Teorema de Tauber de Wiener

En análisis matemático , el teorema tauberiano de Wiener es cualquiera de varios resultados relacionados demostrados por Norbert Wiener en 1932. ^[1] Proporcionan una condición necesaria y suficiente bajo la cual cualquier función puede aproximarse mediante combinaciones lineales de traslaciones de una función dada. ^[2] ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

De manera informal, si la transformada de Fourier de una función desaparece en un determinado conjunto , la transformada de Fourier de cualquier combinación lineal de traslaciones de también desaparece en . Por lo tanto, las combinaciones lineales de traslaciones de no pueden aproximarse a una función cuya transformada de Fourier no desaparece en . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Z}$

Los teoremas de Wiener hacen esto preciso, afirmando que las combinaciones lineales de traslaciones de son densas si y sólo si el conjunto cero de la transformada de Fourier de es vacío (en el caso de ) o de medida de Lebesgue cero (en el caso de ). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Gelfand reformuló el teorema de Wiener en términos de álgebras C* conmutativas , cuando afirma que el espectro del anillo grupal del grupo de números reales es el grupo dual de . Un resultado similar es cierto cuando se reemplaza por cualquier grupo abeliano localmente compacto . ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

La condición en L 1

Sea una función integrable . El lapso de traslaciones es denso si y sólo si la transformada de Fourier de no tiene ceros reales . ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f_{a}(x)=f(x+a)}$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f}$

Reformulación tauberiana

La siguiente afirmación es equivalente al resultado anterior, ^{[ cita necesaria ]} y explica por qué el resultado de Wiener es un teorema de Tauber :

Supongamos que la transformada de Fourier no tiene ceros reales y supongamos que la convolución tiende a cero en el infinito para algunos . Entonces la convolución tiende a cero en el infinito para cualquier . ${\displaystyle f\in L^{1}}$ ${\displaystyle f*h}$ ${\displaystyle h\in L^{\infty }}$ ${\displaystyle g*h}$ ${\displaystyle g\in L^{1}}$

De manera más general, si

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }(f*h)(x)=A\int f(x)\,dx}$

para algunos cuya transformada de Fourier no tiene ceros reales, entonces también ${\displaystyle f\in L^{1}}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }(g*h)(x)=A\int g(x)\,dx}$

para cualquier . ${\displaystyle g\in L^{1}}$

Versión discreta

El teorema de Wiener tiene una contraparte en : el lapso de las traslaciones de es denso si y sólo si la serie de Fourier ${\displaystyle l^{1}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle f\in l^{1}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle \varphi (\theta )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }f(n)e^{-in\theta }\,}$

no tiene ceros reales. Las siguientes afirmaciones son versiones equivalentes de este resultado:

• Supongamos que la serie de Fourier no tiene ceros reales y que para alguna secuencia acotada la convolución ${\displaystyle f\in l^{1}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f*h}$

tiende a cero en el infinito. Entonces también tiende a cero en el infinito para cualquier . ${\displaystyle g*h}$ ${\displaystyle g\in l^{1}(\mathbb {Z} )}$

• Sea una función sobre el círculo unitario con series de Fourier absolutamente convergentes. Entonces tiene series de Fourier absolutamente convergentes ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle 1/\varphi }$

si y sólo si no tiene ceros. ${\displaystyle \varphi }$

Gelfand (1941a, 1941b) demostró que esto es equivalente a la siguiente propiedad del álgebra de Wiener , que demostró utilizando la teoría de las álgebras de Banach , dando así una nueva prueba del resultado de Wiener: ${\displaystyle A(\mathbb {T} )}$

• Los ideales máximos de son todos de la forma. ${\displaystyle A(\mathbb {T} )}$

${\displaystyle M_{x}=\left\{f\in A(\mathbb {T} )\mid f(x)=0\right\},\quad x\in \mathbb {T} .}$

La condición en L 2

Sea una función integrable al cuadrado . El lapso de traslaciones es denso en si y sólo si los ceros reales de la transformada de Fourier forman un conjunto de medida cero de Lebesgue . ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f_{a}(x)=f(x+a)}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f}$

La afirmación paralela en es la siguiente: el lapso de traslaciones de una secuencia es denso si y sólo si el conjunto cero de la serie de Fourier ${\displaystyle l^{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle f\in l^{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle \varphi (\theta )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }f(n)e^{-in\theta }}$

tiene medida de Lebesgue cero.

Notas

1. Véase Viena (1932).
2. ver Rudin (1991).

Referencias

• Gelfand, I. (1941a), "Normierte Ringe", Rec. Matemáticas. (Mat. Sbornik) , Nouvelle Série, 9 (51): 3–24, SEÑOR  0004726
• Gelfand, I. (1941b), "Über absolut konvergente trigonometrische Reihen und Integrale", Rec. Matemáticas. (Mat. Sbornik) , Nouvelle Série, 9 (51): 51–66, SEÑOR  0004727
• Rudin, W. (1991), Análisis funcional , Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas, Nueva York: McGraw-Hill, Inc., ISBN 0-07-054236-8, señor  1157815
• Wiener, N. (1932), "Teoremas de Tauber", Annals of Mathematics , 33 (1): 1–100, doi :10.2307/1968102, JSTOR  1968102

enlaces externos

• Shtern, AI (2001) [1994], "Teorema de Wiener Tauberiano", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press