Teorema de Chebotarev sobre las raíces de la unidad

Todas las submatrices de una matriz de transformada de Fourier discreta de longitud prima son invertibles

El teorema de Chebotarev sobre las raíces de la unidad fue originalmente una conjetura hecha por Ostrowski en el contexto de las series lagunares .

Chebotarev fue el primero en demostrarlo, en la década de 1930. Esta prueba utiliza herramientas de la teoría de Galois y agradó a Ostrowski , quien hizo comentarios argumentando que " sí cumple con los requisitos de la estética matemática ". ^[1] Se han propuesto varias pruebas desde entonces, ^[2] e incluso fue descubierto independientemente por Dieudonné . ^[3]

Declaración

Sea una matriz con elementos , donde . Si es primo entonces cualquier menor de es distinto de cero. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle a_{ij}=\omega ^{ij},1\leq i,j\leq n}$ ${\displaystyle \omega =e^{2\mathrm {i} \pi /n},n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Omega }$

De manera equivalente, todas las submatrices de una matriz DFT de longitud prima son invertibles.

Aplicaciones

En el procesamiento de señales , ^[4] el teorema fue utilizado por T. Tao para extender el principio de incertidumbre . ^[5]

Notas

1. Stevenhagen y otros, 1996
2. P. E. Frenkel, 2003
3. J. Dieudonné, 1970
4. Candés, Romberg, Tao, 2006
5. T. Tao, 2003

Referencias

• Stevenhagen, Peter; Lenstra, Hendrik W (1996). "Chebotarev y su teorema de densidad". The Mathematical Intelligencer . 18 (2): 26–37. CiteSeerX  10.1.1.116.9409 . doi :10.1007/BF03027290. S2CID  14089091.
• Frenkel, PE (2003). "Demostración simple del teorema de Chebotarev sobre raíces de la unidad". arXiv : math/0312398 .

• Terence Tao (2005), "Un principio de incertidumbre para grupos cíclicos de orden primo", Mathematical Research Letters , 12 (1): 121–127, arXiv : math/0308286 , doi :10.4310/MRL.2005.v12.n1.a11, S2CID  8548232
• Dieudonné, Jean (1970). "Une propriété des racines de l'unité". Colección de Artículos Dedicados a Alberto González Domınguez en su Sexagésimo Quinto Cumpleaños .

• Candes, Emmanuel J; Romberg Justin K; Tao, Terence (2006). "Recuperación estable de señales a partir de mediciones incompletas e inexactas". Communications on Pure and Applied Mathematics . 59 (8): 1207–1223. arXiv : math/0503066 . Bibcode :2005math......3066C. doi :10.1002/cpa.20124. S2CID  119159284.