Teorema sobre funciones formales

En geometría algebraica , el teorema sobre funciones formales establece lo siguiente: ^[1]

Sea un morfismo propio de esquemas noetherianos con un haz coherente en X . Sea un subesquema cerrado de S definido por y compleciones formales con respecto a y . Entonces para cada función canónica (continua): ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle S_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\widehat {X}},{\widehat {S}}}$ ${\displaystyle X_{0}=f^{-1}(S_{0})}$ ${\displaystyle S_{0}}$ ${\displaystyle p\geq 0}$

${\displaystyle (R^{p}f_{*}{\mathcal {F}})^{\wedge }\to \varprojlim _{k}R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}_{k}}$

es un isomorfismo de módulos (topológicos), donde ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\widehat {S}}}$

• El término izquierdo es . ${\displaystyle \varprojlim R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}{\mathcal {O}}_{S}/{{\mathcal {I}}^{k+1}}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}={\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}({\mathcal {O}}_{S}/{\mathcal {I}}^{k+1})}$
• El mapa canónico es aquel que se obtiene por paso al límite.

El teorema se utiliza para deducir otros teoremas importantes: la factorización de Stein y una versión del teorema principal de Zariski que dice que un morfismo birracional propio en una variedad normal es un isomorfismo. Otros corolarios (con las notaciones anteriores) son:

Corolario : ^[2] Para cualquier , topológicamente, ${\displaystyle s\in S}$

${\displaystyle ((R^{p}f_{*}{\mathcal {F}})_{s})^{\wedge }\simeq \varprojlim H^{p}(f^{-1}(s),{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}({\mathcal {O}}_{s}/{\mathfrak {m}}_{s}^{k}))}$

donde la finalización a la izquierda es con respecto a . ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{s}}$

Corolario : ^[3] Sea r tal que para todo . Entonces ${\displaystyle \operatorname {dim} f^{-1}(s)\leq r}$ ${\displaystyle s\in S}$

${\displaystyle R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}=0,\quad i>r.}$

Corola : ^[4] Para cada , existe un vecindario abierto U de s tal que ${\displaystyle s\in S}$

${\displaystyle R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}|_{U}=0,\quad i>\operatorname {dim} f^{-1}(s).}$

Corolario : ^[5] Si , entonces es conexo para todo . ${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}={\mathcal {O}}_{S}}$ ${\displaystyle f^{-1}(s)}$ ${\displaystyle s\in S}$

El teorema también conduce al teorema de existencia de Grothendieck , que da una equivalencia entre la categoría de haces coherentes en un esquema y la categoría de haces coherentes en su completitud formal (en particular, produce algebralizabilidad).

Finalmente, es posible debilitar la hipótesis del teorema; véase Illusie. Según Illusie (pág. 204), la prueba dada en EGA III se debe a Serre. La prueba original (de Grothendieck) nunca fue publicada.

La construcción del mapa canónico

Sea el escenario como en el inicio. En la prueba se utiliza la siguiente definición alternativa de la función canónica.

Sean los mapas canónicos. Entonces tenemos el mapa de cambio base de -módulos ${\displaystyle i':{\widehat {X}}\to X,i:{\widehat {S}}\to S}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\widehat {S}}}$

${\displaystyle i^{*}R^{q}f_{*}{\mathcal {F}}\to R^{p}{\widehat {f}}_{*}(i'^{*}{\mathcal {F}})}$.

donde se induce por . Como es coherente, podemos identificar con . Como también es coherente (ya que f es propia), haciendo la misma identificación, lo anterior se lee: ${\displaystyle {\widehat {f}}:{\widehat {X}}\to {\widehat {S}}}$ ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle i'^{*}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathcal {F}}}}$ ${\displaystyle R^{q}f_{*}{\mathcal {F}}}$

${\displaystyle (R^{q}f_{*}{\mathcal {F}})^{\wedge }\to R^{p}{\widehat {f}}_{*}{\widehat {\mathcal {F}}}}$.

Utilizando donde y , también se obtiene (después de pasar al límite): ${\displaystyle f:X_{n}\to S_{n}}$ ${\displaystyle X_{n}=(X_{0},{\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {J}}^{n+1})}$ ${\displaystyle S_{n}=(S_{0},{\mathcal {O}}_{S}/{\mathcal {I}}^{n+1})}$

${\displaystyle R^{q}{\widehat {f}}_{*}{\widehat {\mathcal {F}}}\to \varprojlim R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}_{n}}$

donde son los mismos que antes. Se puede verificar que la composición de los dos mapas es la misma en el encabezado. (cf. EGA III-1, sección 4) ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$

Notas

1. Grothendieck y Dieudonné 1961, 4.1.5
2. Grothendieck y Dieudonné 1961, 4.2.1
3. Hartshorne 1977, Cap. III. Corolario 11.2
4. El mismo argumento que en el corolario anterior
5. Hartshorne 1977, Cap. III. Corolario 11.3

Referencias

• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1961). "Eléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 11 . doi :10.1007/bf02684274. SEÑOR  0217085.
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157

Lectura adicional

• Illusie, Luc . "Temas de geometría algebraica" (PDF) .