Un tetrominó es una forma geométrica compuesta por cuatro cuadrados , conectados ortogonalmente (es decir, en los bordes y no en las esquinas). [1] [2] Los tetrominós, al igual que el dominó y el pentominó , son un tipo particular de poliominó . El policubo correspondiente , llamado tetracubo , es una forma geométrica compuesta por cuatro cubos conectados ortogonalmente.
Un uso popular de los tetrominós se encuentra en el videojuego Tetris creado por el diseñador de juegos soviético Alexey Pajitnov , que se refiere a ellos como tetriminos . [3] Los tetrominós utilizados en el juego son específicamente los tetrominós unilaterales.
Los polióminos se forman uniendo cuadrados unitarios a lo largo de sus bordes. Un poliomino libre es un poliomino considerado hasta congruencia . Es decir, dos poliominos libres son iguales si hay una combinación de traslaciones , rotaciones y reflexiones que convierten uno en el otro. Un tetrominó libre es un poliominó libre formado por cuatro cuadrados. Hay cinco tetrominós libres.
Los tetrominós libres tienen la siguiente simetría:
Los tetrominós unilaterales son tetrominós que pueden trasladarse y rotarse pero no reflejarse. Son utilizados por el Tetris y están abrumadoramente asociados con él . Hay siete tetrominós unilaterales distintos. Estos tetrominós reciben el nombre de la letra del alfabeto a la que más se parecen. Los tetrominós "I", "O" y "T" tienen simetría reflexiva, por lo que no importa si se consideran tetrominós libres o tetrominós unilaterales. Los cuatro tetrominós restantes, "J", "L", "S" y "Z", exhiben un fenómeno llamado quiralidad . J y L son reflejos el uno del otro, y S y Z son reflejos el uno del otro.
Como tetrominós libres, J equivale a L, y S equivale a Z. Pero en dos dimensiones y sin reflexiones, no es posible transformar J en L o S en Z.
Los tetrominós fijos sólo permiten traslación, no rotación ni reflexión. Hay dos tetrominós I fijos distintos, cuatro J, cuatro L, uno O, dos S, cuatro T y dos Z, para un total de 19 tetrominós fijos:
Un solo conjunto de tetrominós libres o de un solo lado no cabe en un rectángulo. Esto se puede demostrar con una prueba similar al argumento del tablero de ajedrez mutilado . Un rectángulo de 5×4 con un patrón de tablero de ajedrez tiene 20 cuadrados, que contienen 10 cuadrados claros y 10 cuadrados oscuros, pero un juego completo de tetrominós libres tiene 11 cuadrados oscuros y 9 cuadrados claros, o 11 cuadrados claros y 9 cuadrados oscuros. Esto se debe a que el tetrominó T tiene 3 cuadrados oscuros y un cuadrado claro, o 3 cuadrados claros y un cuadrado oscuro, mientras que todos los demás tetrominós tienen cada uno 2 cuadrados oscuros y 2 cuadrados claros. De manera similar, un rectángulo de 7 × 4 tiene 28 cuadrados, que contienen 14 cuadrados de cada tono, pero el conjunto de tetrominós de un lado tiene 15 cuadrados oscuros y 13 cuadrados claros, o 15 cuadrados claros y 13 cuadrados oscuros. Por extensión, cualquier número impar de conjuntos de cualquier tipo no puede caber en un rectángulo. Además, los 19 tetrominós fijos no caben en un rectángulo de 4×19. Esto se descubrió agotando todas las posibilidades en una búsqueda informática.
Sin embargo, los tres conjuntos de tetrominós pueden caber en rectángulos con agujeros:
Dos conjuntos de tetrominós libres o de un solo lado pueden caber en un rectángulo de diferentes maneras, como se muestra a continuación:
El nombre "tetromino" es una combinación del prefijo tetra- 'cuatro' (del griego antiguo τετρα- ) y " dominó ". El nombre fue introducido por Solomon W. Golomb en 1953 junto con otra nomenclatura relacionada con los poliominos. [4] [1]
Cada uno de los cinco tetrominós libres tiene un tetracubo correspondiente, que es el tetrominó extruido en una unidad. J y L son el mismo tetracubo, al igual que S y Z, porque uno puede girar alrededor de un eje paralelo al plano del tetromino para formar el otro. Son posibles tres tetracubos más, todos creados colocando un cubo unitario en el tricubo doblado :
Los tetracubos se pueden empaquetar en cajas 3D de dos capas de varias maneras diferentes, según las dimensiones de la caja y los criterios de inclusión. Se muestran tanto en un diagrama gráfico como en un diagrama de texto. Para cajas que utilizan dos juegos de las mismas piezas, el diagrama pictórico muestra cada juego como un tono más claro o más oscuro del mismo color. El diagrama de texto muestra que cada conjunto tiene una letra mayúscula o minúscula. En el diagrama de texto, la capa superior está a la izquierda y la capa inferior a la derecha.
1.) Caja de 2×4×5 llena con dos juegos de tetrominós libres:ZZT t I l TTT iLZZ t IlltiL zzt I oozziLLOOI oo OO i2.) Caja de 2×2×10 llena con dos juegos de tetrominós libres:LLL zz ZZTOO oozz ZZTTT lLIIII ttt OO ooiiiitlll3.) Caja de 2×4×4 llena con un juego de todos los tetrominós:FTTTFZZBFFTBZZBBOLDDLLLDOODDIIII4.) Caja de 2×2×8 llena con un conjunto de todos los tetrominós:DZZLOTTTDLLLOBFFDDZZOBTFIIIIOBBF5.) Caja de 2×2×7 llena de tetrominós, sin las piezas reflejadas en el espejo:LLLZZBBLCOOZZBCIIIITBCCOOTTT