Teoría probabilística generalizada

Una teoría probabilística generalizada (GPT) es un marco general para describir las características operativas de teorías físicas arbitrarias . Un GPT debe especificar qué tipo de sistemas físicos se pueden encontrar en el laboratorio, así como reglas para calcular las estadísticas de resultados de cualquier experimento que involucre preparaciones, transformaciones y mediciones etiquetadas. El marco de las GPT se ha utilizado para definir teorías físicas hipotéticas no cuánticas que, sin embargo, poseen las características más notables de la teoría cuántica , como el entrelazamiento ^{[1] [2]} o la teletransportación . ^{[3] En particular, un pequeño conjunto de} axiomas motivados físicamente es suficiente para señalar la representación GPT de la teoría cuántica. ^{[4] [5] [6] [7]}

El formalismo matemático de las GPT ha sido desarrollado desde las décadas de 1950 y 1960 por muchos autores, y redescubierto de forma independiente varias veces. Las primeras ideas se deben a Segal ^[8] y Mackey, ^[9] aunque el primer tratamiento integral y matemáticamente riguroso se remonta al trabajo de Ludwig, Dähn y Stolz, los tres con base en la Universidad de Marburg. ^{[10] [11] [12] [13] [14] [15]} Si bien el formalismo en estas obras anteriores es menos similar al moderno, ya a principios de la década de 1970 las ideas de la escuela de Marburg habían madurado y la notación había madurado. desarrollado hacia el uso moderno, gracias también a la contribución independiente de Davies y Lewis. ^{[16] [17]} Los libros de Ludwig y las actas de una conferencia celebrada en Marburg en 1973 ofrecen un relato completo de estos primeros desarrollos. ^{[18] [4]} El término "teoría probabilística generalizada" fue acuñado por Jonathan Barrett en 2007, ^[19] basándose en la versión del marco introducido por Lucien Hardy. ^[5]

Tenga en cuenta que algunos autores utilizan el término teoría probabilística operativa (OPT). ^{[6] [20]} Las OPT son una forma alternativa de definir teorías físicas hipotéticas no cuánticas, basadas en el lenguaje de la teoría de categorías , en la que se especifican los axiomas que deben satisfacerse mediante observaciones.

Definición

Un GPT se especifica mediante una serie de estructuras matemáticas, a saber:

• una familia de espacios estatales, cada uno de los cuales representa un sistema físico;
• una regla de composición (normalmente corresponde a un producto tensorial ), que especifica cómo se forman los espacios de estados conjuntos;
• un conjunto de medidas, que asignan estados a probabilidades y generalmente se describen mediante un álgebra de efectos ;
• un conjunto de posibles operaciones físicas, es decir, transformaciones que asignan espacios de estados a espacios de estados.

Se puede argumentar que si uno puede preparar un estado y un estado diferente , entonces también puede lanzar una moneda (posiblemente sesgada) que caiga en un lado con probabilidad y en el otro con probabilidad y preparar o o , dependiendo del lado en el que se encuentre. la moneda cae. El estado resultante es una mezcla estadística de los estados y , en los GPT, dichas mezclas estadísticas se describen mediante combinaciones convexas, en este caso . Por esta razón se supone que todos los espacios de estados son conjuntos convexos . Siguiendo un razonamiento similar, se puede argumentar que también el conjunto de resultados de medición y el conjunto de operaciones físicas deben ser convexos. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1-p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle px+(1-p)y}$

Además, siempre se supone que los resultados de las mediciones y las operaciones físicas son mapas afines, es decir, que si se trata de una transformación física, entonces debemos tener y de manera similar para los resultados de las mediciones. Esto se desprende del argumento de que deberíamos obtener el mismo resultado si primero preparamos una combinación estadística y luego aplicamos la operación física, o si preparamos una combinación estadística de los resultados de las operaciones físicas. ${\displaystyle \Phi }$ $${\displaystyle \Phi (px+(1-p)y)=p\Phi (x)+(1-p)\Phi (y)}$$

Tenga en cuenta que las operaciones físicas son un subconjunto de todos los mapas afines que transforman estados en estados, ya que debemos exigir que una operación física produzca un estado válido incluso cuando se aplica a una parte de un sistema (la noción de "parte" es sutil: se especifica explicando cómo se componen los diferentes tipos de sistemas y cómo los parámetros globales del sistema compuesto se ven afectados por las operaciones locales).

Por razones prácticas, a menudo se supone que un GPT general está incrustado en un espacio vectorial de dimensión finita, aunque existen formulaciones de dimensión infinita. ^{[21] [22]}

Clásico, cuántico y más allá

La teoría clásica es una GPT donde los estados corresponden a distribuciones de probabilidad y tanto las mediciones como las operaciones físicas son mapas estocásticos. Se puede ver que en este caso todos los espacios de estados son simplex .

La teoría de la información cuántica estándar es una GPT donde los tipos de sistemas se describen mediante un número natural que corresponde a la dimensión espacial compleja de Hilbert. Los estados de los sistemas de dimensión espacial de Hilbert se describen mediante matrices semidefinidas positivas normalizadas, es decir, mediante matrices de densidad . Las mediciones se identifican con medidas valoradas por el operador positivo (POVM) y las operaciones físicas son mapas completamente positivos . Los sistemas se componen a través del producto tensorial de los espacios complejos de Hilbert subyacentes. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

La teoría cuántica real es la GPT que se obtiene de la teoría de la información cuántica estándar restringiendo la teoría a espacios reales de Hilbert. No satisface el axioma de la tomografía local. ^[23]

El marco de las GPT ha proporcionado ejemplos de teorías físicas consistentes que no pueden integrarse en la teoría cuántica y, de hecho, exhiben características muy no cuánticas. Una de las primeras fue Box-world, la teoría con correlaciones no locales máximas. ^[19] Otros ejemplos son las teorías con interferencia de tercer orden ^[24] y la familia de GPT conocida como bits generalizados. ^[25]

Muchas características que se consideraban puramente cuánticas en realidad están presentes en todos los GPT no clásicos. Entre ellos se incluyen la imposibilidad de una radiodifusión universal, es decir, el teorema de la no clonación ; ^[26] la existencia de mediciones incompatibles; ^{[22] [27]} y la existencia de estados entrelazados o medidas entrelazadas. ^{[1] [2]}

Ver también

• Fundamentos cuánticos

Referencias

1. Aubrun, Guillaume; Lami, Ludovico; Palazuelos, Carlos; Plávala, Martín (2021). "Enredabilidad de conos". Análisis Geométrico y Funcional . 31 (2): 181–205. arXiv : 1911.09663 . doi :10.1007/s00039-021-00565-5. S2CID  208202463.
2. Aubrun, Guillaume; Lami, Ludovico; Palazuelos, Carlos; Plávala, Martín (2022). "El entrelazamiento y la superposición son conceptos equivalentes en cualquier teoría física". Cartas de revisión física . 128 (16): 160402. arXiv : 2109.04446 . Código bibliográfico : 2022PhRvL.128p0402A. doi : 10.1103/PhysRevLett.128.160402. ISSN  0031-9007. PMID  35522482. S2CID  237453629.
3. Barnum, H. y Barrett, J. y Leifer, M. y Wilce, A. (2012). "Teletransportación en teorías probabilísticas generales". Actas de simposios en matemáticas aplicadas . 71 : 25–48.{{cite journal}}: Mantenimiento CS1: varios nombres: lista de autores ( enlace )
4. Ludwig, Günther (6 de diciembre de 2012). Una base axiomática para la mecánica cuántica: volumen 1 Derivación de la estructura espacial de Hilbert. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-3-642-70029-3.
5. Hardy, L. (2001). "Teoría cuántica a partir de cinco axiomas razonables". arXiv : quant-ph/0101012 .
6. Chiribella, Giulio; D'Ariano, Giacomo Mauro; Perinotti, Paolo (11 de julio de 2011). "Derivación informativa de la teoría cuántica". Revisión física A. 84 (1): 012311. arXiv : 1011.6451 . Código bibliográfico : 2011PhRvA..84a2311C. doi : 10.1103/PhysRevA.84.012311. ISSN  1050-2947. S2CID  15364117.
7. Wetering, John van de (18 de diciembre de 2019). "Una reconstrucción teórica de efectos de la teoría cuántica". Composicionalidad . 1 : 1. arXiv : 1801.05798 . doi : 10.32408/composicionalidad-1-1 . ISSN  2631-4444.
8. Segal, es decir (1947). "Postulados de la Mecánica Cuántica General". Anales de Matemáticas . 48 (4): 930–948. doi :10.2307/1969387. ISSN  0003-486X. JSTOR  1969387.
9. Mackey, George W (1960). Apuntes de conferencias sobre los fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica . Cambridge: Universidad de Harvard.
10. Ludwig, Günther (1964). "Versuch einer axiomatischen Grundlegung der Quantenmechanik und allgemeinerer physikalischer Theorien". Zeitschrift für Physik . 181 (3): 233–260. Código Bib : 1964ZPhy..181..233L. doi :10.1007/BF01418533. ISSN  0044-3328. S2CID  122711102.
11. Ludwig, Günther (1967). "Intento de fundamento axiomático de la mecánica cuántica y teorías más generales, II". Comunicaciones en Física Matemática . 4 (5): 331–348. Código bibliográfico : 1967CMaPh...4..331L. doi :10.1007/BF01653647. ISSN  0010-3616. S2CID  189830778.
12. Ludwig, Günther (1968). "Intento de fundamento axiomático de la mecánica cuántica y teorías más generales. III". Comunicaciones en Física Matemática . 9 (1): 1–12. Código Bib : 1968CMaPh...9....1L. doi :10.1007/BF01654027. ISSN  0010-3616. S2CID  122753703.
13. Dähn, Günter (1968). "Intento de fundamento axiomático de la mecánica cuántica y teorías más generales. IV". Comunicaciones en Física Matemática . 9 (3): 192–211. Código bibliográfico : 1968CMaPh...9..192D. doi :10.1007/BF01645686. ISSN  0010-3616. S2CID  121449647.
14. Stolz, Peter (1969). "Intento de fundamento axiomático de la mecánica cuántica y teorías más generales V". Comunicaciones en Física Matemática . 11 (4): 303–313. doi :10.1007/BF01645851. ISSN  0010-3616. S2CID  120289511.
15. Stolz, Peter (1971). "Intento de fundamento axiomático de la mecánica cuántica y teorías más generales VI". Comunicaciones en Física Matemática . 23 (2): 117-126. Código bibliográfico : 1971CMaPh..23..117S. doi :10.1007/BF01877753. ISSN  0010-3616. S2CID  189836530.
16. Ludwig, Günther (1972). "Una formulación mejorada de algunos teoremas y axiomas en el fundamento axiomático de la estructura espacial de Hilbert de la mecánica cuántica". Comunicaciones en Física Matemática . 26 (1): 78–86. Código bibliográfico : 1972CMaPh..26...78L. doi :10.1007/BF01877548. ISSN  0010-3616. S2CID  120013555.
17. Davies, EB; Lewis, JT (1970). "Un enfoque operativo de la probabilidad cuántica". Comunicaciones en Física Matemática . 17 (3): 239–260. Código bibliográfico : 1970CMaPh..17..239D. doi :10.1007/BF01647093. S2CID  120519304.
18. Hartkämper, A; Neumann, H (1974). Fundamentos de la mecánica cuántica y espacios lineales ordenados: Instituto de estudios avanzados de Marburg 1973 . Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag: libros electrónicos de Springer. ISBN 978-3-540-38650-6.
19. Barrett, J. (2007). "Procesamiento de información en teorías probabilísticas generalizadas". Física. Rev. A. 75 (3): 032304. arXiv : quant-ph/0508211 . Código bibliográfico : 2007PhRvA..75c2304B. doi : 10.1103/PhysRevA.75.032304. S2CID  119504263.
20. Chiribella, Giulio; D'Ariano, Giacomo Mauro; Perinotti, Paolo (30 de junio de 2010). "Teorías probabilísticas con purificación". Revisión física A. 81 (6): 062348. arXiv : 0908.1583 . Código Bib : 2010PhRvA..81f2348C. doi : 10.1103/PhysRevA.81.062348. S2CID  35205469.
21. Nuida, Koji; Kimura, general; Miyadera, Takayuki (septiembre de 2010). "Observables óptimos para la discriminación de estados de error mínimo en teorías probabilísticas generales". Revista de Física Matemática . 51 (9): 093505. arXiv : 0906.5419 . Código Bib : 2010JMP....51i3505N. doi : 10.1063/1.3479008. ISSN  0022-2488. S2CID  16911930.
22. Kuramochi, Yui (17 de febrero de 2020). "La compatibilidad de cualquier par de mediciones de 2 resultados caracteriza al Choquet simplex". Positividad . 24 (5): 1479-1486. arXiv : 1912.00563 . doi :10.1007/s11117-020-00742-0. ISSN  1385-1292. S2CID  208527451.
23. Chiribella, Giulio; D'Ariano, Giacomo Mauro; Perinotti, Paolo (30 de junio de 2010). "Teorías probabilísticas con purificación". Revisión física A. 81 (6): 062348. arXiv : 0908.1583 . Código Bib : 2010PhRvA..81f2348C. doi : 10.1103/PhysRevA.81.062348. S2CID  35205469.
24. Dakić, B.; Paterek, T.; Brukner, C. (2014). "Cubos de densidad y teorías de interferencia de orden superior". Nuevo J. Phys . 16 (2): 023028. arXiv : 1308.2822 . Código Bib : 2014NJPh...16b3028D. doi : 10.1088/1367-2630/16/2/023028 .
25. Pawłowski, M.; Invierno, A. (2012). ""Hyperbits": las cuasipartículas de información". Phys. Rev. A. 85 ( 2): 022331. arXiv : 1106.2409 . Bibcode : 2012PhRvA..85b2331P. doi : 10.1103/PhysRevA.85.022331. S2CID  119269862.
26. Barnum, Howard; Barrett, Jonathan; Leifer, Mateo; Wilce, Alejandro (13 de diciembre de 2007). "Teorema generalizado de no radiodifusión". Cartas de revisión física . 99 (24): 240501. arXiv : 0707.0620 . Código bibliográfico : 2007PhRvL..99x0501B. doi : 10.1103/PhysRevLett.99.240501. ISSN  0031-9007. PMID  18233430. S2CID  20228165.
27. Plávala, Martín (12 de octubre de 2016). "Todas las medidas en una teoría probabilística son compatibles si y sólo si el espacio de estados es simplex". Revisión física A. 94 (4): 042108. arXiv : 1608.05614 . Código Bib : 2016PhRvA..94d2108P. doi : 10.1103/PhysRevA.94.042108. ISSN  2469-9926. S2CID  119115973.