En matemáticas , especialmente en el área del álgebra abstracta que trata de estructuras ordenadas en grupos abelianos , el teorema de incrustación de Hahn proporciona una descripción simple de todos los grupos abelianos ordenados linealmente . Recibe su nombre en honor a Hans Hahn . [1]
El teorema establece que todo grupo abeliano linealmente ordenado G puede ser incluido como un subgrupo ordenado del grupo aditivo dotado de un orden lexicográfico , donde es el grupo aditivo de los números reales (con su orden estándar), Ω es el conjunto de clases de equivalencia arquimediana de G , y es el conjunto de todas las funciones desde Ω hasta que se anulan fuera de un conjunto bien ordenado .
Sea 0 el elemento identidad de G . Para cualquier elemento distinto de cero g de G , exactamente uno de los elementos g o − g es mayor que 0; denotemos este elemento por | g |. Dos elementos distintos de cero g y h de G son equivalentes arquimedianos si existen números naturales N y M tales que N | g | > | h | y M | h | > | g |. Intuitivamente, esto significa que ni g ni h son "infinitesimales" con respecto al otro. El grupo G es arquimediano si todos los elementos distintos de cero son equivalentes arquimedianos. En este caso, Ω es un singleton , por lo que es simplemente el grupo de números reales. Entonces, el teorema de incrustación de Hahn se reduce al teorema de Hölder (que establece que un grupo abeliano ordenado linealmente es arquimediano si y solo si es un subgrupo del grupo aditivo ordenado de los números reales).
Gravett (1956) ofrece una clara formulación y demostración del teorema. Los trabajos de Clifford (1954) y Hausner & Wendel (1952) proporcionan conjuntamente otra demostración. Véase también Fuchs & Salce (2001, p. 62).
