Teorema del círculo de Milne-Thomson

En dinámica de fluidos, el teorema del círculo de Milne-Thomson o teorema del círculo es un enunciado que proporciona una nueva función de corriente para un flujo de fluido cuando se coloca un cilindro en ese flujo. ^{[1] [2]} Debe su nombre al matemático inglés LM Milne-Thomson .

Sea el potencial complejo para un flujo de fluido, donde todas las singularidades de se encuentran en . Si se coloca un círculo en ese flujo, el potencial complejo para el nuevo flujo está dado por ^[3] ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle |z|>a}$ ${\displaystyle |z|=a}$

${\displaystyle w=f(z)+{\overline {f\left({\frac {a^{2}}{\bar {z}}}\right)}}=f(z)+{\overline {f}}\left({\frac {a^{2}}{z}}\right).}$

con las mismas singularidades que en y es una línea de corriente. En el círculo , , por lo tanto ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle |z|>a}$ ${\displaystyle |z|=a}$ ${\displaystyle |z|=a}$ ${\displaystyle z{\bar {z}}=a^{2}}$

${\displaystyle w=f(z)+{\overline {f(z)}}.}$

Ejemplo

Consideremos un flujo irrotacional uniforme con velocidad que fluye en dirección positiva y coloquemos en el flujo un cilindro de radio infinitamente largo con el centro del cilindro en el origen. Entonces , utilizando el teorema del círculo, ${\displaystyle f(z)=Uz}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f\left({\frac {a^{2}}{\bar {z}}}\right)={\frac {Ua^{2}}{\bar {z}}},\ \Rightarrow \ {\overline {f\left({\frac {a^{2}}{\bar {z}}}\right)}}={\frac {Ua^{2}}{z}}}$

${\displaystyle w(z)=U\left(z+{\frac {a^{2}}{z}}\right)}$

representa el potencial complejo del flujo uniforme sobre un cilindro.

Véase también

• Flujo potencial
• Mapeo conforme
• Potencial de velocidad
• Método de Milne-Thomson para hallar una función holomorfa

Referencias

1. Batchelor, George Keith (1967). Introducción a la dinámica de fluidos. Cambridge University Press . pág. 422. ISBN 0-521-66396-2.
2. Raisinghania, MD (diciembre de 2003). Dinámica de fluidos. S. Chand. ISBN 9788121908696.
3. Tulu, Serdar (2011). Dinámica de vórtices en dominios con límites (PDF) (Tesis).