Teorema de Halpern-Läuchli

Resultado de la partición sobre productos finitos de árboles infinitos

En matemáticas , el teorema de Halpern-Läuchli es un resultado de partición sobre productos finitos de árboles infinitos . Su propósito original era proporcionar un modelo para la teoría de conjuntos en el que el teorema del ideal primo de Boole es verdadero pero el axioma de elección es falso. A menudo se lo llama teorema de Halpern-Läuchli, pero la atribución adecuada para el teorema tal como se formula a continuación es a Halpern-Läuchli-Laver-Pincus o HLLP (nombrado en honor a James D. Halpern, Hans Läuchli, Richard Laver y David Pincus), siguiendo a Milliken (1979).

Sea d , r < ω, una secuencia de árboles de altura ω que se dividen finitamente. ${\displaystyle \langle T_{i}:i\in d\rangle }$

${\displaystyle \bigcup _{n\in \omega }\left(\prod _{i<d}T_{i}(n)\right)=C_{1}\cup \cdots \cup C_{r},}$

entonces existe una secuencia de subárboles fuertemente incrustados en tal que ${\displaystyle \langle S_{i}:i\in d\rangle }$ ${\displaystyle \langle T_{i}:i\in d\rangle }$

${\displaystyle \bigcup _{n\in \omega }\left(\prod _{i<d}S_{i}(n)\right)\subset C_{k}{\text{ for some }}k\leq r.}$

Alternativamente, dejemos

${\displaystyle S_{\langle T_{i}:i\in d\rangle }^{d}=\bigcup _{n\in \omega }\left(\prod _{i<d}T_{i}(n)\right)}$

y

${\displaystyle \mathbb {S} ^{d}=\bigcup _{\langle T_{i}:i\in d\rangle }S_{\langle T_{i}:i\in d\rangle }^{d}.}$.

El teorema HLLP dice que no sólo la partición de la colección es regular para cada d  <  ω , sino que el subárbol homogéneo garantizado por el teorema está fuertemente integrado en ${\displaystyle \mathbb {S} ^{d}}$

${\displaystyle T=\langle T_{i}:i\in d\rangle .}$

Referencias

• Halpern, James D.; Läuchli, Hans (1966), "Un teorema de partición", Transactions of the American Mathematical Society , 124 : 360–367, doi : 10.1090/s0002-9947-1966-0200172-2 , MR  0200172
• Milliken, Keith R. (1979), "Un teorema de Ramsey para árboles", Journal of Combinatorial Theory , Serie A, 26 (3): 215–237, doi : 10.1016/0097-3165(79)90101-8 , MR  0535155
• Milliken, Keith R. (1981), "Un teorema de partición para los subárboles infinitos de un árbol", Transactions of the American Mathematical Society , 263 (1): 137–148, doi : 10.1090/s0002-9947-1981-0590416-8 , MR  0590416
• Pincus, David; Halpern, James D. (1981), "Particiones de productos", Transactions of the American Mathematical Society , 267 (2): 549–568, doi : 10.1090/s0002-9947-1981-0626489-3 , MR  0626489