teorema de wendel

En la teoría de la probabilidad geométrica , el teorema de Wendel , que lleva el nombre de James G. Wendel, da la probabilidad de que N puntos distribuidos uniformemente al azar en una hiperesfera de dimensiones se encuentren todos en la misma "mitad" de la hiperesfera. En otras palabras, se busca la probabilidad de que exista algún semiespacio con el origen en su límite que contenga todos los N puntos. El teorema de Wendel dice que la probabilidad es ^[1] ${\displaystyle (n-1)}$

${\displaystyle p_{n,N}=2^{-N+1}\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {N-1}{k}}.}$

La afirmación equivale a ser la probabilidad de que el origen no esté contenido en el casco convexo de los N puntos y se cumple para cualquier distribución de probabilidad en R ⁿ que sea simétrica alrededor del origen. En particular, esto incluye todas las distribuciones que son rotacionalmente invariantes alrededor del origen. ${\displaystyle p_{n,N}}$

Esta es esencialmente una reformulación probabilística del teorema de Schläfli de que los hiperplanos en posición general lo dividen en regiones. ^[2] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle 2\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {N-1}{k}}}$

Referencias

1. Wendel, James G. (1962), "Un problema de probabilidad geométrica", Matemáticas. Escanear. , 11 : 109-111
2. Portada, Thomas M.; Efron, Bradley (febrero de 1967). "Probabilidad geométrica y puntos aleatorios en una hiperesfera". Los anales de la estadística matemática . 38 (1): 213–220. doi : 10.1214/aoms/1177699073 . ISSN  0003-4851.