División larga de polinomios

Algoritmo para la división de polinomios

En álgebra , la división larga de polinomios es un algoritmo para dividir un polinomio por otro polinomio de igual o menor grado , una versión generalizada de la conocida técnica aritmética llamada división larga . Se puede realizar fácilmente a mano, porque separa un problema de división que de otro modo sería complejo en otros más pequeños. A veces, usar una versión abreviada llamada división sintética es más rápido, requiere menos escritura y menos cálculos. Otro método abreviado es la división corta de polinomios (método de Blomqvist).

La división larga de polinomios es un algoritmo que implementa la división euclidiana de polinomios , que a partir de dos polinomios A (el dividendo ) y B (el divisor ) produce, si B no es cero, un cociente Q y un resto R tales que

A = BQ + R ,

y R = 0 o el grado de R es menor que el grado de B. Estas condiciones definen de forma única Q y R , lo que significa que Q y R no dependen del método utilizado para calcularlos.

El resultado R = 0 ocurre si y solo si el polinomio A tiene a B como factor . Por lo tanto, la división larga es un medio para comprobar si un polinomio tiene a otro como factor y, si lo tiene, para factorizarlo. Por ejemplo, si se conoce una raíz r de A , se puede factorizar dividiendo A por ( x  –  r ).

Ejemplo

División larga de polinomios

Halla el cociente y el resto de la división de , el dividendo , por , el divisor . ${\displaystyle (x^{3}-2x^{2}-4)}$ ${\displaystyle (x-3)}$

El dividendo se reescribe primero así:

${\displaystyle x^{3}-2x^{2}+0x-4.}$

El cociente y el resto se pueden determinar de la siguiente manera:

1. Divida el primer término del dividendo por el término más alto del divisor (es decir, el que tenga la potencia más alta de x , que en este caso es x ). Coloque el resultado sobre la barra ( x ³ ÷ x = x ² ).

   ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\color {White}x-3\ )\ x^{3}-2}x^{2}\\x-3\ {\overline {)\ x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\end{array}}}$

2. Multiplica el divisor por el resultado que acabas de obtener (el primer término del cociente final). Escribe el resultado debajo de los dos primeros términos del dividendo ( x ² · ( x − 3) = x ³ − 3 x ² ).

   ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\color {White}x-3\ )\ x^{3}-2}x^{2}\\x-3\ {\overline {)\ x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\\{\color {White}x-3\ )\ }x^{3}-3x^{2}\end{array}}}$

3. Resta el producto que acabas de obtener de los términos apropiados del dividendo original (teniendo cuidado de que restar algo que tiene un signo menos es equivalente a sumar algo que tiene un signo más), y escribe el resultado debajo ( x ³ − 2 x ² ) − ( x ³ − 3 x ² ) = −2 x ² + 3 x ² = x ² Luego, "baja" el siguiente término del dividendo.

   ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\color {White}x-3\ )\ x^{3}-2}x^{2}\\x-3\ {\overline {)\ x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\\{\color {White}x-3\ )\ }{\underline {x^{3}-3x^{2}}}\\{\color {White}x-3\ )\ 0x^{3}}+{\color {White}}x^{2}+0x\end{array}}}$

4. Repita los tres pasos anteriores, excepto que esta vez utilice los dos términos que acaban de escribirse como dividendo.

   ${\displaystyle {\begin{array}{r}x^{2}+{\color {White}1}x{\color {White}{}+3}\\x-3\ {\overline {)\ x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\\{\underline {x^{3}-3x^{2}{\color {White}{}+0x-4}}}\\+x^{2}+0x{\color {White}{}-4}\\{\underline {+x^{2}-3x{\color {White}{}-4}}}\\+3x-4\\\end{array}}}$

5. Repita el paso 4. Esta vez, no hay nada que "derribar".

   ${\displaystyle {\begin{array}{r}x^{2}+{\color {White}1}x+3\\x-3\ {\overline {)\ x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\\{\underline {x^{3}-3x^{2}{\color {White}{}+0x-4}}}\\+x^{2}+0x{\color {White}{}-4}\\{\underline {+x^{2}-3x{\color {White}{}-4}}}\\+3x-4\\{\underline {+3x-9}}\\+5\end{array}}}$

El polinomio sobre la barra es el cociente q ( x ), y el número que queda (5) es el resto r ( x ).

${\displaystyle {x^{3}-2x^{2}-4}=(x-3)\,\underbrace {(x^{2}+x+3)} _{q(x)}+\underbrace {5} _{r(x)}}$

El algoritmo de división larga para aritmética es muy similar al algoritmo anterior, en el que la variable x se reemplaza (en base 10) por el número específico 10.

División corta de polinomios

El método de Blomqvist ^[1] es una versión abreviada de la división larga mencionada anteriormente. Este método, que se realiza con lápiz y papel, utiliza el mismo algoritmo que la división larga de polinomios, pero se utiliza el cálculo mental para determinar los residuos. Esto requiere menos escritura y, por lo tanto, puede ser un método más rápido una vez que se domina.

La división se escribe primero de forma similar a la multiplicación larga, con el dividendo arriba y el divisor debajo. El cociente se escribe debajo de la barra de izquierda a derecha.

${\displaystyle {\begin{matrix}\qquad \qquad x^{3}-2x^{2}+{0x}-4\\{\underline {\div \quad \qquad \qquad \qquad \qquad x-3}}\end{matrix}}}$

Divida el primer término del dividendo por el término más alto del divisor ( x ³ ÷ x = x ² ). Coloque el resultado debajo de la barra. x ³ se ha dividido sin dejar residuo, y por lo tanto se puede marcar como usado con una barra invertida. El resultado x ² se multiplica luego por el segundo término en el divisor −3 = −3 x ² . Determine el residuo parcial restando −2 x ² − (−3 x ² ) = x ² . Marque −2 x ² como usado y coloque el nuevo residuo x ² encima.

${\displaystyle {\begin{matrix}\qquad x^{2}\\\qquad \quad {\bcancel {x^{3}}}+{\bcancel {-2x^{2}}}+{0x}-4\\{\underline {\div \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x-3}}\\x^{2}\qquad \qquad \end{matrix}}}$

Divida el término más alto del resto por el término más alto del divisor ( x ² ÷ x = x ). Coloque el resultado (+x) debajo de la barra. x ² se ha dividido sin dejar resto y, por lo tanto, se puede marcar como usado. El resultado x se multiplica luego por el segundo término en el divisor −3 = −3 x . Determine el resto parcial restando 0 x − (−3 x ) = 3 x . Marque 0 x como usado y coloque el nuevo resto 3 x encima.

${\displaystyle {\begin{matrix}\qquad \qquad \quad {\bcancel {x^{2}}}\quad 3x\\\qquad \quad {\bcancel {x^{3}}}+{\bcancel {-2x^{2}}}+{\bcancel {0x}}-4\\{\underline {\div \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x-3}}\\x^{2}+x\qquad \end{matrix}}}$

Divida el término más alto del resto por el término más alto del divisor (3x ÷ x = 3). Coloque el resultado (+3) debajo de la barra. 3x se ha dividido sin dejar resto, y por lo tanto se puede marcar como usado. El resultado 3 se multiplica luego por el segundo término del divisor −3 = −9. Determine el resto parcial restando −4 − (−9) = 5. Marque −4 como usado y coloque el nuevo resto 5 encima.

${\displaystyle {\begin{matrix}\quad \qquad \qquad \qquad {\bcancel {x^{2}}}\quad {\bcancel {3x}}\quad 5\\\qquad \quad {\bcancel {x^{3}}}+{\bcancel {-2x^{2}}}+{\bcancel {0x}}{\bcancel {-4}}\\{\underline {\div \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x-3}}\\x^{2}+x+3\qquad \end{matrix}}}$

El polinomio debajo de la barra es el cociente q ( x ), y el número que queda (5) es el resto r ( x ).

Pseudocódigo

El algoritmo se puede representar en pseudocódigo de la siguiente manera, donde +, − y × representan aritmética polinomial y / representa la división simple de dos términos:

La función n/d es requiere d ≠ 0 q ← 0 r ← n // En cada paso n = d × q + r mientras r ≠ 0 y grado(r) ≥ grado(d) hacen t ← lead(r) / lead(d) // Divide los términos principales q ← q + t r ← r − t × d devolver (q, r)

Esto funciona igualmente bien cuando grado( n ) < grado( d ); en ese caso el resultado es simplemente el trivial (0, n ).

Este algoritmo describe exactamente el método de papel y lápiz mencionado anteriormente: d se escribe a la izquierda del ")"; q se escribe, término tras término, sobre la línea horizontal, siendo el último término el valor de t ; la región debajo de la línea horizontal se utiliza para calcular y escribir los valores sucesivos de r .

División euclidiana

Para cada par de polinomios ( A , B ) tales que B ≠ 0, la división polinomial proporciona un cociente Q y un resto R tales que

${\displaystyle A=BQ+R,}$

y R = 0 o grado( R ) < grado( B ). Además ( Q , R ) es el único par de polinomios que tiene esta propiedad.

El proceso de obtener los polinomios Q y R definidos de forma única a partir de A y B se denomina división euclidiana (a veces, transformación de división ). La división larga de polinomios es, por lo tanto, un algoritmo para la división euclidiana. ^[2]

Aplicaciones

Factorización de polinomios

A veces se conocen una o más raíces de un polinomio, tal vez habiéndose encontrado utilizando el teorema de la raíz racional . Si se conoce una raíz r de un polinomio P ( x ) de grado n, entonces se puede utilizar la división larga de polinomios para factorizar P ( x ) en la forma ( x − r ) Q ( x ) donde Q ( x ) es un polinomio de grado n − 1. Q ( x ) es simplemente el cociente obtenido del proceso de división; dado que se sabe que r es una raíz de P ( x ), se sabe que el resto debe ser cero.

De la misma manera, si se conocen varias raíces r , s , . . . de P ( x ), se puede dividir un factor lineal ( x − r ) para obtener Q ( x ), y luego ( x − s ) se puede dividir de Q ( x ), etc. Alternativamente, el factor cuadrático se puede dividir de P ( x ) para obtener un cociente de grado n − 2. ${\displaystyle (x-r)(x-s)=x^{2}-(r{+}s)x+rs}$

Este método es especialmente útil para polinomios cúbicos y, a veces, se pueden obtener todas las raíces de un polinomio de grado superior. Por ejemplo, si el teorema de la raíz racional produce una sola raíz (racional) de un polinomio de quinto grado , se puede factorizar para obtener un cociente de cuarto grado; la fórmula explícita para las raíces de un polinomio de cuarto grado se puede utilizar para encontrar las otras cuatro raíces del polinomio de quinto grado. Sin embargo, no existe una forma general de resolver un polinomio de quinto grado mediante métodos puramente algebraicos, consulte el teorema de Abel-Ruffini .

Encontrar tangentes a funciones polinómicas

La división larga de polinomios se puede utilizar para encontrar la ecuación de la línea que es tangente a la gráfica de la función definida por el polinomio P ( x ) en un punto particular x = r . ^[3] Si R ( x ) es el resto de la división de P ( x ) por ( x – r ) ² , entonces la ecuación de la línea tangente en x = r a la gráfica de la función y = P ( x ) es y = R ( x ), independientemente de si r es o no una raíz del polinomio.

Ejemplo

Encuentra la ecuación de la recta que es tangente a la siguiente curva ${\displaystyle y=(x^{3}-12x^{2}-42)}$

en: ${\displaystyle x=1}$

Comience dividiendo el polinomio por: ${\displaystyle (x-1)^{2}=(x^{2}-2x+1)}$

${\displaystyle {\begin{array}{r}x-10\\x^{2}-2x+1\ {\overline {)\ x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\{\underline {x^{3}-{\color {White}0}2x^{2}+{\color {White}1}x}}{\color {White}{}-42}\\-10x^{2}-{\color {White}01}x-42\\{\underline {-10x^{2}+20x-10}}\\-21x-32\end{array}}}$

La recta tangente es ${\displaystyle y=(-21x-32)}$

Comprobación de redundancia cíclica

Una verificación de redundancia cíclica utiliza el resto de la división polinomial para detectar errores en los mensajes transmitidos.

Véase también

• Teorema del resto del polinomio
• División sintética , un método más conciso para realizar la división de polinomios euclidianos
• La regla de Ruffini
• Dominio euclidiano
• Base de Gröbner
• Máximo común divisor de dos polinomios

Referencias

1. Archivado en Ghostarchive y Wayback Machine: La división de Blomqvist: ¿el método más simple para resolver divisiones? , consultado el 10 de diciembre de 2019
2. S. Barnard (2008). Álgebra superior . LEER LIBROS. p. 24. ISBN 978-1-4437-3086-0.
3. Strickland-Constable, Charles, "Un método simple para encontrar tangentes a gráficos polinomiales", Mathematical Gazette 89, noviembre de 2005: 466-467.