Teorema de Rouché

Teorema sobre los ceros de funciones holomorfas

El teorema de Rouché , que lleva el nombre de Eugène Rouché , establece que para dos funciones cualesquiera de valores complejos f y g holomorfas dentro de alguna región con contorno cerrado , si | g ( z )| < | f ( z )| adelante , entonces f y f + g tienen el mismo número de ceros en su interior , donde cada cero se cuenta tantas veces como su multiplicidad . Este teorema supone que el contorno es simple, es decir, sin autointersecciones. El teorema de Rouché es una consecuencia fácil de un teorema de Rouché simétrico más fuerte que se describe a continuación. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \partial K}$ ${\displaystyle \partial K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \partial K}$

Uso

El teorema suele usarse para simplificar el problema de localizar ceros, de la siguiente manera. Dada una función analítica, la escribimos como la suma de dos partes, una de las cuales es más simple y crece más rápido que la otra (por lo tanto domina). Luego podemos localizar los ceros mirando sólo la parte dominante. Por ejemplo, el polinomio tiene exactamente 5 ceros en el disco ya que por cada , y , la parte dominante, tiene cinco ceros en el disco. ${\displaystyle z^{5}+3z^{3}+7}$ ${\displaystyle |z|<2}$ ${\displaystyle |3z^{3}+7|\leq 31<32=|z^{5}|}$ ${\displaystyle |z|=2}$ ${\displaystyle z^{5}}$

Explicación geométrica

A medida que z viaja a lo largo de una curva cerrada C (que no se muestra en la imagen), f ( z ) y h ( z ) trazarán curvas cerradas en el plano complejo (que se muestra en azul y rojo). Siempre que las curvas nunca se separen demasiado entre sí (requerimos que f ( z ) permanezca más cerca de h ( z ) que el origen en todo momento), entonces las curvas girarán alrededor del origen el mismo número de veces. Entonces, según el principio del argumento , f ( z ) y h ( z ) tienen el mismo número de ceros dentro de C (no se muestra).

Es posible proporcionar una explicación informal del teorema de Rouché.

Sea C una curva cerrada y simple (es decir, que no se interseca a sí misma). Sea h ( z ) = f ( z ) + g ( z ). Si f y g son ambos holomorfos en el interior de C , entonces h también debe ser holomorfo en el interior de C. Entonces, con las condiciones impuestas anteriormente, el teorema de Rouche en su forma original (y no simétrica) dice que

Si | f ( z )| > | h ( z ) - f ( z ) | , para cada z en C, entonces f y h tienen el mismo número de ceros en el interior de C.

Observe que la condición | f ( z )| > | h ( z ) -  f ( z ) | significa que para cualquier z , la distancia desde f ( z ) al origen es mayor que la longitud de h ( z ) −  f ( z ), lo que en la siguiente imagen significa que para cada punto de la curva azul, el segmento que une hasta el origen es más grande que el segmento verde asociado a él. Informalmente podemos decir que la curva azul f ( z ) siempre está más cerca de la curva roja h ( z ) que del origen.

El párrafo anterior muestra que h ( z ) debe enrollarse alrededor del origen exactamente tantas veces como f ( z ). Por lo tanto , el índice de ambas curvas alrededor de cero es el mismo, por lo que, según el principio del argumento , f ( z ) y h ( z ) deben tener el mismo número de ceros dentro de C.

Una forma popular e informal de resumir este argumento es la siguiente: si una persona paseara a un perro con una correa alrededor de un árbol, de modo que la distancia entre la persona y el árbol fuera siempre mayor que la longitud de la correa, luego la persona y el perro dan la misma vuelta al árbol.

Aplicaciones

Raíces delimitadoras

Considere el polinomio con . Según la fórmula cuadrática tiene dos ceros en . El teorema de Rouché puede utilizarse para obtener alguna pista sobre sus posiciones. Desde ${\displaystyle z^{2}+2az+b^{2}}$ ${\displaystyle a>b>0}$ ${\displaystyle -a\pm {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$ $${\displaystyle |z^{2}+b^{2}|\leq 2b^{2}<2a|z|{\text{ for all }}|z|=b,}$$

El teorema de Rouché dice que el polinomio tiene exactamente un cero dentro del disco . Como está claramente fuera del disco, concluimos que el cero es . ${\displaystyle |z|<b}$ ${\displaystyle -a-{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$ ${\displaystyle -a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$

En general, un polinomio . Si para algunos , entonces según el teorema de Rouche, el polinomio tiene exactamente raíces dentro . ${\displaystyle f(z)=a_{n}z^{n}+\cdots +a_{0}}$ ${\displaystyle |a_{k}|r^{k}>\sum _{j\neq k}|a_{j}|r^{j}}$ ${\displaystyle r>0,k\in 0:n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle B(0,r)}$

Este tipo de argumento puede resultar útil para localizar residuos cuando se aplica el teorema de residuos de Cauchy .

Teorema fundamental del álgebra

El teorema de Rouché también se puede utilizar para dar una breve demostración del teorema fundamental del álgebra . Sea y elija tan grande que: Dado que tiene ceros dentro del disco (porque ), se deduce del teorema de Rouché que también tiene el mismo número de ceros dentro del disco. $${\displaystyle p(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots +a_{n}z^{n},\quad a_{n}\neq 0}$$ ${\displaystyle R>0}$ $${\displaystyle |a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{n-1}z^{n-1}|\leq \sum _{j=0}^{n-1}|a_{j}|R^{j}<|a_{n}|R^{n}=|a_{n}z^{n}|{\text{ for }}|z|=R.}$$ ${\displaystyle a_{n}z^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle |z|<R}$ ${\displaystyle R>0}$ ${\displaystyle p}$

Una ventaja de esta prueba sobre las demás es que muestra no sólo que un polinomio debe tener un cero sino que el número de sus ceros es igual a su grado (contando, como siempre, la multiplicidad).

Otro uso del teorema de Rouché es demostrar el teorema de mapeo abierto para funciones analíticas. Nos remitimos al artículo para comprobarlo.

Versión simétrica

Theodor Estermann publicó una versión más sólida del teorema de Rouché en 1962. ^[1] Dice: sea una región acotada con límite continuo . Dos funciones holomorfas tienen el mismo número de raíces (contando la multiplicidad) en , si la desigualdad estricta se cumple en la frontera ${\displaystyle K\subset G}$ ${\displaystyle \partial K}$ ${\displaystyle f,\,g\in {\mathcal {H}}(G)}$ ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle |f(z)-g(z)|<|f(z)|+|g(z)|\qquad \left(z\in \partial K\right)}$$ ${\displaystyle \partial K.}$

La versión original del teorema de Rouché se deriva entonces de esta versión simétrica aplicada a las funciones junto con la desigualdad trivial (de hecho, esta desigualdad es estricta ya que para algunos implicaría ). ${\displaystyle f+g,f}$ ${\displaystyle |f(z)+g(z)|\geq 0}$ ${\displaystyle f(z)+g(z)=0}$ ${\displaystyle z\in \partial K}$ ${\displaystyle |g(z)|=|f(z)|}$

La afirmación se puede entender intuitivamente de la siguiente manera. Al considerar en lugar de , la condición se puede reescribir como para . Dado que siempre se cumple la desigualdad del triángulo, esto equivale a decir que on , lo que a su vez significa que para las funciones y no desaparecen y . ${\displaystyle -g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle |f(z)+g(z)|<|f(z)|+|g(z)|}$ ${\displaystyle z\in \partial K}$ ${\displaystyle |f(z)+g(z)|\leq |f(z)|+|g(z)|}$ ${\displaystyle |f(z)+g(z)|\neq |f(z)|+|g(z)|}$ ${\displaystyle \partial K}$ ${\displaystyle z\in \partial K}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle g(z)}$ ${\displaystyle \arg {f(z)}\neq \arg {g(z)}}$

Intuitivamente, si los valores de y nunca pasan por el origen y nunca apuntan en la misma dirección que los círculos a lo largo de , entonces y debe girar alrededor del origen la misma cantidad de veces. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \partial K}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle g(z)}$

Prueba de la forma simétrica del teorema de Rouché

Sea una curva cerrada simple cuya imagen es la frontera . La hipótesis implica que f no tiene raíces en , por lo tanto, según el principio del argumento , el número N _f ( K ) de ceros de f en K es es decir, el número de vueltas de la curva cerrada alrededor del origen; de manera similar para g . La hipótesis asegura que g ( z ) no es un múltiplo real negativo de f ( z ) para cualquier z = C ( x ), por lo tanto 0 no se encuentra en el segmento de línea que une f ( C ( x )) con g ( C ( x )), y es una homotopía entre las curvas y evitando el origen. El número de devanado es invariante de homotopía: la función es continua y de valor entero, por lo tanto, constante. Esta espectáculos ${\displaystyle C\colon [0,1]\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \partial K}$ ${\displaystyle \partial K}$ $${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{f\circ C}{\frac {dz}{z}}=\mathrm {Ind} _{f\circ C}(0),}$$ ${\displaystyle f\circ C}$ $${\displaystyle H_{t}(x)=(1-t)f(C(x))+tg(C(x))}$$ ${\displaystyle f\circ C}$ ${\displaystyle g\circ C}$ $${\displaystyle I(t)=\mathrm {Ind} _{H_{t}}(0)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{H_{t}}{\frac {dz}{z}}}$$ $${\displaystyle N_{f}(K)=\mathrm {Ind} _{f\circ C}(0)=\mathrm {Ind} _{g\circ C}(0)=N_{g}(K).}$$

Ver también

• Teorema fundamental del álgebra  : todo polinomio tiene una raíz real o compleja
• Teorema de Hurwitz (análisis complejo)  – Límite de raíces de secuencia de funciones
• Teorema de la raíz racional  : relación entre las raíces racionales de un polinomio y sus coeficientes extremos
• Propiedades de las raíces polinomiales  – Geometría de la ubicación de las raíces polinomialesPages displaying short descriptions of redirect targets
• Teorema de mapeo de Riemann  - Teorema matemático
• Teorema de Sturm  : contar raíces polinómicas en un intervalo

Referencias

1. Estermann, T. (1962). Números y funciones complejos . Prensa de Athlone, Univ. de Londres. pag. 156.

• Beardon, Alan (1979). Análisis complejo: el principio del argumento en análisis y topología . John Wiley e hijos. pag. 131.ISBN​ 0-471-99672-6.
• Conway, John B. (1978). Funciones de una variable compleja I. Springer-Verlag Nueva York. ISBN 978-0-387-90328-6.
• Titchmarsh, CE (1939). La teoría de las funciones (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 117–119, 198–203. ISBN 0-19-853349-7.
• Rouché É., Mémoire sur la série de Lagrange , Journal de l'École Polytechnique, tomo 22, 1862, p. 193-224. El teorema aparece en la p. 217. Ver archivos de Gallica.