Teorema de Dubins-Schwarz

En la teoría de martingalas , el teorema de Dubins-Schwarz (o teorema de Dambis-Dubins-Schwarz ) es un teorema que dice que todas las martingalas y martingalas locales continuas son movimientos brownianos modificados en el tiempo .

El teorema fue demostrado en 1965 por Lester Dubins y Gideon E. Schwarz ^[1] e independientemente en el mismo año por KE Dambis, un estudiante de doctorado de Eugene Dynkin . ^{[2] [3]}

Teorema de Dubins-Schwarz

Dejar

• ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0,\operatorname {loc} }^{c}}$sea ​​el espacio de -martingalas locales continuas adaptadas con . ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle M=(M_{t})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle M_{0}=0}$
• ${\displaystyle \langle M\rangle }$sea ​​la variación cuadrática .

Declaración

Sea y y definamos para todos los cambios de tiempo (es decir, tiempos de parada ) ^[4] ${\displaystyle M\in {\mathcal {M}}_{0,\operatorname {loc} }^{c}}$ ${\displaystyle \langle M\rangle _{\infty }=\infty }$ ${\displaystyle t\geq 0}$

${\displaystyle T_{t}=\inf\{s:\langle M\rangle _{s}>t\}.}$

Entonces hay un movimiento -browniano y . ${\displaystyle B:=(B_{t}):=(M_{T_{t}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{T_{t}}}$ ${\displaystyle (M_{t})=(B_{\langle M\rangle _{t}})}$

Observaciones

• La condición garantiza que el espacio de probabilidad subyacente sea lo suficientemente rico como para que exista el movimiento browniano. Si se eliminan estas condiciones, es posible que haya que utilizar la ampliación del espacio de probabilidad filtrado. ${\displaystyle \langle M\rangle _{\infty }=\infty }$
• ${\displaystyle B}$no es un movimiento -browniano. ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$
• ${\displaystyle (T_{t})}$son casi seguramente finitos ya que . ${\displaystyle \langle M\rangle _{\infty }=\infty }$

Referencias

1. Dubins, Lester E.; Schwarz, Gideon (1965). "Sobre las martingalas continuas". Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 53 (5): 913–916. Bibcode :1965PNAS...53..913D. doi : 10.1073/pnas.53.5.913 . PMC  301348 . PMID  16591279.
2. Dambis, KE (1965). "Sobre la descomposición de submartingalas continuas". Teoría de la probabilidad y sus aplicaciones . 10 (3): 401–410. doi :10.1137/1110048.
3. "Sobre la descomposición de submartingalas continuas". Teor. Veroyatnost. I Primenen. (en ruso). 10 : 438–448. 1965.
4. Revuz, Daniel; Yor, Marc (1999). Martingalas continuas y movimiento browniano . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 293. Saltador. doi :10.1007/978-3-662-06400-9. ISBN 978-3-642-08400-3.