Teorema de Godunov

En análisis numérico y dinámica de fluidos computacional , el teorema de Godunov , también conocido como teorema de barrera de orden de Godunov , es un teorema matemático importante en el desarrollo de la teoría de esquemas de alta resolución para la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales .

El teorema establece que:

Los esquemas numéricos lineales para resolver ecuaciones diferenciales parciales (PDE), que tienen la propiedad de no generar nuevos extremos (esquema monótono), pueden tener una precisión de primer orden como máximo.

El profesor Sergei Godunov demostró originalmente el teorema como doctorado. estudiante de la Universidad Estatal de Moscú . Es su trabajo más influyente en el área de las matemáticas numéricas y aplicadas y ha tenido un gran impacto en la ciencia y la ingeniería, particularmente en el desarrollo de métodos utilizados en dinámica de fluidos computacional (CFD) y otros campos computacionales. Una de sus principales contribuciones fue demostrar el teorema (Godunov, 1954; Godunov, 1959), que lleva su nombre.

el teorema

Generalmente seguimos a Wesseling (2001).

Aparte

Supongamos que un problema continuo descrito por una PDE se va a calcular utilizando un esquema numérico basado en una cuadrícula computacional uniforme y un algoritmo de integración de un solo paso, tamaño de paso constante, M punto de cuadrícula, ya sea implícito o explícito. Entonces, si y , dicho esquema puede describirse mediante ${\displaystyle x_{j}=j\,\Delta x}$ ${\displaystyle t^{n}=n\,\Delta t}$

En otras palabras, la solución en el tiempo y la ubicación es una función lineal de la solución en el paso de tiempo anterior . Suponemos que eso determina de forma única. Ahora, dado que la ecuación anterior representa una relación lineal entre y podemos realizar una transformación lineal para obtener la siguiente forma equivalente, ${\displaystyle \varphi _{j}^{n+1}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \beta _{m}}$ ${\displaystyle \varphi _{j}^{n+1}}$ ${\displaystyle \varphi _{j}^{n}}$ ${\displaystyle \varphi _{j}^{n+1}}$

Teorema 1: Preservación de la monotonicidad

El esquema anterior de la ecuación (2) preserva la monotonicidad si y solo si

Prueba - Godunov (1959)

Caso 1: (condición suficiente)

Supongamos que se aplica (3) y que aumenta monótonamente con . ${\displaystyle \varphi _{j}^{n}}$ ${\displaystyle j}$

Entonces, porque se sigue que porque ${\displaystyle \varphi _{j}^{n}\leq \varphi _{j+1}^{n}\leq \cdots \leq \varphi _{j+m}^{n}}$ ${\displaystyle \varphi _{j}^{n+1}\leq \varphi _{j+1}^{n+1}\leq \cdots \leq \varphi _{j+m}^{n+1}}$

Esto significa que en este caso se conserva la monotonicidad.

Caso 2: (condición necesaria)

Probamos la condición necesaria por contradicción. Supongamos que para algunos y elija lo siguiente que aumenta monótonamente , ${\displaystyle \gamma _{p}^{}<0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \varphi _{j}^{n}\,}$

Entonces de la ecuación (2) obtenemos

Ahora elige , para dar ${\displaystyle j=k-p}$

lo que implica que NO está aumentando, y tenemos una contradicción. Por tanto, la monotonía NO se conserva para , lo que completa la prueba. ${\displaystyle \varphi _{j}^{n+1}}$ ${\displaystyle \gamma _{p}<0}$

Teorema 2: Teorema de la barrera del orden de Godunov

Esquemas numéricos lineales precisos de segundo orden de un paso para la ecuación de convección

No se puede preservar la monotonicidad a menos que

¿Dónde está el número de condición de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) firmado ? ${\displaystyle \sigma }$

Prueba - Godunov (1959)

Suponga un esquema numérico de la forma descrita en la ecuación (2) y elija

La solución exacta es

Si asumimos que el esquema tiene una precisión de al menos segundo orden, debería producir la siguiente solución exactamente

Sustituyendo en la ecuación (2) se obtiene:

Supongamos que el esquema preserva la monotonicidad, entonces, de acuerdo con el teorema 1 anterior ,. ${\displaystyle \gamma _{m}\geq 0}$

Ahora, de la ecuación (15) se desprende claramente que

Suponga y elija tal que . Esto implica que y . ${\displaystyle \sigma >0,\quad \sigma \notin \mathbb {N} }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j>\sigma >\left(j-1\right)}$ ${\displaystyle \left({j-\sigma }\right)>0}$ ${\displaystyle \left({j-\sigma -1}\right)<0}$

Por lo tanto se deduce que,

lo que contradice la ecuación (16) y completa la prueba.

La situación excepcional en la que se encuentra sólo tiene interés teórico, ya que no puede realizarse con coeficientes variables. Además, los números CFL enteros mayores que la unidad no serían factibles para problemas prácticos. ${\displaystyle \sigma =\left|c\right|{{\Delta t} \over {\Delta x}}\in \mathbb {N} }$

Ver también

• Método de volumen finito
• Limitador de flujo
• Variación total disminuyendo

Referencias

• Godunov, Sergei K. (1954), Ph.D. Disertación: Diferentes métodos para las ondas de choque , Universidad Estatal de Moscú.
• Godunov, Sergei K. (1959), Un esquema diferencial para la solución numérica de soluciones discontinuas de ecuaciones hidrodinámicas, Mat. Sbornik, 47, 271-306 , tradujo la publicación conjunta de EE. UU. Res. Servicio, JPRS 7226, 1969.
• Wesseling, Pieter (2001). Principios de la dinámica de fluidos computacional. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 9783540678533. OCLC  44972030.

Otras lecturas

• Hirsch, Ch (1990). Cálculo Numérico de Flujos Internos y Externos. vol. 2. Chichester [Inglaterra]: Wiley. ISBN 0-471-91762-1. OCLC  16523972.
• Laney, Culbert B. (1998). Gasdinámica computacional. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-511-77720-2. OCLC  664017316.
• Toro, Elewterio F. (2009). Solvers de Riemann y métodos numéricos para la dinámica de fluidos: una introducción práctica (3ª ed.). Berlina. ISBN 978-3-540-25202-3. OCLC  391057413.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Anderson, Dale A.; Tannehill, John C.; Pletcher, Richard H.; Munipalli, Ramakanth; Shankar, Vijaya (2020). Mecánica de fluidos computacional y transferencia de calor (Cuarta ed.). Boca Ratón, FL: Taylor y Francis. ISBN 978-1-351-12400-3. OCLC  1237821271.