Teorema de Bernstein-Kushnirenko

Sobre el número de ceros comunes de los polinomios de Laurent

El teorema de Bernstein-Kushnirenko (o teorema de Bernstein-Khovanskii-Kushnirenko (BKK) ^[1] ), demostrado por David Bernstein ^[2] y Anatoliy Kushnirenko  [ru] ^[3] en 1975, es un teorema de álgebra . Afirma que el número de soluciones complejas distintas de cero de un sistema de ecuaciones polinomiales de Laurent es igual al volumen mixto de los politopos de Newton de los polinomios , suponiendo que todos los coeficientes distintos de cero son genéricos. Una afirmación más precisa es la siguiente: ${\displaystyle f_{1}=\cdots =f_{n}=0}$ ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$ ${\displaystyle f_{n}}$

Declaración

Sea un subconjunto finito de Considere el subespacio del álgebra polinómica de Laurent que consta de polinomios de Laurent cuyos exponentes están en . Eso es: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}.}$ ${\displaystyle L_{A}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \left[x_{1}^{\pm 1},\ldots ,x_{n}^{\pm 1}\right]}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle L_{A}=\left\{f\,\left|\,f(x)=\sum _{\alpha \in A}c_{\alpha }x^{\alpha },c_{\alpha }\in \mathbb {C} \right\},\right.}$

donde para cada uno hemos utilizado la notación abreviada para denotar el monomio ${\displaystyle \alpha =(a_{1},\ldots ,a_{n})\in \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle x^{\alpha }}$ ${\displaystyle x_{1}^{a_{1}}\cdots x_{n}^{a_{n}}.}$

Ahora tome subconjuntos finitos de , con los correspondientes subespacios de polinomios de Laurent. Considere un sistema genérico de ecuaciones a partir de estos subespacios, es decir: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle L_{A_{1}},\ldots ,L_{A_{n}}.}$

${\displaystyle f_{1}(x)=\cdots =f_{n}(x)=0,}$

donde cada uno es un elemento genérico en el (espacio vectorial de dimensión finita) ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle L_{A_{i}}.}$

El teorema de Bernstein-Kushnirenko establece que el número de soluciones de dicho sistema es igual a ${\displaystyle x\in (\mathbb {C} \setminus 0)^{n}}$

${\displaystyle n!V(\Delta _{1},\ldots ,\Delta _{n}),}$

donde denota el volumen mixto de Minkowski y para cada uno es el casco convexo del conjunto finito de puntos . Claramente, es un politopo reticular convexo ; puede interpretarse como el politopo de Newton de un elemento genérico del subespacio . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle i,\Delta _{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle \Delta _{i}}$ ${\displaystyle L_{A_{i}}}$

En particular, si todos los conjuntos son iguales, entonces el número de soluciones de un sistema genérico de polinomios de Laurent es igual a ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A=A_{1}=\cdots =A_{n},}$ ${\displaystyle L_{A}}$

${\displaystyle n!\operatorname {vol} (\Delta ),}$

donde es la cáscara convexa de y vol es el volumen euclidiano de dimensiones habituales. Tenga en cuenta que aunque el volumen de un politopo reticular no es necesariamente un número entero, se convierte en un número entero después de multiplicarlo por . ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n!}$

Trivialidades

El nombre de Kushnirenko también se escribe Kouchnirenko. David Bernstein es hermano de Joseph Bernstein . Askold Khovanskii ha encontrado alrededor de 15 demostraciones diferentes de este teorema. ^[4]

Referencias

1. Cox, David A .; Pequeño John; O'Shea, Donal (2005). Usando geometría algebraica . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 185 (Segunda ed.). Saltador . ISBN 0-387-20706-6. SEÑOR  2122859.
2. Bernstein, David N. (1975), "El número de raíces de un sistema de ecuaciones", Funkcional. Anal. en Priložen. , 9 (3): 1–4, SEÑOR  0435072
3. Kouchnirenko, Anatoli G. (1976), "Polyèdres de Newton et nombres de Milnor", Inventiones Mathematicae , 32 (1): 1–31, doi :10.1007/BF01389769, SEÑOR  0419433
4. Arnoldo, Vladimir ; et al. (2007). "Pregunta a Skold Georgievich Khovanskii". Revista de Matemáticas de Moscú . 7 (2): 169-171. SEÑOR  2337876.

Ver también

• Teorema de Bézout para otro límite superior del número de ceros comunes de n polinomios en n indeterminados.