La teoría de conjuntos musicales proporciona conceptos para categorizar objetos musicales y describir sus relaciones. Howard Hanson fue el primero en elaborar muchos de los conceptos para analizar la música tonal . [2] Otros teóricos, como Allen Forte , desarrollaron aún más la teoría para analizar la música atonal , [3] basándose en la teoría de doce tonos de Milton Babbitt . Los conceptos de la teoría de conjuntos musicales son muy generales y se pueden aplicar a estilos tonales y atonales en cualquier sistema de afinación de temperamento igual y, en cierta medida, de manera más general.
Una rama de la teoría de conjuntos musicales se ocupa de las colecciones ( conjuntos y permutaciones ) de tonos y clases de tonos ( teoría de conjuntos de clases de tonos ), que pueden estar ordenados o no ordenados y pueden relacionarse mediante operaciones musicales como la transposición , la inversión melódica y la complementación . Algunos teóricos aplican también los métodos de la teoría de conjuntos musicales al análisis del ritmo .
Aunque a menudo se piensa que la teoría de conjuntos musicales implica la aplicación de la teoría de conjuntos matemática a la música, existen numerosas diferencias entre los métodos y la terminología de ambas. Por ejemplo, los músicos utilizan los términos transposición e inversión donde los matemáticos utilizarían traducción y reflexión . Además, donde la teoría de conjuntos musicales se refiere a conjuntos ordenados, las matemáticas normalmente se referirían a tuplas o secuencias (aunque las matemáticas sí hablan de conjuntos ordenados , y aunque se puede considerar que estos incluyen el tipo musical en algún sentido, son mucho más complejos).
Además, la teoría de conjuntos musicales está más estrechamente relacionada con la teoría de grupos y la combinatoria que con la teoría matemática de conjuntos, que se ocupa de cuestiones como, por ejemplo, los distintos tamaños de conjuntos infinitamente grandes. En combinatoria, un subconjunto no ordenado de n objetos, como las clases de tonos , se denomina combinación y un subconjunto ordenado, permutación . La teoría de conjuntos musicales se considera más bien como una aplicación de la combinatoria a la teoría musical que como una rama de la teoría matemática de conjuntos. Su principal conexión con la teoría matemática de conjuntos es el uso del vocabulario de la teoría de conjuntos para hablar de conjuntos finitos.
El concepto fundamental de la teoría de conjuntos musicales es el conjunto (musical), que es una colección desordenada de clases de tonos. [4] Más exactamente, un conjunto de clases de tonos es una representación numérica que consiste en números enteros distintos (es decir, sin duplicados). [5] Los elementos de un conjunto pueden manifestarse en la música como acordes simultáneos , tonos sucesivos (como en una melodía), o ambos. [ cita requerida ] Las convenciones de notación varían de un autor a otro, pero los conjuntos suelen estar encerrados entre llaves: {}, [6] o corchetes: []. [5]
Algunos teóricos utilizan corchetes angulares ⟨ ⟩ para denotar secuencias ordenadas, [7] mientras que otros distinguen conjuntos ordenados separando los números con espacios. [8] Por lo tanto, uno podría notar el conjunto desordenado de clases de tono 0, 1 y 2 (que corresponden en este caso a C, C ♯ y D) como {0,1,2}. La secuencia ordenada CC ♯ -D se notaría ⟨0,1,2⟩ o (0,1,2). Aunque C se considera cero en este ejemplo, este no es siempre el caso. Por ejemplo, una pieza (ya sea tonal o atonal) con un centro de tono claro de F podría analizarse de manera más útil con F establecido en cero (en cuyo caso {0,1,2} representaría F, F ♯ y G. (Para el uso de números para representar notas, consulte clase de tono ).
Aunque los teóricos de conjuntos suelen considerar conjuntos de clases de tonos de temperamento igual, es posible considerar conjuntos de tonos, clases de tonos de temperamento no igual, [ cita requerida ] inicios rítmicos o "clases de pulso". [9] [10]
Los conjuntos de dos elementos se denominan díadas , los conjuntos de tres elementos tricords (ocasionalmente "tríadas", aunque esto se confunde fácilmente con el significado tradicional de la palabra tríada ). Los conjuntos de cardinalidades superiores se denominan tetracords (o tétradas), pentacords (o péntadas), hexacords (o hexadas), heptacords (heptadas o, a veces, mezclando raíces latinas y griegas, "septacords" -por ejemplo, Rahn ), [11] octacords (octadas), nonacords (nonadas), decacords (decadas), undecacords y, finalmente, dodecacords .
Las operaciones básicas que se pueden realizar en un conjunto son la transposición y la inversión . Los conjuntos relacionados por transposición o inversión se dice que están relacionados transposicionalmente o relacionados inversamente, y que pertenecen a la misma clase de conjunto . Dado que la transposición y la inversión son isometrías del espacio de clase de tono, preservan la estructura interválica de un conjunto, incluso si no preservan el carácter musical (es decir, la realidad física) de los elementos del conjunto. [ cita requerida ] Esto puede considerarse el postulado central de la teoría de conjuntos musicales. En la práctica, el análisis musical de la teoría de conjuntos a menudo consiste en la identificación de relaciones transposicionales o inversionales no obvias entre los conjuntos que se encuentran en una pieza.
Algunos autores también consideran las operaciones de complementación y multiplicación . El complemento del conjunto X es el conjunto que consiste en todas las clases de altura no contenidas en X. [12] El producto de dos clases de altura es el producto de sus números de clase de altura módulo 12. Dado que la complementación y la multiplicación no son isometrías del espacio de clases de altura, no necesariamente preservan el carácter musical de los objetos que transforman. Otros autores, como Allen Forte, han enfatizado la relación Z , que se obtiene entre dos conjuntos que comparten el mismo contenido de intervalo total, o vector de intervalo , pero que no son transposicional o inversamente equivalentes. [13] Otro nombre para esta relación, utilizado por Hanson, [14] es "isomérica". [15]
Las operaciones sobre secuencias ordenadas de clases de tono también incluyen transposición e inversión, así como retrógrada y rotación . La retrógrada de una secuencia ordenada invierte el orden de sus elementos. La rotación de una secuencia ordenada es equivalente a la permutación cíclica .
La transposición y la inversión se pueden representar como operaciones aritméticas elementales. Si x es un número que representa una clase de tono, su transposición en n semitonos se escribe T n = x + n mod 12. La inversión corresponde a la reflexión alrededor de un punto fijo en el espacio de clases de tonos . Si x es una clase de tono, la inversión con número de índice n se escribe I n = n - x mod 12.
"Para que una relación en el conjunto S sea una relación de equivalencia [en álgebra ], debe satisfacer tres condiciones: debe ser reflexiva ..., simétrica ... y transitiva ...". [16] "De hecho, una noción informal de equivalencia siempre ha sido parte de la teoría y el análisis musical. La teoría de conjuntos de PC, sin embargo, se ha adherido a definiciones formales de equivalencia." [17]
Se dice que dos conjuntos relacionados por transposición pertenecen a la misma clase de conjunto transposicional (T n ). Se dice que dos conjuntos relacionados por transposición o inversión pertenecen a la misma clase de conjunto transposicional/inversional (la inversión se escribe T n I o I n ). Los conjuntos que pertenecen a la misma clase de conjunto transposicional tienen un sonido muy similar; mientras que los conjuntos que pertenecen a la misma clase de conjunto transposicional/inversional podrían incluir dos acordes del mismo tipo pero en diferentes tonalidades, que serían menos similares en sonido pero obviamente seguirían siendo una categoría limitada. Debido a esto, los teóricos de la música a menudo consideran que las clases de conjuntos son objetos básicos de interés musical.
Existen dos convenciones principales para nombrar las clases de conjuntos de temperamento igual. Una, conocida como el número de Forte , deriva de Allen Forte, cuya Estructura de la música atonal (1973), es una de las primeras obras en teoría de conjuntos musicales. Forte proporcionó a cada clase de conjunto un número de la forma c – d , donde c indica la cardinalidad del conjunto y d es el número ordinal. [18] Por lo tanto, el tricord cromático {0, 1, 2} pertenece a la clase de conjunto 3–1, lo que indica que es la primera clase de conjunto de tres notas en la lista de Forte. [19] El tricord aumentado {0, 4, 8}, recibe la etiqueta 3–12, que resulta ser el último tricord en la lista de Forte.
Las principales críticas a la nomenclatura de Forte son: (1) las etiquetas de Forte son arbitrarias y difíciles de memorizar, y en la práctica es a menudo más fácil simplemente enumerar un elemento de la clase de conjunto; (2) el sistema de Forte asume temperamento igual y no puede extenderse fácilmente para incluir conjuntos diatónicos, conjuntos de tonos (en oposición a conjuntos de clase de tono), multiconjuntos o conjuntos en otros sistemas de afinación; (3) el sistema original de Forte considera que los conjuntos relacionados inversamente pertenecen a la misma clase de conjunto. Esto significa que, por ejemplo, una tríada mayor y una tríada menor se consideran el mismo conjunto.
Durante siglos, la música tonal occidental ha considerado que las variaciones mayor y menor, así como las inversiones de acordes, son significativamente diferentes. De hecho, generan objetos físicos completamente diferentes. Ignorar la realidad física del sonido es una limitación obvia de la teoría atonal. Sin embargo, se ha defendido que la teoría no fue creada para llenar un vacío en el que las teorías existentes no explicaban adecuadamente la música tonal. Más bien, la teoría de Forte se utiliza para explicar la música atonal, donde el compositor ha inventado un sistema en el que la distinción entre {0, 4, 7} (llamada "mayor" en la teoría tonal) y su inversión {0, 3, 7} (llamada "menor" en la teoría tonal) puede no ser relevante.
El segundo sistema de notación etiqueta los conjuntos en términos de su forma normal , que depende del concepto de orden normal . Para poner un conjunto en orden normal, ordénelo como una escala ascendente en un espacio de clases de tonos que abarque menos de una octava. Luego permútalo cíclicamente hasta que su primera y última nota estén lo más cerca posible. En el caso de los empates, minimice la distancia entre la primera y la penúltima nota. (En el caso de los empates aquí, minimice la distancia entre la primera y la penúltima nota, y así sucesivamente). Por lo tanto, {0, 7, 4} en orden normal es {0, 4, 7}, mientras que {0, 2, 10} en orden normal es {10, 0, 2}. Para poner un conjunto en forma normal, comience por ponerlo en orden normal y luego transpóngalo de modo que su primera clase de tono sea 0. [20] Los matemáticos y los científicos informáticos suelen ordenar las combinaciones utilizando el orden alfabético, el orden binario (base dos) o la codificación Gray , cada uno de los cuales conduce a formas normales diferentes pero lógicas. [ cita requerida ]
Dado que los conjuntos relacionados transposicionalmente comparten la misma forma normal, se pueden utilizar formas normales para etiquetar las T n clases de conjuntos.
Para identificar la clase de conjunto T n /I n de un conjunto :
El conjunto resultante etiqueta la clase de conjunto T n /I n del conjunto inicial .
El número de operaciones distintas en un sistema que mapean un conjunto en sí mismo es el grado de simetría del conjunto . [21] El grado de simetría, "especifica el número de operaciones que preservan los conjuntos de piezas desordenados de una partición; indica hasta qué punto los conjuntos de clases de tono de esa partición se mapean en (o sobre) otros bajo transposición o inversión". [22] Cada conjunto tiene al menos una simetría, ya que se mapea sobre sí mismo bajo la operación de identidad T 0 . [23] Los conjuntos transposicionalmente simétricos se mapean sobre sí mismos para T n donde n no es igual a 0 (mod 12). Los conjuntos inversionalmente simétricos se mapean sobre sí mismos bajo T n I. Para cualquier tipo T n /T n I dado, todos los conjuntos tienen el mismo grado de simetría. El número de conjuntos distintos en un tipo es 24 (el número total de operaciones, transposición e inversión, para n = 0 a 11) dividido por el grado de simetría del tipo T n /T n I.
Los conjuntos transposicionalmente simétricos dividen la octava de manera uniforme o pueden escribirse como la unión de conjuntos de igual tamaño que, a su vez, dividen la octava de manera uniforme. Los acordes inversionalmente simétricos son invariantes ante las reflexiones en el espacio de clases de alturas. Esto significa que los acordes pueden ordenarse cíclicamente de manera que la serie de intervalos entre notas sucesivas sea la misma leída hacia adelante o hacia atrás. Por ejemplo, en el orden cíclico (0, 1, 2, 7), el intervalo entre la primera y la segunda nota es 1, el intervalo entre la segunda y la tercera nota es 1, el intervalo entre la tercera y la cuarta nota es 5, y el intervalo entre la cuarta nota y la primera nota es 5. [24]
Se obtiene la misma secuencia si se empieza con el tercer elemento de la serie y se avanza hacia atrás: el intervalo entre el tercer elemento de la serie y el segundo es 1; el intervalo entre el segundo elemento de la serie y el primero es 1; el intervalo entre el primer elemento de la serie y el cuarto es 5; y el intervalo entre el último elemento de la serie y el tercer elemento es 5. Por lo tanto, se encuentra simetría entre T 0 y T 2 I, y hay 12 conjuntos en la clase de equivalencia T n /T n I. [24]
Fuentes