Teorema fundamental de la fijación de precios de activos

Condiciones necesarias y suficientes para que un mercado sea libre de arbitraje y completo

Los teoremas fundamentales de la fijación de precios de activos (también: de arbitraje , de finanzas ), tanto en economía financiera como en finanzas matemáticas , proporcionan las condiciones necesarias y suficientes para que un mercado esté libre de arbitraje y para que un mercado sea completo . Una oportunidad de arbitraje es una forma de ganar dinero sin inversión inicial y sin posibilidad de pérdida. ^[1] Aunque las oportunidades de arbitraje existen brevemente en la vida real, se ha dicho que cualquier modelo de mercado sensato debe evitar este tipo de beneficio. ^{[2] : 5} El primer teorema es importante porque asegura una propiedad fundamental de los modelos de mercado. La completitud es una propiedad común de los modelos de mercado (por ejemplo, el modelo Black-Scholes ). Un mercado completo es aquel en el que cada demanda contingente puede ser replicada . Aunque esta propiedad es común en los modelos, no siempre se considera deseable o realista. ^{[2] : 30}

Mercados discretos

En un mercado discreto (es decir, de estados finitos), se cumple lo siguiente: ^[2]

1. El primer teorema fundamental de fijación de precios de activos : un mercado discreto en un espacio de probabilidad discreto está libre de arbitraje si, y solo si, existe al menos una medida de probabilidad neutral al riesgo que sea equivalente a la medida de probabilidad original , P. ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$
2. El segundo teorema fundamental de la fijación de precios de activos : un mercado libre de arbitraje (S,B) que consiste en una colección de acciones S y un bono libre de riesgo B es completo si y sólo si existe una medida única neutral al riesgo que sea equivalente a P y tenga numerario B.

En mercados más generales

Cuando los retornos de los precios de las acciones siguen un único movimiento browniano , existe una medida única de neutralidad de riesgo. Cuando se supone que el proceso de los precios de las acciones sigue una martingala sigma o semimartingala más general , entonces el concepto de arbitraje es demasiado limitado y se debe utilizar un concepto más fuerte como el de que no hay almuerzo gratis con riesgo evanescente (NFLVR, por sus siglas en inglés) para describir estas oportunidades en un entorno de dimensión infinita. ^[3]

En tiempo continuo, una versión de los teoremas fundamentales de la fijación de precios de activos dice: ^[4]

Sea un mercado de semimartingala de dimensión d (una colección de acciones), el bono libre de riesgo y el espacio de probabilidad subyacente. Además, llamamos a una medida una medida de martingala local equivalente si y si los procesos son martingalas locales bajo la medida . ${\displaystyle S=(S_{t})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q\approx P}$ ${\displaystyle \left({\frac {S_{t}^{i}}{B_{t}}}\right)_{t}}$ ${\displaystyle Q}$

1. Primer teorema fundamental de la fijación de precios de activos : supongamos que el mercado está limitado localmente. Entonces, el mercado satisface la regla NFLVR si y solo si existe una medida martingala local equivalente. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$
2. Segundo teorema fundamental de la fijación de precios de activos : supongamos que existe una medida martingala local equivalente . Entonces, hay un mercado completo si y solo si es la única medida martingala local. ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Q}$

Véase también

• Teoría de precios de arbitraje
• Precios de activos
• Economía financiera § Precios libres de arbitraje y equilibrio
• Precios racionales

Referencias

Fuentes

1. Varian, Hal R. (1987). "El principio de arbitraje en la economía financiera". Perspectivas económicas . 1 (2): 55–72. doi :10.1257/jep.1.2.55. JSTOR  1942981.
2. Pascucci, Andrea (2011) Métodos PDE y Martingala en la fijación de precios de opciones . Berlín: Springer-Verlag
3. Delbaen, Freddy; Schachermayer, Walter. "¿Qué es... un almuerzo gratis?" (PDF) . Avisos de la AMS . 51 (5): 526–528 . Consultado el 14 de octubre de 2011 .
4. Björk, Tomas (2004). Teoría del arbitraje en tiempo continuo . Nueva York: Oxford University Press. pp. 144ff. ISBN 978-0-19-927126-9.

Lectura adicional

• Harrison, J. Michael; Pliska, Stanley R. (1981). "Martingales e integrales estocásticas en la teoría del trading continuo". Procesos estocásticos y sus aplicaciones . 11 (3): 215–260. doi : 10.1016/0304-4149(81)90026-0 .
• Delbaen, Freddy; Schachermayer, Walter (1994). "Una versión general del teorema fundamental de fijación de precios de activos". Mathematische Annalen . 300 (1): 463–520. doi :10.1007/BF01450498.

Enlaces externos

• http://www.fam.tuwien.ac.at/~wschach/pubs/preprnts/prpr0118a.pdf