Ecuaciones de Euler (dinámica de fluidos)

Set of quasilinear hyperbolic equations governing adiabatic and inviscid flow

Flujo alrededor de un ala. Este flujo incompresible satisface las ecuaciones de Euler.

En dinámica de fluidos , las ecuaciones de Euler son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales que rigen el flujo adiabático y no viscoso . Reciben su nombre de Leonhard Euler . En particular, corresponden a las ecuaciones de Navier-Stokes con viscosidad cero y conductividad térmica cero . ^[1]

Las ecuaciones de Euler se pueden aplicar a flujos incompresibles y compresibles . Las ecuaciones de Euler incompresibles consisten en ecuaciones de Cauchy para la conservación de la masa y el equilibrio del momento, junto con la condición de incompresibilidad de que la velocidad del flujo es un campo solenoidal . Las ecuaciones de Euler compresibles consisten en ecuaciones para la conservación de la masa, el equilibrio del momento y el equilibrio de la energía, junto con una ecuación constitutiva adecuada para la densidad de energía específica del fluido. Históricamente, Euler solo derivó las ecuaciones de conservación de la masa y el equilibrio del momento. Sin embargo, la literatura sobre dinámica de fluidos a menudo se refiere al conjunto completo de ecuaciones de Euler compresibles, incluida la ecuación de la energía, como "las ecuaciones de Euler compresibles". ^[2]

Las características matemáticas de las ecuaciones de Euler incompresibles y compresibles son bastante diferentes. Para una densidad de fluido constante, las ecuaciones incompresibles pueden escribirse como una ecuación de advección cuasilineal para la velocidad del fluido junto con una ecuación de Poisson elíptica para la presión. Por otro lado, las ecuaciones de Euler compresibles forman un sistema hiperbólico cuasilineal de ecuaciones de conservación .

Las ecuaciones de Euler pueden formularse en una "forma convectiva" (también llamada " forma lagrangiana ") o en una "forma de conservación" (también llamada " forma euleriana "). La forma convectiva enfatiza los cambios de estado en un marco de referencia que se mueve con el fluido. La forma de conservación enfatiza la interpretación matemática de las ecuaciones como ecuaciones de conservación para un volumen de control fijo en el espacio (lo cual es útil desde un punto de vista numérico).

Historia

Las ecuaciones de Euler aparecieron por primera vez en forma publicada en el artículo de Euler "Principes généraux du mouvement des fluides", publicado en Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin en 1757 ^[3] (aunque Euler ya había presentado su trabajo en la Academia de Berlín en 1752). ^[4] Los trabajos anteriores incluían contribuciones de la familia Bernoulli , así como de Jean le Rond d'Alembert . ^[5]

Las ecuaciones de Euler estuvieron entre las primeras ecuaciones diferenciales parciales que se escribieron, después de la ecuación de onda . En el trabajo original de Euler, el sistema de ecuaciones consistía en las ecuaciones de momento y continuidad, y por lo tanto estaba subdeterminado excepto en el caso de un flujo incompresible. Pierre-Simon Laplace propuso una ecuación adicional, llamada condición adiabática , en 1816.

Durante la segunda mitad del siglo XIX, se descubrió que la ecuación relacionada con el balance de energía debe mantenerse en todo momento para flujos compresibles, y la condición adiabática es una consecuencia de las leyes fundamentales en el caso de soluciones suaves. Con el descubrimiento de la teoría especial de la relatividad , los conceptos de densidad de energía, densidad de momento y tensión se unificaron en el concepto de tensor de tensión-energía , y la energía y el momento se unificaron asimismo en un solo concepto, el vector de energía-momento . ^[4]

Ecuaciones de Euler incompresibles con densidad constante y uniforme

En forma convectiva (es decir, la forma con el operador convectivo hecho explícito en la ecuación del momento ), las ecuaciones de Euler incompresibles en caso de densidad constante en el tiempo y uniforme en el espacio son: ^[6]

Ecuaciones de Euler incompresibles con densidad constante y uniforme
( forma convectiva o lagrangiana )

${\displaystyle {\begin{aligned}{D\mathbf {u} \over Dt}&=-\nabla w+\mathbf {g} \\\nabla \cdot \mathbf {u} &=0\end{aligned}}}$

dónde:

• ${\displaystyle \mathbf {u} }$es el vector de velocidad de flujo , con componentes en un espacio N -dimensional , ${\displaystyle u_{1},u_{2},\dots ,u_{N}}$
• ${\displaystyle {\frac {D{\boldsymbol {\Phi }}}{Dt}}={\frac {\partial {\boldsymbol {\Phi }}}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla {\boldsymbol {\Phi }}}$, para una función (o campo) genérico denota su derivada material en el tiempo con respecto al campo advectivo y ${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$
• ${\displaystyle \nabla w}$es el gradiente del trabajo termodinámico específico (con el sentido de por unidad de masa ) , el término de fuente interna , y
• ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} }$es la divergencia de la velocidad del flujo .
• ${\displaystyle \mathbf {g} }$representa aceleraciones corporales (por unidad de masa) que actúan sobre el continuo, por ejemplo , la gravedad , las aceleraciones inerciales, la aceleración del campo eléctrico , etc.

La primera ecuación es la ecuación de Euler del momento con densidad uniforme (para esta ecuación también podría no ser constante en el tiempo). Al desarrollar la derivada material , las ecuaciones se convierten en: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial \mathbf {u} \over \partial t}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} &=-\nabla w+\mathbf {g} ,\\\nabla \cdot \mathbf {u} &=0.\end{aligned}}}$$

De hecho, para un flujo con densidad uniforme se cumple la siguiente identidad: donde es la presión mecánica . La segunda ecuación es la restricción incompresible , que establece que la velocidad del flujo es un campo solenoidal (el orden de las ecuaciones no es causal, pero subraya el hecho de que la restricción incompresible no es una forma degenerada de la ecuación de continuidad , sino más bien de la ecuación de energía, como se aclarará a continuación). Cabe destacar que la ecuación de continuidad también sería necesaria en este caso incompresible como una tercera ecuación adicional en caso de que la densidad varíe en el tiempo o varíe en el espacio. Por ejemplo, con una densidad no uniforme en el espacio pero constante en el tiempo, la ecuación de continuidad que se añadiría al conjunto anterior correspondería a: ${\displaystyle \rho _{0}}$ $${\displaystyle \nabla w\equiv \nabla \left({\frac {p}{\rho _{0}}}\right)={\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p,}$$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0.}$$

Así, el caso de densidad constante y uniforme es el único que no requiere la ecuación de continuidad como ecuación adicional, independientemente de la presencia o ausencia de la restricción de incompresibilidad. De hecho, el caso de ecuaciones de Euler incompresibles con densidad constante y uniforme que se analiza aquí es un modelo de juguete que presenta solo dos ecuaciones simplificadas, por lo que es ideal para fines didácticos, aunque tenga una relevancia física limitada.

Las ecuaciones anteriores representan respectivamente la conservación de la masa (1 ecuación escalar) y del momento (1 ecuación vectorial que contiene componentes escalares, donde es la dimensión física del espacio de interés). La velocidad y la presión del flujo son las denominadas variables físicas . ^[1] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

En un sistema de coordenadas dado por los vectores de velocidad y fuerza externa y tienen componentes y , respectivamente. Entonces las ecuaciones pueden expresarse en notación de subíndice como: ${\displaystyle \left(x_{1},\dots ,x_{N}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {g} }$ ${\displaystyle (u_{1},\dots ,u_{N})}$ ${\displaystyle \left(g_{1},\dots ,g_{N}\right)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial u_{i} \over \partial t}+\sum _{j=1}^{N}{\partial \left(u_{i}u_{j}+w\delta _{ij}\right) \over \partial x_{j}}&=g_{i},\\\sum _{i=1}^{N}{\partial u_{i} \over \partial x_{i}}&=0.\end{aligned}}}$$

donde los subíndices y etiquetan los componentes del espacio N -dimensional, y es el delta de Kroenecker . El uso de la notación de Einstein (donde la suma está implícita por índices repetidos en lugar de la notación sigma ) también es frecuente. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

Propiedades

Aunque Euler presentó por primera vez estas ecuaciones en 1755, muchas preguntas o conceptos fundamentales sobre ellas siguen sin respuesta.

En tres dimensiones espaciales, en ciertos escenarios simplificados, las ecuaciones de Euler producen singularidades. ^[7]

Las soluciones suaves de las ecuaciones libres (en el sentido de sin término fuente: g=0) satisfacen la conservación de la energía cinética específica: $${\displaystyle {\partial \over \partial t}\left({\frac {1}{2}}u^{2}\right)+\nabla \cdot \left(u^{2}\mathbf {u} +w\mathbf {u} \right)=0.}$$

En el caso unidimensional sin el término fuente (tanto gradiente de presión como fuerza externa), la ecuación del momento se convierte en la ecuación de Burgers no viscosa : $${\displaystyle {\partial u \over \partial t}+u{\partial u \over \partial x}=0.}$$

Esta ecuación modelo proporciona muchas ideas sobre las ecuaciones de Euler.

No dimensionalización

Para que las ecuaciones sean adimensionales, es necesario definir una longitud característica y una velocidad característica . Estas deben elegirse de modo que las variables adimensionales sean todas de orden uno. De este modo, se obtienen las siguientes variables adimensionales: y del vector unitario de campo : ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle u_{0}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}u^{*}&\equiv {\frac {u}{u_{0}}},&r^{*}&\equiv {\frac {r}{r_{0}}},\\[5pt]t^{*}&\equiv {\frac {u_{0}}{r_{0}}}t,&p^{*}&\equiv {\frac {w}{u_{0}^{2}}},\\[5pt]\nabla ^{*}&\equiv r_{0}\nabla .\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\hat {\mathbf {g} }}\equiv {\frac {\mathbf {g} }{g}}.}$$

La sustitución de estas relaciones inversas en las ecuaciones de Euler, que definen el número de Froude , da como resultado (omitiendo el * en apix):

Ecuaciones de Euler incompresibles con densidad constante y uniforme
( forma adimensional )

${\displaystyle {\begin{aligned}{D\mathbf {u} \over Dt}&=-\nabla w+{\frac {1}{\mathrm {Fr} }}{\hat {\mathbf {g} }}\\\nabla \cdot \mathbf {u} &=0\end{aligned}}}$

Las ecuaciones de Euler en el límite de Froude (sin campo externo) se denominan ecuaciones libres y son conservativas. El límite de números de Froude altos (campo externo bajo) es, por lo tanto, notable y se puede estudiar con la teoría de perturbaciones .

Formulario de conservación

La forma conservada enfatiza las propiedades matemáticas de las ecuaciones de Euler, y especialmente la forma contraída es a menudo la más conveniente para las simulaciones computacionales de dinámica de fluidos . Desde el punto de vista computacional, existen algunas ventajas en el uso de las variables conservadas. Esto da lugar a una gran clase de métodos numéricos llamados métodos conservadores. ^[1]

Las ecuaciones de Euler libres son conservativas , en el sentido de que son equivalentes a una ecuación de conservación: o simplemente en notación de Einstein: donde la cantidad de conservación en este caso es un vector, y es una matriz de flujo . Esto se puede demostrar de forma sencilla. $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {F} ={\mathbf {0} },}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial y_{j}}{\partial t}}+{\frac {\partial f_{ij}}{\partial r_{i}}}=0_{i},}$$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

Demostración de la forma de conservación

En primer lugar, se cumplen las siguientes identidades: donde denota el producto externo . Las mismas identidades expresadas en notación de Einstein son: donde I es la matriz identidad con dimensión N y δ _ij su elemento general, el delta de Kroenecker. $${\displaystyle \nabla \cdot (w\mathbf {I} )=\mathbf {I} \cdot \nabla w+w\nabla \cdot \mathbf {I} =\nabla w}$$ $${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \cdot \mathbf {u} =\nabla \cdot (\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} )}$$ ${\displaystyle \otimes }$ $${\displaystyle \partial _{i}\left(w\delta _{ij}\right)=\delta _{ij}\partial _{i}w+w\partial _{i}\delta _{ij}=\delta _{ij}\partial _{i}w=\partial _{j}w}$$ $${\displaystyle u_{j}\partial _{i}u_{i}=\partial _{i}\left(u_{i}u_{j}\right)}$$

Gracias a estas identidades vectoriales, las ecuaciones de Euler incompresibles con densidad constante y uniforme y sin campo externo se pueden poner en la llamada forma diferencial de conservación (o euleriana), con notación vectorial: o con notación de Einstein: $${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}{\partial \mathbf {u} \over \partial t}+\nabla \cdot \left(\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +w\mathbf {I} \right)&=\mathbf {0} \\{\partial 0 \over \partial t}+\nabla \cdot \mathbf {u} &=0,\end{aligned}}\right.}$$ $${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\partial _{t}u_{j}+\partial _{i}\left(u_{i}u_{j}+w\delta _{ij}\right)&=0\\\partial _{t}0+\partial _{j}u_{j}&=0,\end{aligned}}\right.}$$

Entonces, las ecuaciones de Euler incompresibles con densidad uniforme tienen variables de conservación: $${\displaystyle \mathbf {y} ={\begin{pmatrix}\mathbf {u} \\0\end{pmatrix}};\qquad \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +w\mathbf {I} \\\mathbf {u} \end{pmatrix}}.}$$

Nótese que en el segundo componente u es en sí mismo un vector, con longitud N, por lo que y tiene longitud N+1 y F tiene tamaño N(N+1). En 3D, por ejemplo, y tiene longitud 4, I tiene tamaño 3×3 y F tiene tamaño 4×3, por lo que las formas explícitas son: $${\displaystyle {\mathbf {y} }={\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\0\end{pmatrix}};\quad {\mathbf {F} }={\begin{pmatrix}u_{1}^{2}+w&u_{1}u_{2}&u_{1}u_{3}\\u_{2}u_{1}&u_{2}^{2}+w&u_{2}u_{3}\\u_{3}u_{1}&u_{3}u_{2}&u_{3}^{2}+w\\u_{1}&u_{2}&u_{3}\end{pmatrix}}.}$$

Por último, las ecuaciones de Euler pueden reformularse en la ecuación particular:

Ecuación(es) de Euler incompresible(s) con densidad constante y uniforme
( forma de conservación o euleriana )

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{pmatrix}\mathbf {u} \\0\end{pmatrix}}+\nabla \cdot {\begin{pmatrix}\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +w\mathbf {I} \\\mathbf {u} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {g} \\0\end{pmatrix}}}$

Dimensiones espaciales

Para ciertos problemas, especialmente cuando se utilizan para analizar el flujo compresible en un conducto o en caso de que el flujo sea cilíndrica o esféricamente simétrico, las ecuaciones de Euler unidimensionales son una primera aproximación útil. Generalmente, las ecuaciones de Euler se resuelven mediante el método de características de Riemann . Esto implica encontrar curvas en el plano de variables independientes (es decir, y ) a lo largo de las cuales las ecuaciones diferenciales parciales (EDP) degeneran en ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Las soluciones numéricas de las ecuaciones de Euler dependen en gran medida del método de características. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$

Ecuaciones de Euler incompresibles

En forma convectiva las ecuaciones de Euler incompresibles en caso de densidad variable en el espacio son: ^[6]

Ecuaciones de Euler incompresibles
( forma convectiva o lagrangiana )

${\displaystyle {\begin{aligned}{D\rho \over Dt}&=0\\{D\mathbf {u} \over Dt}&=-{\frac {\nabla p}{\rho }}+\mathbf {g} \\\nabla \cdot \mathbf {u} &=0\end{aligned}}}$

donde las variables adicionales son:

• ${\displaystyle \rho }$es la densidad de masa del fluido ,
• ${\displaystyle p}$es la presión , . ${\displaystyle p=\rho w}$

La primera ecuación, que es la nueva, es la ecuación de continuidad incompresible . En realidad la ecuación general de continuidad sería: $${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho +\rho \nabla \cdot \mathbf {u} =0,}$$

pero aquí el último término es idénticamente cero para la restricción de incompresibilidad.

Formulario de conservación

Las ecuaciones de Euler incompresibles en el límite de Froude son equivalentes a una única ecuación de conservación con cantidad conservada y flujo asociado respectivamente: $${\displaystyle \mathbf {y} ={\begin{pmatrix}\rho \\\rho \mathbf {u} \\0\end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {F} }={\begin{pmatrix}\rho \mathbf {u} \\\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +p\mathbf {I} \\\mathbf {u} \end{pmatrix}}.}$$

Aquí tiene longitud y tiene tamaño . ^[a] En general (no sólo en el límite de Froude) las ecuaciones de Euler se pueden expresar como: ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle N+2}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle (N+2)N}$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{pmatrix}\rho \\\rho \mathbf {u} \\0\end{pmatrix}}+\nabla \cdot {\begin{pmatrix}\rho \mathbf {u} \\\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +p\mathbf {I} \\\mathbf {u} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\\rho \mathbf {g} \\0\end{pmatrix}}.}$$

Variables de conservación

Las variables para las ecuaciones en forma de conservación aún no están optimizadas. De hecho, podríamos definir: donde es la densidad de momento , una variable de conservación. $${\displaystyle {\mathbf {y} }={\begin{pmatrix}\rho \\\mathbf {j} \\0\end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {F} }={\begin{pmatrix}\mathbf {j} \\{\frac {1}{\rho }}\,\mathbf {j} \otimes \mathbf {j} +p\mathbf {I} \\{\frac {\mathbf {j} }{\rho }}\end{pmatrix}},}$$ ${\displaystyle \mathbf {j} =\rho \mathbf {u} }$

Ecuación(es) de Euler incompresible(s)
( forma de conservación o euleriana )

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{pmatrix}\rho \\\mathbf {j} \\0\end{pmatrix}}+\nabla \cdot {\begin{pmatrix}\mathbf {j} \\{\frac {1}{\rho }}\,\mathbf {j} \otimes \mathbf {j} +p\mathbf {I} \\{\frac {\mathbf {j} }{\rho }}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\\mathbf {f} \\0\end{pmatrix}}}$

donde es la densidad de fuerza , una variable de conservación. ${\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {g} }$

Ecuaciones de Euler

En forma convectiva diferencial, las ecuaciones de Euler compresibles (y más generales) se pueden escribir brevemente con la notación de derivada material :

Ecuaciones de Euler
( forma convectiva )

${\displaystyle {\begin{aligned}{D\rho \over Dt}&=-\rho \nabla \cdot \mathbf {u} \\[1.2ex]{\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}&=-{\frac {\nabla p}{\rho }}+\mathbf {g} \\[1.2ex]{De \over Dt}&=-{\frac {p}{\rho }}\nabla \cdot \mathbf {u} \end{aligned}}}$

donde las variables adicionales aquí son:

• ${\displaystyle e}$es la energía interna específica (energía interna por unidad de masa).

Las ecuaciones anteriores representan, por tanto, la conservación de la masa , el momento y la energía : la ecuación de la energía expresada en la variable energía interna permite entender la relación con el caso incompresible, pero no está en la forma más simple. La densidad de masa, la velocidad del flujo y la presión son las llamadas variables convectivas (o variables físicas, o variables lagrangianas), mientras que la densidad de masa, la densidad del momento y la densidad de energía total son las llamadas variables conservadas (también llamadas variables eulerianas o matemáticas). ^[1]

Si se desarrolla la derivada material las ecuaciones anteriores son: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial \rho \over \partial t}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho +\rho \nabla \cdot \mathbf {u} &=0,\\[1.2ex]{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} +{\frac {\nabla p}{\rho }}&=\mathbf {g} ,\\[1.2ex]{\partial e \over \partial t}+\mathbf {u} \cdot \nabla e+{\frac {p}{\rho }}\nabla \cdot \mathbf {u} &=0.\end{aligned}}}$$

Restricción incompresible (revisitada)

Volviendo al caso incompresible, ahora resulta evidente que la restricción incompresible típica de los casos anteriores es en realidad una forma particular válida para flujos incompresibles de la ecuación de energía y no de la ecuación de masa. En particular, la restricción incompresible corresponde a la siguiente ecuación de energía muy simple: $${\displaystyle {\frac {De}{Dt}}=0.}$$

Así, para un fluido incompresible no viscoso, la energía interna específica es constante a lo largo de las líneas de flujo , también en un flujo dependiente del tiempo. La presión en un flujo incompresible actúa como un multiplicador de Lagrange , siendo el multiplicador de la restricción incompresible en la ecuación de energía, y en consecuencia en flujos incompresibles no tiene significado termodinámico. De hecho, la termodinámica es típica de los flujos compresibles y degenera en flujos incompresibles. ^[8]

Basándonos en la ecuación de conservación de masa, se puede poner esta ecuación en forma de conservación: lo que significa que para un flujo no viscoso, incompresible y no conductor, se cumple una ecuación de continuidad para la energía interna. $${\displaystyle {\partial \rho e \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho e\mathbf {u} )=0,}$$

Conservación de la entalpía

Ya que por definición la entalpía específica es: $${\displaystyle h=e+{\frac {p}{\rho }}.}$$

La derivada material de la energía interna específica se puede expresar como: $${\displaystyle {De \over Dt}={Dh \over Dt}-{\frac {1}{\rho }}\left({Dp \over Dt}-{\frac {p}{\rho }}{D\rho \over Dt}\right).}$$

Luego, sustituyendo la ecuación del momento en esta expresión, se obtiene: $${\displaystyle {De \over Dt}={Dh \over Dt}-{\frac {1}{\rho }}\left(p\nabla \cdot \mathbf {u} +{Dp \over Dt}\right).}$$

Y sustituyendo este último en la ecuación de energía, se obtiene que la expresión de entalpía para la ecuación de energía de Euler: En un marco de referencia que se mueve con un flujo no viscoso y no conductor, la variación de la entalpía corresponde directamente a una variación de la presión. $${\displaystyle {Dh \over Dt}={\frac {1}{\rho }}{Dp \over Dt}.}$$

Termodinámica de fluidos ideales

En termodinámica, las variables independientes son el volumen específico y la entropía específica , mientras que la energía específica es una función del estado de estas dos variables.

Deducción de la forma válida para sistemas termodinámicos

Teniendo en cuenta la primera ecuación, la variable debe cambiarse de densidad a volumen específico. Por definición: $${\displaystyle v\equiv {\frac {1}{\rho }}}$$

Por tanto se cumplen las siguientes identidades: $${\displaystyle \nabla \rho =\nabla \left({\frac {1}{v}}\right)=-{\frac {1}{v^{2}}}\nabla v}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {1}{v}}\right)=-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial v}{\partial t}}}$$

Luego, sustituyendo estas expresiones en la ecuación de conservación de masa: $${\displaystyle -{\frac {\mathbf {u} }{v^{2}}}\cdot \nabla v-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial v}{\partial t}}=-{\frac {1}{v}}\nabla \cdot \mathbf {u} }$$

Y por multiplicación: $${\displaystyle {\partial v \over \partial t}+\mathbf {u} \cdot \nabla v=v\nabla \cdot \mathbf {u} }$$

Esta ecuación es la única que pertenece a las ecuaciones generales del continuo, por lo que sólo esta ecuación tiene la misma forma, por ejemplo, también en las ecuaciones de Navier-Stokes.

Por otra parte, la presión en termodinámica es la opuesta de la derivada parcial de la energía interna específica con respecto al volumen específico: dado que la energía interna en termodinámica es una función de las dos variables mencionadas anteriormente, el gradiente de presión contenido en la ecuación del momento debe explicitarse como: $${\displaystyle p(v,s)=-{\partial e(v,s) \over \partial v}}$$ $${\displaystyle -\nabla p(v,s)=-{\frac {\partial p}{\partial v}}\nabla v-{\frac {\partial p}{\partial s}}\nabla s={\frac {\partial ^{2}e}{\partial v^{2}}}\nabla v+{\frac {\partial ^{2}e}{\partial v\partial s}}\nabla s}$$

Es conveniente por brevedad cambiar la notación para las derivadas de segundo orden: $${\displaystyle -\nabla p(v,s)=e_{vv}\nabla v+e_{vs}\nabla s}$$

Finalmente, la ecuación de energía: se puede simplificar aún más en forma convectiva cambiando la variable de energía específica a entropía específica: de hecho, la primera ley de la termodinámica en forma local se puede escribir: sustituyendo la derivada material de la energía interna, la ecuación de energía se convierte en: ahora el término entre paréntesis es idénticamente cero de acuerdo con la conservación de la masa, entonces la ecuación de energía de Euler se convierte simplemente en: $${\displaystyle {De \over Dt}=-pv\nabla \cdot \mathbf {u} }$$ $${\displaystyle {De \over Dt}=T{Ds \over Dt}-p{Dv \over Dt}}$$ $${\displaystyle T{Ds \over Dt}+{\frac {p}{\rho ^{2}}}\left({D\rho \over Dt}+\rho \nabla \cdot \mathbf {u} \right)=0}$$ $${\displaystyle {Ds \over Dt}=0}$$

Para un fluido termodinámico, las ecuaciones de Euler compresibles se escriben mejor de la siguiente manera:

Ecuaciones de Euler
( forma convectiva, para un sistema termodinámico )

${\displaystyle {\begin{aligned}{Dv \over Dt}&=v\nabla \cdot \mathbf {u} \\[1.2ex]{\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}&=ve_{vv}\nabla v+ve_{vs}\nabla s+\mathbf {g} \\[1.2ex]{Ds \over Dt}&=0\end{aligned}}}$

dónde:

• ${\displaystyle v}$es el volumen específico
• ${\displaystyle \mathbf {u} }$es el vector de velocidad de flujo
• ${\displaystyle s}$es la entropía específica

En el caso general y no solo en el caso incompresible, la ecuación de energía significa que para un fluido termodinámico no viscoso la entropía específica es constante a lo largo de las líneas de flujo , también en un flujo dependiente del tiempo. Basándose en la ecuación de conservación de la masa, se puede poner esta ecuación en la forma de conservación: ^[9] lo que significa que para un flujo no viscoso no conductor se cumple una ecuación de continuidad para la entropía. $${\displaystyle {\partial \rho s \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho s\mathbf {u} )=0,}$$

Por otra parte, las dos derivadas parciales de segundo orden de la energía interna específica en la ecuación del momento requieren la especificación de la ecuación de estado fundamental del material considerado, es decir de la energía interna específica en función de las dos variables volumen específico y entropía específica: $${\displaystyle e=e(v,s).}$$

La ecuación de estado fundamental contiene toda la información termodinámica del sistema (Callen, 1985), ^[10] exactamente como el par de una ecuación de estado térmica junto con una ecuación de estado calórica .

Formulario de conservación

Las ecuaciones de Euler en el límite de Froude son equivalentes a una única ecuación de conservación con cantidad conservada y flujo asociado respectivamente: $${\displaystyle \mathbf {y} ={\begin{pmatrix}\rho \\\mathbf {j} \\E^{t}\end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {F} }={\begin{pmatrix}\mathbf {j} \\{\frac {1}{\rho }}\mathbf {j} \otimes \mathbf {j} +p\mathbf {I} \\\left(E^{t}+p\right){\frac {1}{\rho }}\mathbf {j} \end{pmatrix}},}$$

dónde:

• ${\displaystyle \mathbf {j} =\rho \mathbf {u} }$es la densidad de momento , una variable de conservación.
• ${\textstyle E^{t}=\rho e+{\frac {1}{2}}\rho u^{2}}$es la densidad total de energía (energía total por unidad de volumen).

Aquí tiene longitud N + 2 y tamaño N(N + 2). ^[b] En general (no solo en el límite de Froude) las ecuaciones de Euler se pueden expresar como: ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

Ecuación(es) de Euler
( conservación original o forma euleriana )

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{pmatrix}\rho \\\mathbf {j} \\E^{t}\end{pmatrix}}+\nabla \cdot {\begin{pmatrix}\mathbf {j} \\{\frac {1}{\rho }}\mathbf {j} \otimes \mathbf {j} +p\mathbf {I} \\\left(E^{t}+p\right){\frac {1}{\rho }}\mathbf {j} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\\mathbf {f} \\{\frac {1}{\rho }}\mathbf {j} \cdot \mathbf {f} \end{pmatrix}}}$

donde es la densidad de fuerza , una variable de conservación. ${\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {g} }$

Observamos que también la ecuación de Euler, incluso cuando es conservativa (sin campo externo, límite de Froude), no tiene invariantes de Riemann en general. ^[11] Se requieren algunas suposiciones adicionales .

Sin embargo, ya mencionamos que para un fluido termodinámico la ecuación para la densidad de energía total es equivalente a la ecuación de conservación: $${\displaystyle {\partial \over \partial t}(\rho s)+\nabla \cdot (\rho s\mathbf {u} )=0.}$$

Entonces las ecuaciones de conservación en el caso de un fluido termodinámico se expresan de manera más simple como:

Ecuación(es) de Euler
( forma de conservación, para fluidos termodinámicos )

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{pmatrix}\rho \\\mathbf {j} \\S\end{pmatrix}}+\nabla \cdot {\begin{pmatrix}\mathbf {j} \\{\frac {1}{\rho }}\mathbf {j} \otimes \mathbf {j} +p\mathbf {I} \\S{\frac {\mathbf {j} }{\rho }}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\\mathbf {f} \\0\end{pmatrix}}}$

donde es la densidad de entropía, una variable de conservación termodinámica. ${\displaystyle S=\rho s}$

Otra forma posible para la ecuación de energía, particularmente útil para isobáricas , es: donde es la densidad de entalpía total . $${\displaystyle {\frac {\partial H^{t}}{\partial t}}+\nabla \cdot \left(H^{t}\mathbf {u} \right)=\mathbf {u} \cdot \mathbf {f} -{\frac {\partial p}{\partial t}},}$$ ${\textstyle H^{t}=E^{t}+p=\rho e+p+{\frac {1}{2}}\rho u^{2}}$

Forma cuasilineal y ecuaciones características

La expansión de los flujos puede ser una parte importante de la construcción de solucionadores numéricos , por ejemplo, explotando soluciones ( aproximadas ) al problema de Riemann . En regiones donde el vector de estado y varía suavemente, las ecuaciones en forma conservativa se pueden poner en forma cuasilineal: donde se denominan jacobianos de flujo definidos como las matrices : $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial t}}+\mathbf {A} _{i}{\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial r_{i}}}={\mathbf {0} }.}$$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{i}}$ $${\displaystyle \mathbf {A} _{i}(\mathbf {y} )={\frac {\partial \mathbf {f} _{i}(\mathbf {y} )}{\partial \mathbf {y} }}.}$$

Obviamente, este jacobiano no existe en regiones de discontinuidad (por ejemplo, discontinuidades de contacto, ondas de choque en flujos no viscosos no conductores). Si los jacobianos de flujo no son funciones del vector de estado , las ecuaciones revelan que son lineales . ${\displaystyle \mathbf {A} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$

Ecuaciones características

Las ecuaciones de Euler compresibles se pueden desacoplar en un conjunto de ecuaciones de onda N+2 que describen el sonido en el continuo euleriano si se expresan en variables características en lugar de variables conservadas.

De hecho, el tensor A es siempre diagonalizable . Si los valores propios (el caso de las ecuaciones de Euler) son todos reales, el sistema se define como hiperbólico , y físicamente los valores propios representan las velocidades de propagación de la información. ^[12] Si se distinguen todos, el sistema se define como estrictamente hiperbólico (se demostrará que es el caso de las ecuaciones de Euler unidimensionales). Además, la diagonalización de la ecuación de Euler compresible es más fácil cuando la ecuación de energía se expresa en la variable entropía (es decir, con ecuaciones para fluidos termodinámicos) que en otras variables de energía. Esto quedará claro al considerar el caso 1D.

Si es el vector propio derecho de la matriz correspondiente al valor propio , construyendo la matriz de proyección : ${\displaystyle \mathbf {p} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ $${\displaystyle \mathbf {P} =\left[\mathbf {p} _{1},\mathbf {p} _{2},...,\mathbf {p} _{n}\right].}$$

Finalmente podemos encontrar las variables características como: $${\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {y} .}$$

Como A es constante, al multiplicar la ecuación 1-D original en forma jacobiana de flujo por P ⁻¹ se obtienen las ecuaciones características: ^[13] $${\displaystyle {\frac {\partial w_{i}}{\partial t}}+\lambda _{j}{\frac {\partial w_{i}}{\partial r_{j}}}=0_{i}.}$$

Las ecuaciones originales se han desacoplado en N+2 ecuaciones características, cada una de las cuales describe una onda simple, en la que los valores propios son las velocidades de onda. Las variables w _i se denominan variables características y son un subconjunto de las variables conservativas. La solución del problema del valor inicial en términos de variables características es finalmente muy sencilla. En una dimensión espacial es: $${\displaystyle w_{i}(x,t)=w_{i}\left(x-\lambda _{i}t,0\right).}$$

Luego, la solución en términos de las variables conservadoras originales se obtiene transformando nuevamente: este cálculo se puede explicitar como la combinación lineal de los vectores propios: $${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {P} \mathbf {w} ,}$$ $${\displaystyle \mathbf {y} (x,t)=\sum _{i=1}^{m}w_{i}\left(x-\lambda _{i}t,0\right)\mathbf {p} _{i}.}$$

Ahora resulta evidente que las variables características actúan como pesos en la combinación lineal de los vectores propios jacobianos. La solución puede verse como una superposición de ondas, cada una de las cuales se transporta independientemente sin cambiar su forma. Cada onda i -ésima tiene forma w _i p _i y velocidad de propagación λ _i . A continuación, mostramos un ejemplo muy simple de este procedimiento de solución.

Ondas en un fluido termodinámico unidimensional no viscoso y no conductor

Si se consideran las ecuaciones de Euler para un fluido termodinámico con los dos supuestos adicionales de una dimensión espacial y libre (sin campo externo: g  = 0): $${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial v \over \partial t}+u{\partial v \over \partial x}-v{\partial u \over \partial x}&=0,\\[1.2ex]{\partial u \over \partial t}+u{\partial u \over \partial x}-e_{vv}v{\partial v \over \partial x}-e_{vs}v{\partial s \over \partial x}&=0,\\[1.2ex]{\partial s \over \partial t}+u{\partial s \over \partial x}&=0.\end{aligned}}}$$

Si se define el vector de variables: recordando que es el volumen específico, la velocidad del flujo, la entropía específica, la matriz jacobiana correspondiente es: $${\displaystyle \mathbf {y} ={\begin{pmatrix}v\\u\\s\end{pmatrix}},}$$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle s}$ $${\displaystyle {\mathbf {A} }={\begin{pmatrix}u&-v&0\\-e_{vv}v&u&-e_{vs}v\\0&0&u\end{pmatrix}}.}$$

Primero hay que encontrar los valores propios de esta matriz resolviendo la ecuación característica : $${\displaystyle \det(\mathbf {A} (\mathbf {y} )-\lambda (\mathbf {y} )\mathbf {I} )=0,}$$

Esto es explícitamente: $${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}u-\lambda &-v&0\\-e_{vv}v&u-\lambda &-e_{vs}v\\0&0&u-\lambda \end{bmatrix}}=0.}$$

Este determinante es muy simple: el cálculo más rápido comienza en la última fila, ya que tiene el mayor número de elementos cero. $${\displaystyle (u-\lambda )\det {\begin{bmatrix}u-\lambda &-v\\-e_{vv}v&u-\lambda \end{bmatrix}}=0.}$$

Ahora calculando el determinante 2×2: definiendo el parámetro: o equivalentemente en variables mecánicas, como: $${\displaystyle (u-\lambda )\left((u-\lambda )^{2}-e_{vv}v^{2}\right)=0,}$$ $${\displaystyle a(v,s)\equiv v{\sqrt {e_{vv}}},}$$ $${\displaystyle a(\rho ,p)\equiv {\sqrt {\partial p \over \partial \rho }}.}$$

Este parámetro es siempre real según la segunda ley de la termodinámica . De hecho, la segunda ley de la termodinámica puede expresarse mediante varios postulados. El más elemental de ellos en términos matemáticos es el enunciado de la convexidad de la ecuación de estado fundamental, es decir, la matriz hessiana de la energía específica expresada en función del volumen específico y de la entropía específica: se define positiva. Este enunciado corresponde a las dos condiciones: $${\displaystyle {\begin{pmatrix}e_{vv}&e_{vs}\\e_{vs}&e_{ss}\end{pmatrix}},}$$ $${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}e_{vv}&>0\\[1.2ex]e_{vv}e_{ss}-e_{vs}^{2}&>0\end{aligned}}\right.}$$

La primera condición es la que garantiza que el parámetro a se define como real.

La ecuación característica finalmente resulta: $${\displaystyle (u-\lambda )\left((u-\lambda )^{2}-a^{2}\right)=0}$$

Esto tiene tres soluciones reales: $${\displaystyle \lambda _{1}(v,u,s)=u-a(v,s),\qquad \lambda _{2}(u)=u,\qquad \lambda _{3}(v,u,s)=u+a(v,s).}$$

Entonces la matriz tiene tres valores propios reales, todos distinguidos: las ecuaciones de Euler 1D son un sistema estrictamente hiperbólico.

En este punto se deben determinar los tres vectores propios: cada uno se obtiene sustituyendo un valor propio en la ecuación de valores propios y luego resolviéndola. Sustituyendo el primer valor propio λ ₁ se obtiene: $${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-v&0\\-e_{vv}v&a&-e_{vs}v\\0&0&a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\u_{1}\\s_{1}\end{pmatrix}}=0.}$$

Basándonos en la tercera ecuación que simplemente tiene solución s ₁ = 0, el sistema se reduce a: $${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-v\\-a^{2}/v&a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\u_{1}\end{pmatrix}}=0}$$

Las dos ecuaciones son redundantes como siempre, por lo que el vector propio se define con una constante multiplicativa. Elegimos como vector propio derecho: $${\displaystyle \mathbf {p} _{1}={\begin{pmatrix}v\\a\\0\end{pmatrix}}.}$$

Los otros dos vectores propios se pueden encontrar con un procedimiento análogo como: $${\displaystyle \mathbf {p} _{2}={\begin{pmatrix}e_{vs}\\0\\-\left({\frac {a}{v}}\right)^{2}\end{pmatrix}},\qquad \mathbf {p} _{3}={\begin{pmatrix}v\\-a\\0\end{pmatrix}}.}$$

Luego la matriz de proyección se puede construir: $${\displaystyle \mathbf {P} (v,u,s)=(\mathbf {p} _{1},\mathbf {p} _{2},\mathbf {p} _{3})={\begin{pmatrix}v&e_{vs}&v\\a&0&-a\\0&-\left({\frac {a}{v}}\right)^{2}&0\end{pmatrix}}.}$$

Finalmente se hace evidente que el parámetro real a definido anteriormente es la velocidad de propagación de la información característica del sistema hiperbólico formado por ecuaciones de Euler, es decir, es la velocidad de onda . Queda por demostrar que la velocidad del sonido corresponde al caso particular de una transformación isentrópica : $${\displaystyle a_{s}\equiv {\sqrt {\left({\partial p \over \partial \rho }\right)_{s}}}.}$$

Compresibilidad y velocidad del sonido

La velocidad del sonido se define como la velocidad de onda de una transformación isentrópica: por la definición de compresibilidad isoentrópica: la velocidad del sonido resulta siempre la raíz cuadrada de la relación entre la compresibilidad isentrópica y la densidad: $${\displaystyle a_{s}(\rho ,p)\equiv {\sqrt {\left({\partial p \over \partial \rho }\right)_{s}}},}$$ $${\displaystyle K_{s}(\rho ,p)\equiv \rho \left({\partial p \over \partial \rho }\right)_{s},}$$ $${\displaystyle a_{s}\equiv {\sqrt {\frac {K_{s}}{\rho }}}.}$$

Gas ideal

La velocidad del sonido en un gas ideal depende únicamente de su temperatura: $${\displaystyle a_{s}(T)={\sqrt {\gamma {\frac {T}{m}}}}.}$$

Deducción de la forma válida para gases ideales

En un gas ideal la transformación isoentrópica se describe mediante la ley de Poisson: donde γ es la relación de capacidad térmica , una constante para el material. Explícitando las diferenciales: $${\displaystyle d\left(p\rho ^{-\gamma }\right)_{s}=0}$$

$${\displaystyle \rho ^{-\gamma }(dp)_{s}+\gamma p\rho ^{-\gamma -1}(d\rho )_{s}=0}$$

y dividiendo para ρ ^{− γ} d ρ :

$${\displaystyle \left({\partial p \over \partial \rho }\right)_{s}=\gamma p\rho }$$

Luego, por sustitución en las definiciones generales de un gas ideal, la compresibilidad isentrópica es simplemente proporcional a la presión:

$${\displaystyle K_{s}(p)=\gamma p}$$

y los resultados de la velocidad del sonido ( ley de Newton-Laplace ):

$${\displaystyle a_{s}(\rho ,p)={\sqrt {\gamma {\frac {p}{\rho }}}}}$$

En particular, para un gas ideal se cumple la ley de los gases ideales , que en forma matemática es simplemente:

$${\displaystyle p=nT}$$

donde n es la densidad numérica y T es la temperatura absoluta , siempre que se mida en unidades energéticas (es decir, en julios ) mediante la multiplicación por la constante de Boltzmann . Como la densidad de masa es proporcional a la densidad numérica a través de la masa molecular media m del material:

$${\displaystyle \rho =mn}$$

La ley de los gases ideales se puede reformular en la fórmula:

$${\displaystyle {\frac {p}{\rho }}={\frac {T}{m}}}$$

Sustituyendo esta relación en la ley de Newton-Laplace, se consigue finalmente la expresión de la velocidad del sonido en un gas ideal en función de la temperatura.

Dado que la entalpía específica en un gas ideal es proporcional a su temperatura:

$${\displaystyle h=c_{p}T={\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {T}{m}},}$$

La velocidad del sonido en un gas ideal también puede depender únicamente de su entalpía específica:

$${\displaystyle a_{s}(h)={\sqrt {(\gamma -1)h}}.}$$

Teorema de Bernoulli para flujo no viscoso estacionario

El teorema de Bernoulli es una consecuencia directa de las ecuaciones de Euler.

Caso incompresible y forma de Lamb

La identidad del cálculo vectorial del producto vectorial de un rizo se cumple:

$${\displaystyle \mathbf {v\ \times } \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\nabla _{F}\left(\mathbf {v\cdot F} \right)-\mathbf {v\cdot \nabla } \mathbf {F} \ ,}$$

donde se utiliza la notación de subíndice de Feynman , lo que significa que el gradiente subíndice opera solo en el factor . ${\displaystyle \nabla _{F}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

Lamb, en su famoso libro clásico Hidrodinámica (1895), todavía impreso, utilizó esta identidad para cambiar el término convectivo de la velocidad del flujo en forma rotacional: ^[14]

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} ={\frac {1}{2}}\nabla \left(u^{2}\right)+(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} ,}$$

La ecuación del momento de Euler en forma de Lamb se convierte en:

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\nabla \left(u^{2}\right)+(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} +{\frac {\nabla p}{\rho }}=\mathbf {g} ={\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\nabla \left(u^{2}\right)-\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} )+{\frac {\nabla p}{\rho }}.}$$

Ahora, basándonos en la otra identidad:

$${\displaystyle \nabla \left({\frac {p}{\rho }}\right)={\frac {\nabla p}{\rho }}-{\frac {p}{\rho ^{2}}}\nabla \rho ,}$$

La ecuación del momento de Euler asume una forma que es óptima para demostrar el teorema de Bernoulli para flujos estables:

$${\displaystyle \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+{\frac {p}{\rho }}\right)-\mathbf {g} =-{\frac {p}{\rho ^{2}}}\nabla \rho +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} )-{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}.}$$

De hecho, en el caso de un campo conservativo externo , al definir su potencial φ:

$${\displaystyle \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)=-{\frac {p}{\rho ^{2}}}\nabla \rho +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} )-{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}.}$$

En el caso de un flujo constante, la derivada temporal de la velocidad del flujo desaparece, por lo que la ecuación del momento se convierte en:

$${\displaystyle \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)=-{\frac {p}{\rho ^{2}}}\nabla \rho +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} ).}$$

Y al proyectar la ecuación del momento sobre la dirección del flujo, es decir a lo largo de una línea de corriente , el producto vectorial desaparece porque su resultado es siempre perpendicular a la velocidad:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)=-{\frac {p}{\rho ^{2}}}\mathbf {u} \cdot \nabla \rho .}$$

En el caso incompresible estable, la ecuación de masa es simplemente:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0,}$$Es decir, la conservación de la masa para un flujo incompresible estable establece que la densidad a lo largo de una línea de corriente es constante . Entonces, la ecuación de momento de Euler en el caso incompresible estable se convierte en:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)=0.}$$

Ahora resulta evidente la conveniencia de definir la altura total para un flujo de líquido no viscoso:

$${\displaystyle b_{l}\equiv {\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }},}$$

que puede escribirse simplemente como:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla b_{l}=0.}$$

Es decir, el equilibrio de momento para un flujo constante no viscoso e incompresible en un campo conservativo externo establece que la altura total a lo largo de una línea de corriente es constante .

Estuche comprimible

En el caso más general estable (compresible), la ecuación de masa en forma de conservación es:

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} =\rho \nabla \cdot \mathbf {u} +\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0.}$$Por lo tanto, la expresión anterior es más bien

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)={\frac {p}{\rho }}\nabla \cdot \mathbf {u} .}$$

El lado derecho aparece en la ecuación de energía en forma convectiva, que en estado estacionario se lee:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla e=-{\frac {p}{\rho }}\nabla \cdot \mathbf {u} .}$$

La ecuación energética por tanto queda así:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \left(e+{\frac {p}{\rho }}+{\frac {1}{2}}u^{2}+\phi \right)=0,}$$

De modo que la energía interna específica ahora se concentra en la cabeza.

Como el potencial de campo externo suele ser pequeño en comparación con los otros términos, es conveniente agrupar estos últimos en la entalpía total :

$${\displaystyle h^{t}\equiv e+{\frac {p}{\rho }}+{\frac {1}{2}}u^{2},}$$

y el invariante de Bernoulli para un flujo de gas no viscoso es:

$${\displaystyle b_{g}\equiv h^{t}+\phi =b_{l}+e,}$$

que puede escribirse como:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla b_{g}=0.}$$

Es decir, el balance de energía para un flujo no viscoso constante en un campo conservativo externo establece que la suma de la entalpía total y el potencial externo es constante a lo largo de una línea de corriente .

En el caso habitual de un campo potencial pequeño, simplemente:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla h^{t}\sim 0.}$$

Forma de Friedmann y forma de Crocco

Sustituyendo el gradiente de presión por el gradiente de entropía y entalpía, según la primera ley de la termodinámica en la forma de entalpía:

$${\displaystyle v\nabla p=-T\nabla s+\nabla h,}$$

En la forma convectiva de la ecuación de momento de Euler, se llega a:

$${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=T\nabla \,s-\nabla \,h.}$$

Friedmann dedujo esta ecuación para el caso particular de un gas perfecto y la publicó en 1922. ^[15] Sin embargo, esta ecuación es general para un fluido no viscoso no conductor y no hay ninguna ecuación de estado implícita en ella.

Por otra parte, sustituyendo la forma entalpía de la primera ley de la termodinámica en la forma rotacional de la ecuación del momento de Euler, se obtiene:

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\nabla \left(u^{2}\right)+(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} +{\frac {\nabla p}{\rho }}=\mathbf {g} ,}$$

y definiendo la entalpía total específica:

$${\displaystyle h^{t}=h+{\frac {1}{2}}u^{2},}$$

Se llega a la forma Crocco-Vazsonyi ^[16] (Crocco, 1937) de la ecuación del momento de Euler:

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} -T\nabla s+\nabla h^{t}=\mathbf {g} .}$$

En el caso estable, las dos variables, entropía y entalpía total, son particularmente útiles ya que las ecuaciones de Euler pueden reformularse en la forma de Crocco:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} \times \nabla \times \mathbf {u} +T\nabla s-\nabla h^{t}&=\mathbf {g} ,\\\mathbf {u} \cdot \nabla s&=0,\\\mathbf {u} \cdot \nabla h^{t}&=0.\end{aligned}}}$$

Finalmente si el flujo también es isotérmico:

$${\displaystyle T\nabla s=\nabla (Ts),}$$

Definiendo la energía libre total específica de Gibbs :

$${\displaystyle g^{t}\equiv h^{t}+Ts,}$$

La forma del Crocco se puede reducir a:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} \times \nabla \times \mathbf {u} -\nabla g^{t}&=\mathbf {g} ,\\\mathbf {u} \cdot \nabla g^{t}&=0.\end{aligned}}}$$

De estas relaciones se deduce que la energía libre total específica es uniforme en un flujo constante, irrotacional, isotérmico, isoentrópico y no viscoso.

Discontinuidades

Las ecuaciones de Euler son ecuaciones hiperbólicas cuasilineales y sus soluciones generales son ondas . Bajo ciertas suposiciones, pueden simplificarse y dar lugar a la ecuación de Burgers . Al igual que las conocidas olas oceánicas , las ondas descritas por las ecuaciones de Euler se "rompen" y se forman las llamadas ondas de choque ; este es un efecto no lineal y representa la solución que se vuelve multivaluada . Físicamente, esto representa una ruptura de las suposiciones que llevaron a la formulación de las ecuaciones diferenciales, y para extraer más información de las ecuaciones debemos volver a la forma integral más fundamental. Luego, las soluciones débiles se formulan trabajando en "saltos" (discontinuidades) en las cantidades de flujo (densidad, velocidad, presión, entropía) utilizando las ecuaciones de Rankine-Hugoniot . Las cantidades físicas rara vez son discontinuas; en flujos reales, estas discontinuidades se suavizan por la viscosidad y por la transferencia de calor . (Véase las ecuaciones de Navier-Stokes )

La propagación de choques se estudia, entre otros muchos campos, en la aerodinámica y la propulsión de cohetes , donde se producen flujos suficientemente rápidos.

Para calcular correctamente las cantidades continuas en zonas discontinuas (por ejemplo ondas de choque o capas límite) a partir de las formas locales ^[c] (todas las formas anteriores son formas locales, ya que las variables que se describen son típicas de un punto en el espacio considerado, es decir, son variables locales ) de las ecuaciones de Euler a través de métodos de diferencias finitas generalmente serían necesarios demasiados puntos espaciales y pasos de tiempo para la memoria de las computadoras ahora y en el futuro cercano. En estos casos es obligatorio evitar las formas locales de las ecuaciones de conservación, pasando algunas formas débiles , como la de volumen finito .

Ecuaciones de Rankine-Hugoniot

Partiendo del caso más simple, se considera una ecuación de conservación libre y estable en forma de conservación en el dominio espacial:

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\mathbf {0} ,}$$

donde en general F es la matriz de flujo. Al integrar esta ecuación local sobre un volumen fijo V _m , se obtiene:

$${\displaystyle \int _{V_{m}}\nabla \cdot \mathbf {F} \,dV=\mathbf {0} .}$$

Luego, basándonos en el teorema de divergencia , podemos transformar esta integral en una integral de frontera del flujo:

$${\displaystyle \oint _{\partial V_{m}}\mathbf {F} \,ds=\mathbf {0} .}$$

Esta forma global simplemente establece que no hay flujo neto de una cantidad conservada que pase por una región en el caso de que sea constante y sin fuente. En 1D, el volumen se reduce a un intervalo , siendo su límite su extremo, entonces el teorema de divergencia se reduce al teorema fundamental del cálculo :

$${\displaystyle \int _{x_{m}}^{x_{m+1}}\mathbf {F} (x')\,dx'=\mathbf {0} ,}$$

Esta es la ecuación de diferencias finitas simple , conocida como relación de salto :

$${\displaystyle \Delta \mathbf {F} =\mathbf {0} .}$$

Esto se puede hacer explícito así:

$${\displaystyle \mathbf {F} _{m+1}-\mathbf {F} _{m}=\mathbf {0} ,}$$

donde la notación empleada es:

$${\displaystyle \mathbf {F} _{m}=\mathbf {F} (x_{m}).}$$

O bien, si se realiza una integral indefinida:

$${\displaystyle \mathbf {F} -\mathbf {F} _{0}=\mathbf {0} .}$$

Por otra parte, una ecuación de conservación transitoria:

$${\displaystyle {\partial y \over \partial t}+\nabla \cdot \mathbf {F} =\mathbf {0} ,}$$

trae a una relación de salto:

$${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}\,\Delta u=\Delta \mathbf {F} .}$$

Para las ecuaciones de Euler unidimensionales las variables de conservación y el flujo son los vectores:

$${\displaystyle \mathbf {y} ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{v}}\\j\\E^{t}\end{pmatrix}},}$$ $${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}j\\vj^{2}+p\\vj\left(E^{t}+p\right)\end{pmatrix}},}$$

dónde:

• ${\displaystyle v}$es el volumen específico,
• ${\displaystyle j}$es el flujo de masa.

En el caso unidimensional las relaciones de salto correspondientes, llamadas ecuaciones de Rankine-Hugoniot , son:< ^[17]

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}\Delta \left({\frac {1}{v}}\right)&=\Delta j,\\[1.2ex]{\frac {dx}{dt}}\Delta j&=\Delta (vj^{2}+p),\\[1.2ex]{\frac {dx}{dt}}\Delta E^{t}&=\Delta (jv(E^{t}+p)).\end{aligned}}}$$

En el caso unidimensional estable, se convierte simplemente en:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta j&=0,\\[1.2ex]\Delta \left(vj^{2}+p\right)&=0,\\[1.2ex]\Delta \left(j\left({\frac {E^{t}}{\rho }}+{\frac {p}{\rho }}\right)\right)&=0.\end{aligned}}}$$

Gracias a la ecuación de diferencia de masa, la ecuación de diferencia de energía se puede simplificar sin ninguna restricción:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta j&=0,\\[1.2ex]\Delta \left(vj^{2}+p\right)&=0,\\[1.2ex]\Delta h^{t}&=0,\end{aligned}}}$$

donde es la entalpía total específica. ${\displaystyle h^{t}}$

Estas se expresan habitualmente en las variables convectivas:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta j&=0,\\[1.2ex]\Delta \left({\frac {u^{2}}{v}}+p\right)&=0,\\[1.2ex]\Delta \left(e+{\frac {1}{2}}u^{2}+pv\right)&=0,\end{aligned}}}$$

dónde:

• ${\displaystyle u}$es la velocidad del flujo
• ${\displaystyle e}$es la energía interna específica.

La ecuación de energía es una forma integral de la ecuación de Bernoulli en el caso compresible. Las ecuaciones de masa y momento anteriores por sustitución conducen a la ecuación de Rayleigh:

$${\displaystyle {\frac {\Delta p}{\Delta v}}=-{\frac {u_{0}^{2}}{v_{0}}}.}$$

Como el segundo término es una constante, la ecuación de Rayleigh siempre describe una línea simple en el plano de presión y volumen que no depende de ninguna ecuación de estado, es decir, la línea de Rayleigh. Mediante la sustitución en las ecuaciones de Rankine-Hugoniot, esto también se puede hacer explícito como:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho u&=\rho _{0}u_{0},\\[1.2ex]\rho u^{2}+p&=\rho _{0}u_{0}^{2}+p_{0},\\[1.2ex]e+{\frac {1}{2}}u^{2}+{\frac {p}{\rho }}&=e_{0}+{\frac {1}{2}}u_{0}^{2}+{\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}.\end{aligned}}}$$

También se puede obtener la ecuación cinética y la ecuación de Hugoniot. Los pasajes analíticos no se muestran aquí por razones de brevedad.

Estos son respectivamente:

$${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}(v,p)&=u_{0}^{2}+(p-p_{0})(v_{0}+v),\\[1.2ex]e(v,p)&=e_{0}+{\tfrac {1}{2}}(p+p_{0})(v_{0}-v).\end{aligned}}}$$

La ecuación de Hugoniot, acoplada a la ecuación fundamental de estado del material:

$${\displaystyle e=e(v,p),}$$

describe en general en el plano de presión-volumen una curva que pasa por las condiciones (v ₀ , p ₀ ), es decir la curva de Hugoniot, cuya forma depende fuertemente del tipo de material considerado.

También se acostumbra definir una función de Hugoniot : ^[18]

$${\displaystyle {\mathfrak {h}}(v,s)\equiv e(v,s)-e_{0}+{\tfrac {1}{2}}(p(v,s)+p_{0})(v-v_{0}),}$$

permitiendo cuantificar desviaciones de la ecuación de Hugoniot, de manera similar a la definición anterior de la carga hidráulica , útil para las desviaciones de la ecuación de Bernoulli.

Forma de volumen finito

Por otra parte, integrando una ecuación de conservación genérica:

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {F} =\mathbf {s} ,}$$

en un volumen fijo V _m , y luego basándose en el teorema de divergencia , se convierte en:

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{V_{m}}\mathbf {y} dV+\oint _{\partial V_{m}}\mathbf {F} \cdot {\hat {n}}ds=\mathbf {S} .}$$

Integrando esta ecuación también sobre un intervalo de tiempo:

$${\displaystyle \int _{V_{m}}\mathbf {y} (\mathbf {r} ,t_{n+1})\,dV-\int _{V_{m}}\mathbf {y} (\mathbf {r} ,t_{n})\,dV+\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}\oint _{\partial V_{m}}\mathbf {F} \cdot {\hat {n}}\,ds\,dt=\mathbf {0} .}$$

Ahora, definiendo la cantidad conservada del nodo:

$${\displaystyle \mathbf {y} _{m,n}\equiv {\frac {1}{V_{m}}}\int _{V_{m}}\mathbf {y} (\mathbf {r} ,t_{n})\,dV,}$$

we deduce the finite volume form:

$${\displaystyle \mathbf {y} _{m,n+1}=\mathbf {y} _{m,n}-{\frac {1}{V_{m}}}\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}\oint _{\partial V_{m}}\mathbf {F} \cdot {\hat {n}}\,ds\,dt.}$$

In particular, for Euler equations, once the conserved quantities have been determined, the convective variables are deduced by back substitution:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\displaystyle \mathbf {u} _{m,n}&={\frac {\mathbf {j} _{m,n}}{\rho _{m,n}}},\\[1.2ex]\displaystyle e_{m,n}&={\frac {E_{m,n}^{t}}{\rho _{m,n}}}-{\frac {1}{2}}u_{m,n}^{2}.\end{aligned}}}$$

Then the explicit finite volume expressions of the original convective variables are:^[19]

Euler equations
(Finite volume form)

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{m,n+1}&=\rho _{m,n}-{\frac {1}{V_{m}}}\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}\oint _{\partial V_{m}}\rho \mathbf {u} \cdot {\hat {n}}\,ds\,dt\\[1.2ex]\mathbf {u} _{m,n+1}&=\mathbf {u} _{m,n}-{\frac {1}{\rho _{m,n}V_{m}}}\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}\oint _{\partial V_{m}}(\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} -p\mathbf {I} )\cdot {\hat {n}}\,ds\,dt\\[1.2ex]\mathbf {e} _{m,n+1}&=\mathbf {e} _{m,n}-{\frac {1}{2}}\left(u_{m,n+1}^{2}-u_{m,n}^{2}\right)-{\frac {1}{\rho _{m,n}V_{m}}}\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}\oint _{\partial V_{m}}\left(\rho e+{\frac {1}{2}}\rho u^{2}+p\right)\mathbf {u} \cdot {\hat {n}}\,ds\,dt\\[1.2ex]\end{aligned}}}$

Constraints

It has been shown that Euler equations are not a complete set of equations, but they require some additional constraints to admit a unique solution: these are the equation of state of the material considered. To be consistent with thermodynamics these equations of state should satisfy the two laws of thermodynamics. On the other hand, by definition non-equilibrium system are described by laws lying outside these laws. In the following we list some very simple equations of state and the corresponding influence on Euler equations.

Ideal polytropic gas

For an ideal polytropic gas the fundamental equation of state is:^[20]

$${\displaystyle e(v,s)=e_{0}e^{(\gamma -1)m\left(s-s_{0}\right)}\left({v_{0} \over v}\right)^{\gamma -1},}$$

where ${\displaystyle e}$ is the specific energy, ${\displaystyle v}$ is the specific volume, ${\displaystyle s}$ is the specific entropy, ${\displaystyle m}$ is the molecular mass, ${\displaystyle \gamma }$ here is considered a constant (polytropic process), and can be shown to correspond to the heat capacity ratio. This equation can be shown to be consistent with the usual equations of state employed by thermodynamics.

Demonstration of consistency with the thermodynamics of an ideal gas

By the thermodynamic definition of temperature:

$${\displaystyle T(e)\equiv {\partial e \over \partial s}=(\gamma -1)me}$$

Where the temperature is measured in energy units. At first, note that by combining these two equations one can deduce the ideal gas law:

$${\displaystyle pv=mT,}$$

or, in the usual form:

$${\displaystyle p=nT,}$$

where: ${\displaystyle n\equiv {\frac {m}{v}}}$ is the number density of the material. On the other hand the ideal gas law is less strict than the original fundamental equation of state considered.

Now consider the molar heat capacity associated to a process x:

$${\displaystyle c_{x}=\left(mT{\partial s \over \partial T}\right)_{x}}$$

according to the first law of thermodynamics:

$${\displaystyle de(v,s)=-pdv+T\,ds}$$

it can be simply expressed as:

$${\displaystyle c_{x}\equiv m\left({\partial e \over \partial T}\right)_{x}+mp\left({\partial v \over \partial T}\right)_{x}}$$

Now inverting the equation for temperature T(e) we deduce that for an ideal polytropic gas the isochoric heat capacity is a constant:

$${\displaystyle c_{v}\equiv m\left({\partial e \over \partial T}\right)_{v}=m{de \over dT}={\frac {1}{(\gamma -1)}}}$$

and similarly for an ideal polytropic gas the isobaric heat capacity results constant:

$${\displaystyle c_{p}\equiv m\left({\partial e \over \partial T}\right)_{p}+mp\left({\partial v \over \partial T}\right)_{p}=m{de \over dT}+p\left({\partial v \over \partial T}\right)_{p}={\frac {1}{(\gamma -1)}}+1}$$

This brings to two important relations between heat capacities: the constant gamma actually represents the heat capacity ratio in the ideal polytropic gas:

$${\displaystyle {\frac {c_{p}}{c_{v}}}=\gamma }$$

and one also arrives to the Meyer's relation:

$${\displaystyle c_{p}=c_{v}+1}$$

The specific energy is then, by inverting the relation T(e):

$${\displaystyle e(T)={\frac {mT}{\gamma -1}}=c_{v}mT}$$

The specific enthalpy results by substitution of the latter and of the ideal gas law:

$${\displaystyle h(T)\equiv e(T)+(pv)(T)=c_{v}mT+mT=c_{p}mT}$$

From this equation one can derive the equation for pressure by its thermodynamic definition:

$${\displaystyle p(v,e)\equiv -{\partial e \over \partial v}=(\gamma -1){\frac {e}{v}}.}$$

By inverting it one arrives to the mechanical equation of state:

$${\displaystyle e(v,p)={\frac {pv}{\gamma -1}}.}$$

Then for an ideal gas the compressible Euler equations can be simply expressed in the mechanical or primitive variables specific volume, flow velocity and pressure, by taking the set of the equations for a thermodynamic system and modifying the energy equation into a pressure equation through this mechanical equation of state. At last, in convective form they result:

Euler equations for an ideal polytropic gas
(convective form)^[21]

${\displaystyle {\begin{aligned}{Dv \over Dt}&=v\nabla \cdot \mathbf {u} \\[1.2ex]{\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}&=v\nabla p+\mathbf {g} \\[1.2ex]{Dp \over Dt}&=-\gamma p\nabla \cdot \mathbf {u} \end{aligned}}}$

and in one-dimensional quasilinear form they results:

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial t}}+\mathbf {A} {\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial x}}={\mathbf {0} }.}$$

where the conservative vector variable is:

$${\displaystyle {\mathbf {y} }={\begin{pmatrix}v\\u\\p\end{pmatrix}},}$$

and the corresponding jacobian matrix is:^[22][23]

$${\displaystyle {\mathbf {A} }={\begin{pmatrix}u&-v&0\\0&u&v\\0&\gamma p&u\end{pmatrix}}.}$$

Steady flow in material coordinates

In the case of steady flow, it is convenient to choose the Frenet–Serret frame along a streamline as the coordinate system for describing the steady momentum Euler equation:^[24] $${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\cdot \nabla {\boldsymbol {u}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p,}$$

where ${\displaystyle \mathbf {u} }$, ${\displaystyle p}$ and ${\displaystyle \rho }$ denote the flow velocity, the pressure and the density, respectively.

Let ${\displaystyle \left\{\mathbf {e} _{s},\mathbf {e} _{n},\mathbf {e} _{b}\right\}}$ be a Frenet–Serret orthonormal basis which consists of a tangential unit vector, a normal unit vector, and a binormal unit vector to the streamline, respectively. Since a streamline is a curve that is tangent to the velocity vector of the flow, the left-hand side of the above equation, the convective derivative of velocity, can be described as follows: $${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\cdot \nabla {\boldsymbol {u}}=u{\frac {\partial }{\partial s}}(u{\boldsymbol {e}}_{s})=u{\frac {\partial u}{\partial s}}{\boldsymbol {e}}_{s}+{\frac {u^{2}}{R}}{\boldsymbol {e}}_{n},}$$where $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {u}}&=u{\boldsymbol {e}}_{s},\\{\frac {\partial }{\partial s}}&\equiv {\boldsymbol {e}}_{s}\cdot \nabla ,\\{\frac {\partial {\boldsymbol {e}}_{s}}{\partial s}}&={\frac {1}{R}}{\boldsymbol {e}}_{n},\end{aligned}}}$$and ${\displaystyle R}$ is the radius of curvature of the streamline.

Therefore, the momentum part of the Euler equations for a steady flow is found to have a simple form: $${\displaystyle {\begin{aligned}\displaystyle u{\frac {\partial u}{\partial s}}&=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial s}},\\\displaystyle {u^{2} \over R}&=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial n}}&({\partial /\partial n}\equiv {\boldsymbol {e}}_{n}\cdot \nabla ),\\\displaystyle 0&=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial b}}&({\partial /\partial b}\equiv {\boldsymbol {e}}_{b}\cdot \nabla ).\end{aligned}}}$$

For barotropic flow ${\displaystyle (\rho =\rho (p))}$, Bernoulli's equation is derived from the first equation: $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial s}}\left({\frac {u^{2}}{2}}+\int {\frac {\mathrm {d} p}{\rho }}\right)=0.}$$

The second equation expresses that, in the case the streamline is curved, there should exist a pressure gradient normal to the streamline because the centripetal acceleration of the fluid parcel is only generated by the normal pressure gradient.

The third equation expresses that pressure is constant along the binormal axis.

Streamline curvature theorem

The "Streamline curvature theorem" states that the pressure at the upper surface of an airfoil is lower than the pressure far away and that the pressure at the lower surface is higher than the pressure far away; hence the pressure difference between the upper and lower surfaces of an airfoil generates a lift force.

Let ${\displaystyle r}$ be the distance from the center of curvature of the streamline, then the second equation is written as follows: $${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial r}}=\rho {\frac {u^{2}}{r}}~(>0),}$$

where ${\displaystyle {\partial /\partial r}=-{\partial /\partial n}.}$

This equation states:

In a steady flow of an inviscid fluid without external forces, the center of curvature of the streamline lies in the direction of decreasing radial pressure.

Although this relationship between the pressure field and flow curvature is very useful, it doesn't have a name in the English-language scientific literature.^[25] Japanese fluid-dynamicists call the relationship the "Streamline curvature theorem".^[26]

This "theorem" explains clearly why there are such low pressures in the centre of vortices,^[25] which consist of concentric circles of streamlines. This also is a way to intuitively explain why airfoils generate lift forces.^[25]

Exact solutions

All potential flow solutions are also solutions of the Euler equations, and in particular the incompressible Euler equations when the potential is harmonic.^[27]

A two-dimensional parallel shear-flow.

Solutions to the Euler equations with vorticity are:

• parallel shear flows – where the flow is unidirectional, and the flow velocity only varies in the cross-flow directions, e.g. in a Cartesian coordinate system ${\displaystyle (x,y,z)}$ the flow is for instance in the ${\displaystyle x}$-direction – with the only non-zero velocity component being ${\displaystyle u_{x}(y,z)}$ only dependent on ${\displaystyle y}$ and ${\displaystyle z}$ and not on ${\displaystyle x.}$^[28]
• Arnold–Beltrami–Childress flow – an exact solution of the incompressible Euler equations.
• Two solutions of the three-dimensional Euler equations with cylindrical symmetry have been presented by Gibbon, Moore and Stuart in 2003.^[29] These two solutions have infinite energy; they blow up everywhere in space in finite time.

See also

• Bernoulli's theorem
• Kelvin's circulation theorem
• Cauchy equations
• Froude number
• Madelung equations
• Navier–Stokes equations
• Burgers equation
• Jeans equations
• Perfect fluid
• D'Alembert's paradox

References

Notes

1. In 3D for example ${\displaystyle \mathbf {y} }$ has length 5, ${\displaystyle \mathbf {I} }$ has size 3×3 and ${\displaystyle \mathbf {F} }$ has size 5×3, so the explicit forms are: $${\displaystyle {\mathbf {y} }={\begin{pmatrix}\rho \\\rho u_{1}\\\rho u_{2}\\\rho u_{3}\\0\end{pmatrix}};\quad {\mathbf {F} }={\begin{pmatrix}\rho u_{1}&\rho u_{2}&\rho u_{3}\\\rho u_{1}^{2}+p&\rho u_{1}u_{2}&\rho u_{1}u_{3}\\\rho u_{1}u_{2}&\rho u_{2}^{2}+p&\rho u_{2}u_{3}\\\rho u_{3}u_{1}&\rho u_{3}u_{2}&\rho u_{3}^{2}+p\\u_{1}&u_{2}&u_{3}\end{pmatrix}}.}$$
2. In 3D for example y has length 5, I has size 3×3 and F has size 3×5, so the explicit forms are: $${\displaystyle {\mathbf {y} }={\begin{pmatrix}j_{1}\\j_{2}\\j_{3}\end{pmatrix}};\quad {\mathbf {F} }={\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\{\frac {j_{1}^{2}}{\rho }}+p&{\frac {j_{1}j_{2}}{\rho }}&{\frac {j_{1}j_{3}}{\rho }}\\{\frac {j_{1}j_{2}}{\rho }}&{\frac {j_{2}^{2}}{\rho }}+p&{\frac {j_{2}j_{3}}{\rho }}\\{\frac {j_{3}j_{1}}{\rho }}&{\frac {j_{3}j_{2}}{\rho }}&{\frac {j_{3}^{2}}{\rho }}+p\\\left(E^{t}+p\right){\frac {j_{1}}{\rho }}&\left(E^{t}+p\right){\frac {j_{2}}{\rho }}&\left(E^{t}+p\right){\frac {j_{3}}{\rho }}\end{pmatrix}}.}$$
3. Sometimes the local and the global forms are also called respectively differential and non-differential, but this is not appropriate in all cases. For example, this is appropriate for Euler equations, while it is not for Navier-Stokes equations since in their global form there are some residual spatial first-order derivative operators in all the characteristic transport terms that in the local form contains second-order spatial derivatives.

Citations

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Sources

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