Teorema del número pentagonal

Teorema en teoría de números

En matemáticas , el teorema del número pentagonal de Euler relaciona las representaciones del producto y la serie de la función de Euler . Afirma que

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left(1-x^{n}\right)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(-1\right)^{k}x^{k\left(3k-1\right)/2}=1+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}\left(x^{k(3k+1)/2}+x^{k(3k-1)/2}\right).}$

En otras palabras,

${\displaystyle (1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})\cdots =1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}-\cdots .}$

Los exponentes 1, 2, 5, 7, 12, ... del lado derecho están dados por la fórmula g _k = k (3 k − 1)/2 para k = 1, −1, 2, −2, 3, ... y se llaman números pentagonales (generalizados) (secuencia A001318 en la OEIS ). (El término constante 1 corresponde a .) Esto se cumple como una identidad de series de potencias convergentes para , y también como una identidad de series de potencias formales . ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle |x|<1}$

Una característica sorprendente de esta fórmula es la cantidad de cancelación en la expansión del producto.

Relación con particiones

La identidad implica una recurrencia para calcular el número de particiones de n : ${\displaystyle p(n)}$

${\displaystyle p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+\cdots }$

o más formalmente,

${\displaystyle p(n)=\sum _{k\neq 0}(-1)^{k-1}p(n-g_{k})}$

donde la suma es sobre todos los enteros distintos de cero k (positivos y negativos) y es el k ^-ésimo número pentagonal generalizado. Dado que para todo , la serie aparentemente infinita de la derecha tiene solo un número finito de términos distintos de cero, lo que permite un cálculo eficiente de p ( n ). ${\displaystyle g_{k}}$ ${\displaystyle p(n)=0}$ ${\displaystyle n<0}$

Prueba biyectiva de Franklin

El teorema puede interpretarse combinatoriamente en términos de particiones . En particular, el lado izquierdo es una función generadora para el número de particiones de n en un número par de partes distintas menos el número de particiones de n en un número impar de partes distintas. Cada partición de n en un número par de partes distintas contribuye con +1 al coeficiente de x ⁿ ; cada partición en un número impar de partes distintas contribuye con −1. (El artículo sobre funciones de partición sin restricciones analiza este tipo de función generadora).

Por ejemplo, el coeficiente de x ⁵ es +1 porque hay dos maneras de dividir 5 en un número par de partes distintas (4 + 1 y 3 + 2), pero solo una manera de hacerlo para un número impar de partes distintas (la partición de una parte de 5). Sin embargo, el coeficiente de x ¹² es −1 porque hay siete maneras de dividir 12 en un número par de partes distintas, pero hay ocho maneras de dividir 12 en un número impar de partes distintas, y 7 − 8 = −1.

Esta interpretación conduce a una prueba de la identidad mediante la cancelación de pares de términos coincidentes ( método de involución ). ^[1] Considérese el diagrama de Ferrers de cualquier partición de n en partes distintas. Por ejemplo, el diagrama siguiente muestra n = 20 y la partición 20 = 7 + 6 + 4 + 3.

Sea m el número de elementos en la fila más pequeña del diagrama ( m = 3 en el ejemplo anterior). Sea s el número de elementos en la línea de 45 grados más a la derecha del diagrama ( s = 2 puntos en rojo arriba, ya que 7 − 1 = 6, pero 6 − 1 > 4). Si m  >  s , tome la línea de 45 grados más a la derecha y muévala para formar una nueva fila, como en el diagrama correspondiente a continuación.

Si m ≤ s (como en nuestro diagrama recién formado donde m = 2, s = 5) podemos revertir el proceso moviendo la fila inferior para formar una nueva línea de 45 grados (agregando 1 elemento a cada una de las primeras m filas), llevándonos de regreso al primer diagrama.

Si pensamos un poco, veremos que este proceso siempre cambia la paridad del número de filas y que, si aplicamos el proceso dos veces, volveremos al diagrama original. Esto nos permite emparejar los diagramas de Ferrers que contribuyen con 1 y −1 al término x ⁿ de la serie, lo que da como resultado un coeficiente neto de 0 para x ⁿ . Esto se cumple para cada término, excepto cuando el proceso no se puede realizar en todos los diagramas de Ferrers con n puntos. Hay dos casos de este tipo:

1) m = s y la diagonal más a la derecha y la fila inferior se encuentran. Por ejemplo,

Intentar realizar la operación nos llevaría a:

que no cambia la paridad del número de filas y no es reversible en el sentido de que realizar la operación nuevamente no nos lleva de regreso al diagrama original. Si hay m elementos en la última fila del diagrama original, entonces

${\displaystyle n=m+(m+1)+(m+2)+\cdots +(2m-1)={\frac {m(3m-1)}{2}}={\frac {k(3k-1)}{2}}}$

donde el nuevo índice k se toma igual a m . Nótese que el signo asociado con esta partición es (−1) ^s , que por construcción es igual a (−1) ^m y (−1) ^k .

2) m = s + 1 y la diagonal más a la derecha y la fila inferior se encuentran. Por ejemplo,

Nuestra operación requiere que desplacemos la diagonal derecha hasta la fila inferior, pero eso nos llevaría a dos filas de tres elementos, lo que está prohibido ya que estamos contando particiones en partes distintas. Este es el caso anterior pero con una fila menos, por lo que

${\displaystyle n=m+(m+1)+(m+2)+\cdots +(2m-2)={\frac {(m-1)(3m-2)}{2}}={\frac {k(3k-1)}{2}},}$

donde tomamos k = 1− m (un entero negativo). Aquí el signo asociado es (−1) ^s con s =  m  − 1 = − k , por lo tanto el signo es nuevamente (−1) ^k .

En resumen, se ha demostrado que las particiones en un número par de partes distintas y un número impar de partes distintas se cancelan exactamente entre sí, produciendo términos nulos 0 x ⁿ , excepto si n es un número pentagonal generalizado , en cuyo caso queda exactamente un diagrama de Ferrers, produciendo un término (−1) ^k x ⁿ . Pero esto es precisamente lo que el lado derecho de la identidad dice que debería suceder, así que hemos terminado. ${\displaystyle n=g_{k}=k(3k-1)/2}$

Recurrencia de particiones

Podemos reformular la prueba anterior, utilizando particiones enteras , que denotamos como: , donde . El número de particiones de n es la función de partición p ( n ) que tiene función generadora: ${\displaystyle n=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{\ell }}$ ${\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \ldots \geq \lambda _{\ell }>0}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }(1-x^{k})^{-1}}$

Tenga en cuenta que es el recíproco del producto en el lado izquierdo de nuestra identidad:

${\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}\right)\cdot \left(\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})\right)=1}$

Denotemos la expansión de nuestro producto por de modo que ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n},}$

${\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\right)=1.}$

Al multiplicar el lado izquierdo e igualar los coeficientes de ambos lados, obtenemos a ₀ p (0) = 1 y para todo . Esto da una relación de recurrencia que define p ( n ) en términos de a _n , y viceversa, una recurrencia para a _n en términos de p ( n ). Por lo tanto, nuestro resultado deseado: ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}p(n-i)a_{i}=0}$ ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle a_{i}:={\begin{cases}1&{\text{ if }}i={\frac {1}{2}}(3k^{2}\pm k){\text{ and }}k{\text{ is even}}\\-1&{\text{ if }}i={\frac {1}{2}}(3k^{2}\pm k){\text{ and }}k{\text{ is odd }}\\0&{\text{ otherwise }}\end{cases}}}$

for es equivalente a la identidad donde y i abarca todos los números enteros tales que (este rango incluye tanto i positivo como negativo, de modo de utilizar ambos tipos de números pentagonales generalizados). Esto a su vez significa: ${\displaystyle i\geq 1}$ ${\displaystyle \sum _{i}(-1)^{i}p(n-g_{i})=0,}$ ${\displaystyle g_{i}:=\textstyle {\frac {1}{2}}(3i^{2}-i)}$ ${\displaystyle g_{i}\leq n}$

${\displaystyle \sum _{i\mathrm {\ even} }p(n-g_{i})=\sum _{i\mathrm {\ odd} }p(n-g_{i}).}$

En términos de conjuntos de particiones, esto equivale a decir que los siguientes conjuntos son de igual cardinalidad:

${\displaystyle {\mathcal {X}}:=\bigcup _{i\mathrm {\ even} }{\mathcal {P}}(n-g_{i})}$         y         ${\displaystyle {\mathcal {Y}}:=\bigcup _{i{\text{ odd}}}{\mathcal {P}}(n-g_{i}),}$

donde denota el conjunto de todas las particiones de . Todo lo que queda es dar una biyección de un conjunto al otro, lo que se logra mediante la función φ de X a Y que asigna la partición a la partición definida por: ${\displaystyle {\mathcal {P}}(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(n-g_{i})\ni \lambda :n-g_{i}=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\dotsb +\lambda _{\ell }}$ ${\displaystyle \lambda '=\varphi (\lambda )}$

${\displaystyle \varphi (\lambda ):={\begin{cases}\lambda ':n-g_{i-1}=(\ell +3i-2)+(\lambda _{1}-1)+\dotsb +(\lambda _{\ell }-1)&{\text{ if }}\ell +3i>\lambda _{1}\\\\\lambda ':n-g_{i+1}=(\lambda _{2}+1)+\dotsb +(\lambda _{\ell }+1)+\underbrace {1+\dotsb +1} _{\lambda _{1}-\ell -3i}&{\text{ if }}\ell +3i\leq \lambda _{1}.\end{cases}}}$

Se trata de una involución (una aplicación autoinversa), y por tanto en particular de una biyección, que prueba nuestra afirmación y la identidad.

Véase también

El teorema del número pentagonal se presenta como un caso especial del triple producto de Jacobi .

Las series Q generalizan la función de Euler, que está estrechamente relacionada con la función eta de Dedekind y se da en el estudio de las formas modulares . El módulo de la función de Euler (véase la imagen) muestra la simetría del grupo modular fractal y se da en el estudio del interior del conjunto de Mandelbrot .

Referencias

1. Franklin, F. (1881). "Sobre el desarrollo del producto (1 –  x )(1 –  x ² )(1 −  x ³ ) ...". Comtes Rendues Acad. París Ser A. 92 : 448–450.

• Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR  0434929, Zbl  0335.10001
• Hardy, GH ; Wright, EM (2008) [1938]. Introducción a la teoría de números . Revisado por DR Heath-Brown y JH Silverman . Prólogo de Andrew Wiles . (6.ª ed.). Oxford: Oxford University Press . ISBN 978-0-19-921986-5. Sr.  2445243. Zbl  1159.11001.

Enlaces externos

• Jordan Bell (2005). "Euler y el teorema del número pentagonal". arXiv : math.HO/0510054 .
• Sobre el teorema pentagonal de Euler en MathPages
• Secuencia OEIS A000041 (a(n) = número de particiones de n (los números de partición))
• De mirabilis proprietatibus numerorum pentagonalium en Scholarly Commons.