Teorema de Kleiman

En geometría algebraica, el teorema de Kleiman , introducido por Kleiman (1974), se ocupa de la dimensión y suavidad de la intersección del esquema teórico después de alguna perturbación de los factores en la intersección.

Precisamente, establece: ^[1] dado un grupo algebraico conexo G que actúa transitivamente sobre una variedad algebraica X sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k y morfismos de variedades, G contiene un subconjunto abierto no vacío tal que para cada g en el conjunto, ${\displaystyle V_{i}\to X,i=1,2}$

1. o bien está vacío o tiene dimensión pura , donde es , ${\displaystyle gV_{1}\times _{X}V_{2}}$ ${\displaystyle \dim V_{1}+\dim V_{2}-\dim X}$ ${\displaystyle gV_{1}}$ ${\displaystyle V_{1}\to X{\overset {g}{\to }}X}$
2. ( Teorema de Kleiman-Bertini ) Si son variedades suaves y si la característica del campo base k es cero, entonces es suave. ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle gV_{1}\times _{X}V_{2}}$

La afirmación 1 establece una versión del lema móvil de Chow : ^[2] después de cierta perturbación de ciclos en X , su intersección tiene la dimensión esperada.

Bosquejo de la prueba

Escribimos para . Sea la composición que va seguida de la acción grupal . ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle V_{i}\to X}$ ${\displaystyle h:G\times V_{1}\to X}$ ${\displaystyle (1_{G},f_{1}):G\times V_{1}\to G\times X}$ ${\displaystyle \sigma :G\times X\to X}$

Sea el producto de fibras de y ; su conjunto de puntos cerrados es ${\displaystyle \Gamma =(G\times V_{1})\times _{X}V_{2}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f_{2}:V_{2}\to X}$

${\displaystyle \Gamma =\{(g,v,w)|g\in G,v\in V_{1},w\in V_{2},g\cdot f_{1}(v)=f_{2}(w)\}}$.

Queremos calcular la dimensión de . Sea la proyección. Es sobreyectiva ya que actúa transitivamente sobre X . Cada fibra de p es un conjunto de estabilizadores sobre X y por lo tanto ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle p:\Gamma \to V_{1}\times V_{2}}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \dim \Gamma =\dim V_{1}+\dim V_{2}+\dim G-\dim X}$.

Considere la proyección ; la fibra de q sobre g es y tiene la dimensión esperada a menos que esté vacía. Esto completa la prueba de la afirmación 1. ${\displaystyle q:\Gamma \to G}$ ${\displaystyle gV_{1}\times _{X}V_{2}}$

Para la afirmación 2, puesto que G actúa transitivamente sobre X y el lugar geométrico liso de X no está vacío (por característica cero), X en sí mismo es liso. Puesto que G es liso, cada fibra geométrica de p es lisa y, por lo tanto, es un morfismo liso . De ello se deduce que una fibra general de es lisa por suavidad genérica . ${\displaystyle p_{0}:\Gamma _{0}:=(G\times V_{1,{\text{sm}}})\times _{X}V_{2,{\text{sm}}}\to V_{1,{\text{sm}}}\times V_{2,{\text{sm}}}}$ ${\displaystyle q_{0}:\Gamma _{0}\to G}$ ${\displaystyle \square }$

Notas

1. Fulton (1998, Apéndice B. 9.2.)
2. Fulton (1998, Ejemplo 11.4.5.)

Referencias

• Eisenbud, David ; Harris, Joe (2016), 3264 y todo eso: un segundo curso de geometría algebraica , Cambridge University Press, ISBN 978-1107602724
• Kleiman, Steven L. (1974), "La transversalidad de una traducción general", Compositio Mathematica , 28 : 287–297, MR  0360616
• Fulton, William (1998), Teoría de la intersección , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Folge., vol. 2 (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, Sr.  1644323