Teorema de Poynting

Teorema de física que muestra la conservación de la energía para el campo electromagnético.

En electrodinámica , el teorema de Poynting es un enunciado de conservación de energía para campos electromagnéticos desarrollado por el físico británico John Henry Poynting . ^[1] Afirma que en un volumen dado, la energía almacenada cambia a una tasa dada por el trabajo realizado sobre las cargas dentro del volumen, menos la tasa a la que la energía sale del volumen. Solo es estrictamente cierto en medios que no son dispersivos , pero puede extenderse para el caso dispersivo. ^[2] El teorema es análogo al teorema de trabajo-energía en mecánica clásica , y matemáticamente similar a la ecuación de continuidad .

Definición

El teorema de Poynting establece que la tasa de transferencia de energía por unidad de volumen desde una región del espacio es igual a la tasa de trabajo realizado sobre la distribución de carga en la región, más el flujo de energía que sale de esa región.

Matemáticamente:

${\displaystyle -{\frac {\partial u}{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {S} +\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} }$

dónde:

• ${\displaystyle -{\frac {\partial u}{\partial t}}}$es la tasa de cambio de la densidad de energía en el volumen.
• ∇• S es el flujo de energía que sale del volumen, dado por la divergencia del vector de Poynting S .
• J • E es la velocidad a la que los campos realizan trabajo sobre las cargas en el volumen ( J es la densidad de corriente correspondiente al movimiento de la carga, E es el campo eléctrico y • es el producto escalar ).

Forma integral

Utilizando el teorema de divergencia , el teorema de Poynting también se puede escribir en forma integral:

${\displaystyle -{\frac {d}{dt}}\int _{V}u~\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \mathbf {S} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} +\int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ~\mathrm {d} V}$

dónde

• S es el flujo de energía, dado por el vector de Poynting.
• ${\displaystyle u}$es la densidad de energía en el volumen.
• ${\displaystyle \partial V\!}$es el límite del volumen. La forma del volumen es arbitraria pero fija para el cálculo.

Ecuación de continuidad analógica

En un contexto de ingeniería eléctrica , el teorema a veces se escribe con el término de densidad de energía u desarrollado como se muestra. ^{[ cita requerida ]} Esta forma se parece a la ecuación de continuidad :

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} +\epsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} =0}$,

dónde

• ε ₀ es la permitividad del vacío y μ ₀ es la permeabilidad del vacío .
• ${\displaystyle \epsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$¿Es la densidad de potencia reactiva la que impulsa la acumulación del campo eléctrico?
• ${\displaystyle {\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$es la densidad de potencia reactiva que impulsa la acumulación del campo magnético, y
• ${\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathbf {E} }$es la densidad de potencia eléctrica disipada por la fuerza de Lorentz que actúa sobre los portadores de carga.

Derivación

Para una carga individual en un campo electromagnético, la tasa de trabajo realizado por el campo sobre la carga está dada por la Ley de Fuerza de Lorentz como: $${\displaystyle {\frac {dW}{dt}}=q\mathbf {v} \cdot \mathbf {E} }$$

Extendiendo esto a una distribución continua de cargas, que se mueven con una densidad de corriente J , se obtiene: $${\displaystyle {\frac {dW}{dt}}=\int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ~\mathrm {d} ^{3}x}$$

Por la ley circuital de Ampère : (Nótese que aquí se utilizan las formas H y D de los campos magnéticos y eléctricos. Las formas B y E también podrían usarse en una derivación equivalente). ^[3] $${\displaystyle \mathbf {J} =\nabla \times \mathbf {H} -{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$$

Sustituyendo esto en la expresión de la tasa de trabajo obtenemos: $${\displaystyle \int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ~\mathrm {d} ^{3}x=\int _{V}\left[\mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {H} )-\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right]~\mathrm {d} ^{3}x}$$

Usando la identidad vectorial : ${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )=\ (\nabla {\times }\mathbf {E} )\cdot \mathbf {H} \,-\,\mathbf {E} \cdot (\nabla {\times }\mathbf {H} )}$ $${\displaystyle \int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ~\mathrm {d} ^{3}x=-\int _{V}\left[\nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )-\mathbf {H} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )+\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right]~\mathrm {d} ^{3}x}$$

Por la ley de Faraday : dando: $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$$ $${\displaystyle \int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ~\mathrm {d} ^{3}x=-\int _{V}\left[\nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )+\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right]~\mathrm {d} ^{3}x}$$

Para continuar con la derivación se requieren las siguientes suposiciones: ^[2]

• Las cargas se mueven en un medio que no es dispersivo .
• La densidad total de energía electromagnética, incluso para campos que varían en el tiempo, viene dada por $${\displaystyle u={\frac {1}{2}}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} )}$$

Se puede demostrar ^[4] que: y por lo tanto: $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} )=2\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {D} }$$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {H} \cdot \mathbf {B} )=2\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B} }$$ $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$$

Volviendo a la ecuación de la tasa de trabajo, $${\displaystyle \int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ~\mathrm {d} ^{3}x=-\int _{V}\left[{\frac {\partial u}{\partial t}}+\nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )\right]~\mathrm {d} ^{3}x}$$

Dado que el volumen es arbitrario, esto se puede expresar en forma diferencial como: donde es el vector de Poynting. $${\displaystyle -{\frac {\partial u}{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {S} +\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} }$$ ${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H} }$

Vector de Poynting en medios macroscópicos

En un medio macroscópico, los efectos electromagnéticos se describen mediante campos promediados espacialmente (macroscópicos). El vector de Poynting en un medio macroscópico se puede definir de manera coherente con la teoría microscópica, de tal manera que el vector de Poynting microscópico promediado espacialmente se predice exactamente mediante un formalismo macroscópico. Este resultado es estrictamente válido en el límite de baja pérdida y permite la identificación inequívoca de la forma del vector de Poynting en la electrodinámica macroscópica. ^{[5] [6]}

Formas alternativas

Es posible derivar versiones alternativas del teorema de Poynting. ^[7] En lugar del vector de flujo E × H como el anterior, es posible seguir el mismo estilo de derivación, pero en su lugar elegir E × B , la forma de Minkowski D × B , o quizás D × H . Cada opción representa la respuesta del medio de propagación a su manera: la forma E × B anterior tiene la propiedad de que la respuesta ocurre solo debido a corrientes eléctricas, mientras que la forma D × H usa solo corrientes monopolares magnéticas (ficticias) . Las otras dos formas (Abraham y Minkowski) usan combinaciones complementarias de corrientes eléctricas y magnéticas para representar las respuestas de polarización y magnetización del medio. ^[7]

Modificación

La derivación de la afirmación depende de la suposición de que los materiales que modela la ecuación pueden describirse mediante un conjunto de propiedades de susceptibilidad que son lineales , isotrópicas , homogéneas e independientes de la frecuencia . ^[8] También debe hacerse la suposición de que los materiales no tienen absorción. Una modificación del teorema de Poynting para tener en cuenta las variaciones incluye un término para la tasa de absorción no óhmica en un material, que puede calcularse mediante una aproximación simplificada basada en el modelo de Drude . ^[8]

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\mathcal {U}}+\nabla \cdot \mathbf {S} +\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} _{\text{free}}+{\mathcal {R}}_{\dashv \int }=0}$$

Teorema del vector de Poynting complejo

Esta forma del teorema es útil en la teoría de antenas, donde a menudo hay que considerar campos armónicos que se propagan en el espacio. En este caso, utilizando la notación fasorial, y . Entonces se cumple la siguiente identidad matemática: ${\displaystyle E(t)=Ee^{j\omega t}}$ ${\displaystyle H(t)=He^{j\omega t}}$

${\displaystyle {1 \over 2}\int _{\partial \Omega }E\times H^{*}\cdot d{\mathbf {a} }={j\omega \over 2}\int _{\Omega }(\varepsilon EE^{*}-\mu HH^{*})dv-{1 \over 2}\int _{\Omega }EJ^{*}dv,}$

¿Dónde está la densidad de corriente? ${\displaystyle J}$

Nótese que en el espacio libre, y son reales, por lo tanto, al tomar la parte real de la fórmula anterior, expresa el hecho de que la potencia radiada promedio que fluye a través de es igual al trabajo sobre las cargas. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$

Referencias

1. Poynting, JH (diciembre de 1884). "Sobre la transferencia de energía en el campo electromagnético"  . Philosophical Transactions of the Royal Society of London . 175 : 343–361. doi : 10.1098/rstl.1884.0016 .
2. Jackson, John David (1999). Electrodinámica clásica (3.ª ed.). John Wiley & Sons. págs. 258-267. ISBN 978-0-471-30932-1.
3. Griffiths, David J. (1989). Introducción a la electrodinámica (2.ª ed.). Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice Hall. Págs. 322-324. ISBN. 0-13-481367-7.
4. Ellingson, Steven. "Teorema de Poynting". LibreTexts . Consultado el 3 de diciembre de 2021 .
5. Silveirinha, MG (2010). "Vector de Poynting, tasa de calentamiento y energía almacenada en materiales estructurados: una derivación de primeros principios". Phys. Rev. B . 82 : 037104. doi :10.1103/physrevb.82.037104.
6. Costa, JT, MG Silveirinha, A. Alù (2011). "Vector de Poynting en metamateriales de índice negativo". Phys. Rev. B . 83 : 165120. doi :10.1103/physrevb.83.165120.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
7. Kinsler, P.; Favaro, A.; McCall MW (2009). "Cuatro teoremas de Poynting" (PDF) . Revista Europea de Física . 30 (5): 983. arXiv : 0908.1721 . Código Bibliográfico :2009EJPh...30..983K. doi :10.1088/0143-0807/30/5/007.
8. Freeman, Richard; King, James; Lafyatis, Gregory (2019), "Fundamentos de electricidad y magnetismo", Radiación electromagnética , Oxford: Oxford University Press, doi :10.1093/oso/9780198726500.001.0001/oso-9780198726500-chapter-1#oso-9780198726500-chapter-1-displaymaths-20, ISBN 978-0-19-872650-0, consultado el 18 de febrero de 2022

Enlaces externos

• Eric W. Weisstein "Teorema de Poynting" de ScienceWorld: un recurso web de Wolfram.