Teorema del cociente de subespacios

En matemáticas, el teorema del cociente de subespacios es una propiedad importante de los espacios normados de dimensión finita , descubierta por Vitali Milman . ^[1]

Sea ( X , ||·||) un espacio normado de dimensión N. Existen subespacios Z  ⊂  Y  ⊂  X tales que se cumple lo siguiente:

• El espacio cociente E  =  Y  /  Z es de dimensión dim E ≥  c  N , donde c  > 0 es una constante universal.
• La norma inducida || · || en E , definida por

${\displaystyle \|e\|=\min _{y\in e}\|y\|,\quad e\in E,}$

es uniformemente isomorfa a la euclidiana. Es decir, existe una forma cuadrática positiva ("estructura euclidiana") Q en E , tal que

${\displaystyle {\frac {\sqrt {Q(e)}}{K}}\leq \|e\|\leq K{\sqrt {Q(e)}}}$para ${\displaystyle e\in E,}$

con K  > 1 una constante universal.

La afirmación es relativamente fácil de demostrar por inducción en la dimensión de Z (incluso para Y=Z , X = 0 , c=1 ) con una K que depende sólo de N ; el punto del teorema es que K es independiente de N.

De hecho, la constante c puede hacerse arbitrariamente cercana a 1, a expensas de que la constante K se haga grande. La prueba original permitía

${\displaystyle c(K)\approx 1-{\text{const}}/\log \log K.}$^[2]

Notas

1. La prueba original apareció en Milman (1984). Véase también Pisier (1989).
2. Consulte las referencias para obtener estimaciones mejoradas.

Referencias

• Milman, VD (1984), "Espacios cocientes casi euclidianos de subespacios de un espacio normado de dimensión finita", Seminario israelí sobre aspectos geométricos del análisis funcional , X , Tel Aviv: Tel Aviv Univ.
• Gordon, Y. (1988), "Sobre la desigualdad de Milman y los subespacios aleatorios que escapan a través de una malla en R ⁿ ", Aspectos geométricos del análisis funcional , Lecture Notes in Math., 1317 , Berlín: Springer: 84–106, doi :10.1007/BFb0081737, ISBN 978-3-540-19353-1
• Pisier, G. (1989), El volumen de los cuerpos convexos y la geometría del espacio de Banach , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 94, Cambridge: Cambridge University Press