Teorema de Wiener-Ikehara

Teorema de Tauberiano introducido por Shikao Ikehara (1931).

El teorema de Wiener-Ikehara es un teorema de Tauber , publicado originalmente por Shikao Ikehara , un estudiante de Norbert Wiener , en 1931. Es un caso especial de los teoremas de Tauber de Wiener , que fueron publicados por Wiener un año después. Puede usarse para demostrar el teorema de los números primos (Chandrasekharan, 1969), bajo el supuesto de que la función zeta de Riemann no tiene ceros en la línea de la parte real uno.

Declaración

Sea A ( x ) una función no negativa, monótona y no decreciente de x , definida para 0 ≤  x  < ∞. Supongamos que

${\displaystyle f(s)=\int _{0}^{\infty }A(x)e^{-xs}\,dx}$

converge para ℜ( s ) > 1 a la función ƒ ( s ) y que, para algún número no negativo c ,

${\displaystyle f(s)-{\frac {c}{s-1}}}$

tiene una extensión como función continua para ℜ( s ) ≥ 1. Entonces el límite cuando x tiende a infinito de e ^{− x}  A ( x ) es igual a c.

Una aplicación particular

Una importante aplicación teórica de números del teorema es la serie de Dirichlet de la forma

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a(n)n^{-s}}$

donde a ( n ) no es negativo. Si la serie converge a una función analítica en

${\displaystyle \Re (s)\geq b}$

con un polo simple de residuo c en s  =  b , entonces

${\displaystyle \sum _{n\leq X}a(n)\sim {\frac {c}{b}}X^{b}.}$

Aplicando esto a la derivada logarítmica de la función zeta de Riemann , donde los coeficientes en la serie de Dirichlet son valores de la función de von Mangoldt , es posible deducir el teorema de los números primos del hecho de que la función zeta no tiene ceros en la línea.

${\displaystyle \Re (s)=1.}$

Referencias

• S. Ikehara (1931), "Una extensión del teorema de Landau en la teoría analítica de números", Journal of Mathematics and Physics del Massachusetts Institute of Technology , 10 : 1–12, Zbl  0001.12902
• Wiener, Norbert (1932), "Teoremas de Tauber", Anales de Matemáticas , Segunda serie, 33 (1): 1–100, doi :10.2307/1968102, ISSN  0003-486X, JFM  58.0226.02, JSTOR  1968102
• K. Chandrasekharan (1969). Introducción a la teoría analítica de números . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Springer-Verlag . ISBN 3-540-04141-9.
• Hugh L. Montgomery ; Robert C. Vaughan (2007). Teoría de números multiplicativos I. Teoría clásica . Cambridge tracts in advanced mathematics. Vol. 97. Cambridge: Cambridge Univ. Press. págs. 259–266. ISBN 0-521-84903-9.