Teorema de Schneider-Lang

En matemáticas , el teorema de Schneider-Lang es un refinamiento realizado por Lang (1966) de un teorema de Schneider (1949) sobre la trascendencia de los valores de las funciones meromórficas . El teorema implica tanto el teorema de Hermite-Lindemann como el de Gelfond-Schneider , e implica la trascendencia de algunos valores de funciones elípticas y funciones elípticas modulares .

Declaración

Fijemos un cuerpo de números K y meromórfico f ₁ , ..., f _N , de los cuales al menos dos son algebraicamente independientes y tienen órdenes ρ ₁ y ρ ₂ , y tales que f _j ′ ∈ K [ f ₁ , ..., f _N ] para cualquier j . Entonces hay como máximo

${\displaystyle (\rho _{1}+\rho _{2})[K:\mathbb {Q} ]\,}$

números complejos distintos ω ₁ , ..., ω _m tales que f _i ( ω _j ) ∈ K para todas las combinaciones de i y j .

Ejemplos

• Si f ₁ ( z ) =  z y f ₂ ( z ) =  e ^z entonces el teorema implica el teorema de Hermite-Lindemann de que e ^α es trascendental para α algebraico distinto de cero : de lo contrario, α , 2 α , 3 α , ... sería un número infinito de valores en los que tanto f ₁ como f ₂ son algebraicos.
• De manera similar, tomar f ₁ ( z ) =  e ^z y f ₂ ( z ) =  e ^βz para β algebraico irracional implica el teorema de Gelfond-Schneider que si α y α ^β son algebraicas, entonces α ∈ {0,1 }: de lo contrario, log( α ), 2log( α ), 3log( α ), ... sería un número infinito de valores en los que tanto f ₁ como f ₂ son algebraicas.
• Recordemos que la función P de Weierstrass satisface la ecuación diferencial

${\displaystyle \wp '(z)^{2}=4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}.\,}$

Tomando las tres funciones como z , ℘( αz ) , ℘ ′ ( αz ) se muestra que, para cualquier α algebraica , si g ₂ ( α ) y g ₃ ( α ) son algebraicas, entonces ℘( α ) es trascendental.

• Tomando las funciones como z y e ^{f ( z )} para un polinomio f de grado ρ se muestra que el número de puntos donde las funciones son todas algebraicas puede crecer linealmente con el orden ρ  = deg  f .

Prueba

Para demostrar el resultado, Lang tomó dos funciones algebraicamente independientes de f ₁ , ..., f _N , digamos, f y g , y luego creó una función auxiliar F ∈ K [ f , g ] . Utilizando el lema de Siegel , demostró que se podía suponer que F se anulaba a un orden alto en ω ₁ , ..., ω _m . Por lo tanto, una derivada de orden alto de F toma un valor de tamaño pequeño en uno de esos ω _i s, "tamaño" aquí se refiere a una propiedad algebraica de un número . Utilizando el principio del módulo máximo , Lang también encontró una estimación separada para los valores absolutos de las derivadas de F . Los resultados estándar conectan el tamaño de un número y su valor absoluto, y las estimaciones combinadas implican el límite reclamado en m .

Teorema de Bombieri

Bombieri & Lang (1970) y Bombieri (1970) generalizaron el resultado a funciones de varias variables. Bombieri demostró que si K es un cuerpo numérico algebraico y f ₁ , ...,  f _N son funciones meromórficas de d variables complejas de orden como máximo ρ generando un cuerpo K ( f ₁ , ...,  f _N ) de grado de trascendencia como mínimo d  + 1 que es cerrado bajo todas las derivadas parciales , entonces el conjunto de puntos donde todas las funciones f _n tienen valores en K está contenido en una hipersuperficie algebraica en C ^d de grado como máximo

${\displaystyle d((d+1)\rho [K:\mathbb {Q} ]+1).}$

Waldschmidt (1979, teorema 5.1.1) dio una prueba más simple del teorema de Bombieri, con un límite ligeramente más fuerte de d (ρ ₁ + ... + ρ _{d +1} )[ K : Q ] para el grado, donde ρ _j son los órdenes de d  + 1 funciones algebraicamente independientes. El caso especial d  = 1 da el teorema de Schneider–Lang, con un límite de (ρ ₁ + ρ ₂ )[ K : Q ] para el número de puntos.

Ejemplo

Si es un polinomio con coeficientes enteros , entonces las funciones son todas algebraicas en un conjunto denso de puntos de la hipersuperficie . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle z_{1},...,z_{n},e^{p(z_{1},...,z_{n})}}$ ${\displaystyle p=0}$

Referencias

• Bombieri, Enrico (1970), "Valores algebraicos de mapas meromórficos", Inventiones Mathematicae , 10 (4): 267–287, Bibcode :1970InMat..10..267B, doi :10.1007/BF01418775, ISSN  0020-9910, MR  0306201 , S2CID  123180813
  • Bombieri, Enrico (1971), "Adenda a mi artículo: "Valores algebraicos de mapas meromórficos" (Invent. Math. 10 (1970), 267–287)", Inventiones Mathematicae , 11 (2): 163–166, doi :10.1007/BF01404610, ISSN  0020-9910, MR  0322203, S2CID  121612401
• Bombieri, Enrico ; Lang, Serge (1970), "Subgrupos analíticos de variedades de grupo", Inventiones Mathematicae , 11 : 1–14, Bibcode :1970InMat..11....1B, doi :10.1007/BF01389801, ISSN  0020-9910, MR  0296028, S2CID  122211611
• Lang, S. (1966), Introducción a los números trascendentales , Addison-Wesley Publishing Company
• Lelong, Pierre (1971), "Valeurs algébriques d'une application méromorphe (d'après E. Bombieri) Exp. No. 384", Séminaire Bourbaki, 23ème année (1970/1971) , Lecture Notes in Math, vol. 244, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 29–45, doi :10.1007/BFb0058695, ISBN 978-3-540-05720-8, Sr.  0414500
• Schneider, Theodor (1949), "Ein Satz über ganzwertige Funktionen als Prinzip für Transzendenzbeweise", Mathematische Annalen , 121 : 131–140, doi :10.1007/BF01329621, ISSN  0025-5831, MR  0031498, S2CID  1
• Waldschmidt, Michel (1979), Nombres trascendentes y grupos algébriques , Astérisque, vol. 69, París: Société Mathématique de France