Teorema de Dedekind-Kummer

Teorema de la teoría algebraica de números

En la teoría de números algebraicos , el teorema de Dedekind-Kummer describe cómo un ideal primo en un dominio de Dedekind se factoriza sobre el cierre integral del dominio . ^[1]

Declaración para campos numéricos

Sea un cuerpo de números tal que para y sea el polinomio mínimo para sobre . Para cualquier primo que no divida a , escribe donde son polinomios mónicos irreducibles en . Luego, factoriza en ideales primos tales que . ^[2] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle [{\mathcal {O}}_{K}:\mathbb {Z} [\alpha ]]}$ $${\displaystyle f(x)\equiv \pi _{1}(x)^{e_{1}}\cdots \pi _{g}(x)^{e_{g}}\mod p}$$ ${\displaystyle \pi _{i}(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}[x]}$ ${\displaystyle (p)=p{\mathcal {O}}_{K}}$ $${\displaystyle (p)={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{g}^{e_{g}}}$$ ${\displaystyle N({\mathfrak {p}}_{i})=p^{\deg \pi _{i}}}$

Declaración para los dominios de Dedekind

El teorema de Dedekind-Kummer se cumple de manera más general que en la situación de cuerpos numéricos: Sea un dominio de Dedekind contenido en su cuerpo cociente , una extensión de cuerpo finito y separable con para un generador adecuado y la clausura integral de . La situación anterior es solo un caso especial ya que se puede elegir ). ${\displaystyle {\mathcal {o}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle L=K[\theta ]}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {o}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {o}}=\mathbb {Z} ,K=\mathbb {Q} ,{\mathcal {O}}={\mathcal {O}}_{L}}$

Si es un ideal primo coprimo del conductor (es decir, su suma es ). Considere el polinomio mínimo de . El polinomio tiene la descomposición con polinomios irreducibles distintos por pares . La factorización de en ideales primos sobre está dada entonces por donde y son los polinomios elevados a . ^[1] ${\displaystyle (0)\neq {\mathfrak {p}}\subseteq {\mathcal {o}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {F}}=\{a\in {\mathcal {O}}\mid a{\mathcal {O}}\subseteq {\mathcal {o}}[\theta ]\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {o}}[x]}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\overline {f}}\in ({\mathcal {o}}/{\mathfrak {p}})[x]}$ $${\displaystyle {\overline {f}}={\overline {f_{1}}}^{e_{1}}\cdots {\overline {f_{r}}}^{e_{r}}}$$ ${\displaystyle {\overline {f_{i}}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ $${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {P}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {P}}_{r}^{e_{r}}}$$ ${\displaystyle {\mathfrak {P}}_{i}={\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}+(f_{i}(\theta ){\mathcal {O}})}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle {\overline {f_{i}}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {o}}[x]}$

Referencias

1. Neukirch, Jürgen (1999). Teoría algebraica de números. Berlín: Springer. págs. 48–49. ISBN 3-540-65399-6.OCLC 41039802  .
2. Conrad, Keith. "FACTORING DESPUÉS DE DEDEKIND" (PDF) .