Teorema de extensión de M. Riesz

El teorema de extensión de M. Riesz es un teorema de matemáticas , demostrado por Marcel Riesz ^[1] durante su estudio del problema de los momentos . ^[2]

Formulación

Sea un espacio vectorial real , un subespacio vectorial y un cono convexo . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F\subset E}$ ${\displaystyle K\subset E}$

Un funcional lineal se llama positivo si toma solo valores no negativos en el cono : ${\displaystyle \phi :F\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \phi (x)\geq 0\quad {\text{for}}\quad x\in F\cap K.}$

Un funcional lineal se denomina extensión positiva de , si es idéntico en el dominio de y también devuelve un valor de al menos 0 para todos los puntos del cono : ${\displaystyle \psi :E\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \psi |_{F}=\phi \quad {\text{and}}\quad \psi (x)\geq 0\quad {\text{for}}\quad x\in K.}$

En general, un funcional lineal positivo no se puede extender a un funcional lineal positivo . Ya en dos dimensiones se obtiene un contraejemplo. Sea y el eje -. El funcional positivo no se puede extender a un funcional positivo en . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E=\mathbb {R} ^{2},\ K=\{(x,y):y>0\}\cup \{(x,0):x>0\},}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \phi (x,0)=x}$ ${\displaystyle E}$

Sin embargo, la extensión existe bajo el supuesto adicional de que, es decir, para cada existe algo tal que ${\displaystyle E\subset K+F,}$ ${\displaystyle y\in E,}$ ${\displaystyle x\in F}$ ${\displaystyle y-x\in K.}$

Prueba

La prueba es similar a la prueba del teorema de Hahn-Banach (ver también más abajo).

Por inducción transfinita o el lema de Zorn es suficiente considerar el caso oscuro  . ${\displaystyle E/F=1}$

Elige cualquiera . Colocar ${\displaystyle y\in E\setminus F}$

${\displaystyle a=\sup\{\,\phi (x)\mid x\in F,\ y-x\in K\,\},\ b=\inf\{\,\phi (x)\mid x\in F,x-y\in K\,\}.}$

Lo demostraremos a continuación . Por ahora, elija cualquier satisfactorio y establezca , y luego extienda a todos por linealidad. Necesitamos demostrar que eso es positivo. Suponer . Entonces o , o o para algunos y . Si entonces . En el primer caso restante , y así ${\displaystyle -\infty <a\leq b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a\leq c\leq b}$ ${\displaystyle \psi (y)=c}$ ${\displaystyle \psi |_{F}=\phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle z\in K}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle z=p(x+y)}$ ${\displaystyle z=p(x-y)}$ ${\displaystyle p>0}$ ${\displaystyle x\in F}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle \psi (z)>0}$ ${\displaystyle x+y=y-(-x)\in K}$

${\displaystyle \psi (y)=c\geq a\geq \phi (-x)=\psi (-x)}$

por definición. De este modo

${\displaystyle \psi (z)=p\psi (x+y)=p(\psi (x)+\psi (y))\geq 0.}$

En el segundo caso, y de manera similar ${\displaystyle x-y\in K}$

${\displaystyle \psi (y)=c\leq b\leq \phi (x)=\psi (x)}$

por definición y así

${\displaystyle \psi (z)=p\psi (x-y)=p(\psi (x)-\psi (y))\geq 0.}$

En todos los casos, , y también es positivo. ${\displaystyle \psi (z)>0}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle K}$

Ahora lo demostramos . Observe por suposición que existe al menos uno para el cual , y así . Sin embargo, puede darse el caso de que no haya para which , en cuyo caso y la desigualdad es trivial (en este caso, observe que el tercer caso anterior no puede suceder). Por lo tanto, podemos suponer que y hay al menos uno para el cual . Para probar la desigualdad, basta demostrar que siempre que y , y y , entonces . En efecto, ${\displaystyle -\infty <a\leq b}$ ${\displaystyle x\in F}$ ${\displaystyle y-x\in K}$ ${\displaystyle -\infty <a}$ ${\displaystyle x\in F}$ ${\displaystyle x-y\in K}$ ${\displaystyle b=\infty }$ ${\displaystyle b<\infty }$ ${\displaystyle x\in F}$ ${\displaystyle x-y\in K}$ ${\displaystyle x\in F}$ ${\displaystyle y-x\in K}$ ${\displaystyle x'\in F}$ ${\displaystyle x'-y\in K}$ ${\displaystyle \phi (x)\leq \phi (x')}$

${\displaystyle x'-x=(x'-y)+(y-x)\in K}$

ya que es un cono convexo, y entonces ${\displaystyle K}$

${\displaystyle 0\leq \phi (x'-x)=\phi (x')-\phi (x)}$

ya que es -positivo. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle K}$

Corolario: teorema de extensión de Krein

Sea E un espacio lineal real y sea K  ⊂  E un cono convexo . Sea x  ∈  E /(− K ) tal que R x  +  K  =  E . Entonces existe un K -funcional lineal positivo φ :  E  →  R tal que φ ( x ) > 0. 

Conexión con el teorema de Hahn-Banach

El teorema de Hahn-Banach se puede deducir del teorema de extensión de M. Riesz.

Sea V un espacio lineal y sea N una función sublineal en V. Sea φ un funcional en un subespacio U  ⊂  V dominado por N :

${\displaystyle \phi (x)\leq N(x),\quad x\in U.}$

El teorema de Hahn-Banach afirma que φ se puede extender a un funcional lineal en V que está dominado por N.

Para derivar esto del teorema de extensión de M. Riesz, defina un cono convexo K  ⊂  R × V por

${\displaystyle K=\left\{(a,x)\,\mid \,N(x)\leq a\right\}.}$

Defina un funcional φ ₁ en R × U por

${\displaystyle \phi _{1}(a,x)=a-\phi (x).}$

Se puede ver que φ ₁ es K -positivo y que K  + ( R  ×  U ) =  R  ×  V . Por lo tanto, φ 1 _se puede extender a un K -funcional positivo ψ ₁ en R × V. Entonces

${\displaystyle \psi (x)=-\psi _{1}(0,x)}$

es la extensión deseada de φ . De hecho, si ψ ( x ) >  N ( x ), tenemos: ( N ( x ),  x ) ∈  K , mientras que

${\displaystyle \psi _{1}(N(x),x)=N(x)-\psi (x)<0,}$

conduciendo a una contradicción.

Referencias

1. Riesz (1923)
2. Akhiezer (1965)

Fuentes

• Castillo, Reńe E. (2005), "Una nota sobre el teorema de Krein" (PDF) , Lecturas Matematicas , 26 , archivado desde el original (PDF) el 1 de febrero de 2014 , consultado el 18 de enero de 2014
• Riesz, M. (1923), "Sur le problème des moment. III.", Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik (en francés), 17 (16), JFM  49.0195.01
• Akhiezer, NI (1965), El problema del momento clásico y algunas cuestiones relacionadas en el análisis , Nueva York: Hafner Publishing Co., MR  0184042