esto es imperativo al considerar otros tipos de computación, como la que ocurre en el cerebro o en una computadora cuántica . Una regla, en este sentido, proporciona un mapeo entre las entradas, las salidas y los estados internos del sistema informático físico. ^[12]

Modelos matemáticos

En la teoría de la computación se han desarrollado diversos modelos matemáticos de computación. Los modelos matemáticos típicos de las computadoras son los siguientes:

Modelos de estado que incluyen la máquina de Turing , el autómata de empuje , el autómata de estado finito y PRAM
Modelos funcionales que incluyen cálculo lambda
Modelos lógicos incluyendo programación lógica
Modelos concurrentes que incluyen modelos de actores y cálculos de procesos.

Giunti llama a los modelos estudiados por la teoría de la computación sistemas computacionales, y sostiene que todos ellos son sistemas matemáticos dinámicos con tiempo discreto y espacio de estados discreto. ^[13]^{: cap.1} Sostiene que un sistema computacional es un objeto complejo que consta de tres partes. Primero, un sistema matemático dinámico con tiempo discreto y espacio de estados discreto; segundo, una configuración computacional , que se compone de una parte teórica y una parte real ; tercero, una interpretación , que vincula el sistema dinámico con la configuración . ^[14]^{: pp.179–80} ${\estilo de visualización DS}$ $H=\left(F,B_{F}\right)$ ${\estilo de visualización F}$ $Estilo de visualización B_{F}$ $estilo de visualización I_{DS,H}}$ ${\estilo de visualización DS}$ ${\estilo de visualización H}$

Véase también

Notas

^ El estudio de enunciados no computables es el campo de la hipercomputación .

Referencias

^ Cálculo del Diccionario gratuito Merriam-Webster
^ "Computación: Definición y sinónimos de Answers.com". Answers.com . Archivado desde el original el 22 de febrero de 2009 . Consultado el 26 de abril de 2017 .
^ Costurat, Louis (1901). la Logique de Leibniz a'Après des Documents Inédits . París. ISBN 978-0343895099.
^ Davis, Martin; Davis, Martin D. (2000). La computadora universal . WW Norton & Company. ISBN 978-0-393-04785-1.
^ ab Davis, Martin (1 de enero de 1982). Computabilidad e insolubilidad . Courier Corporation. ISBN 978-0-486-61471-7.
^ Turing, AM (1937) [Entregado a la Sociedad en noviembre de 1936]. "Sobre números computables, con una aplicación al problema de Entscheidung" (PDF) . Actas de la London Mathematical Society . 2. Vol. 42. págs. 230–65. doi :10.1112/plms/s2-42.1.230.
^ ab Davis, Martin; Davis, Martin D. (2000). La computadora universal . WW Norton & Company. ISBN 978-0-393-04785-1.
^ Davis, Martin (2006). "Por qué no existe una disciplina llamada hipercomputación". Matemáticas Aplicadas y Computación . 178 (1): 4–7. doi :10.1016/j.amc.2005.09.066.
^ Godfrey-Smith, P. (2009), "Argumentos de trivialidad contra el funcionalismo", Philosophical Studies , 145 (2): 273–95, doi :10.1007/s11098-008-9231-3, S2CID 73619367
^ Piccinini, Gualtiero (2015). Computación física: una explicación mecanicista . Oxford: Oxford University Press. pág. 18. ISBN 9780199658855.
^ Fodor, JA (1986), "El problema mente-cuerpo", Scientific American , 244 (enero de 1986)
^ Piccinini, Gualtiero (2015). Computación física: una explicación mecanicista . Oxford: Oxford University Press. pág. 10. ISBN 9780199658855.
^ Giunti, Marco (1997). Computación, dinámica y cognición . Nueva York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-509009-3.
^ Giunti, Marco (2017), "¿Qué es una realización física de un sistema computacional?", Isonomia -- Epistemologica , 9 : 177–92, ISSN 2037-4348