La condición de Hörmander

En matemáticas , la condición de Hörmander es una propiedad de los campos vectoriales que, si se cumple, tiene muchas consecuencias útiles en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales y estocásticas . La condición recibe su nombre del matemático sueco Lars Hörmander .

Definición

Dados dos campos vectoriales C 1 V y W en el espacio euclidiano d - dimensional R ^d , sea [ V ,  W ] su corchete de Lie , otro campo vectorial definido por

${\displaystyle [V,W](x)=\mathrm {D} V(x)W(x)-\mathrm {D} W(x)V(x),}$

donde D V ( x ) denota la derivada de Fréchet de V en x  ∈  R ^d , que puede considerarse como una matriz que se aplica al vector W ( x ), y viceversa .

Sean A ₀ , A ₁ , ... A _n campos vectoriales en R ^d . Se dice que satisfacen la condición de Hörmander si, para cada punto x  ∈  R ^d , los vectores

${\displaystyle {\begin{aligned}&A_{j_{0}}(x)~,\\&[A_{j_{0}}(x),A_{j_{1}}(x)]~,\\&[[A_{j_{0}}(x),A_{j_{1}}(x)],A_{j_{2}}(x)]~,\\&\quad \vdots \quad \end{aligned}}\qquad 0\leq j_{0},j_{1},\ldots ,j_{n}\leq n}$

span R ^d . Se dice que satisfacen la condición parabólica de Hörmander si la misma es cierta, pero el índice toma solo valores en 1,..., n . ${\displaystyle j_{0}}$

Aplicación a ecuaciones diferenciales estocásticas

Considere la ecuación diferencial estocástica (EDS)

${\displaystyle \operatorname {d} x=A_{0}(x)\operatorname {d} t+\sum _{i=1}^{n}A_{i}(x)\circ \operatorname {d} W_{i}}$

donde se supone que los campos de vectores tienen derivada acotada, el movimiento browniano n -dimensional normalizado y representa la interpretación integral de Stratonovich de la SDE. El teorema de Hörmander afirma que si la SDE anterior satisface la condición parabólica de Hörmander, entonces sus soluciones admiten una densidad suave con respecto a la medida de Lebesgue. ${\displaystyle A_{0},\dotsc ,A_{n}}$ ${\displaystyle (W_{1},\dotsc ,W_{n})}$ ${\displaystyle \circ \operatorname {d} }$

Aplicación al problema de Cauchy

Con la misma notación que arriba, defina un operador diferencial de segundo orden F mediante

${\displaystyle F={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}A_{i}^{2}+A_{0}.}$

Un problema importante en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales es determinar condiciones suficientes en los campos vectoriales A _i para el problema de Cauchy.

${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial u}{\partial t}}(t,x)=Fu(t,x),&t>0,x\in \mathbf {R} ^{d};\\u(t,\cdot )\to f,&{\text{as }}t\to 0;\end{cases}}}$

tener una solución fundamental suave , es decir, una función de valor real p  (0, +∞) ×  R ^{2 d}  →  R tal que p ( t , ·, ·) sea suave en R ^{2 d} para cada t y

${\displaystyle u(t,x)=\int _{\mathbf {R} ^{d}}p(t,x,y)f(y)\,\mathrm {d} y}$

satisface el problema de Cauchy anterior. Se sabía desde hace tiempo que existe una solución suave en el caso elíptico , en el que

${\displaystyle A_{i}=\sum _{j=1}^{d}a_{ji}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}},}$

y la matriz A  = ( a _ji ), 1 ≤  j  ≤  d , 1 ≤  i  ≤  n es tal que AA ^∗ es en todas partes una matriz invertible .

El gran logro del artículo de Hörmander de 1967 fue demostrar que existe una solución fundamental suave bajo un supuesto considerablemente más débil: la versión parabólica de la condición que ahora lleva su nombre.

Aplicación a sistemas de control

Sea M una variedad suave y sean campos vectoriales suaves en M . Suponiendo que estos campos vectoriales satisfacen la condición de Hörmander, entonces el sistema de control ${\displaystyle A_{0},\dotsc ,A_{n}}$

${\displaystyle {\dot {x}}=\sum _{i=0}^{n}u_{i}A_{i}(x)}$

es localmente controlable en cualquier momento en cada punto de M . Esto se conoce como el teorema de Chow-Rashevskii . Véase Órbita (teoría de control) .

Véase también

• Cálculo de Malliavin
• Álgebra de Lie

Referencias

• Bell, Denis R. (2006). El cálculo de Malliavin . Mineola, NY: Dover Publications Inc. pp. x+113. ISBN 0-486-44994-7. MR 2250060 (Ver introducción)
• Hörmander, Lars (1967). "Ecuaciones diferenciales hipoelípticas de segundo orden". Acta Math . 119 : 147–171. doi : 10.1007/BF02392081 . ISSN  0001-5962. Señor 0222474