Teoría de oscilaciones

En matemáticas , en el campo de las ecuaciones diferenciales ordinarias , una solución no trivial a una ecuación diferencial ordinaria.

${\displaystyle F(x,y,y',\ \dots ,\ y^{(n-1)})=y^{(n)}\quad x\in [0,+\infty )}$

Se dice que una ecuación diferencial es oscilante si tiene un número infinito de raíces ; de lo contrario, se dice que no es oscilante . La ecuación diferencial se dice que es oscilante si tiene una solución oscilante. El número de raíces también contiene información sobre el espectro de problemas de valor límite asociados .

Ejemplos

La ecuación diferencial

${\displaystyle y''+y=0}$

oscila ya que sin( x ) es una solución.

Conexión con la teoría espectral

La teoría de oscilaciones fue iniciada por Jacques Charles François Sturm en sus investigaciones sobre los problemas de Sturm-Liouville a partir de 1836. Allí demostró que la función propia n-ésima de un problema de Sturm-Liouville tiene precisamente n-1 raíces. Para la ecuación unidimensional de Schrödinger , la pregunta sobre oscilación/no oscilación responde a la pregunta de si los valores propios se acumulan en la parte inferior del espectro continuo.

Teoría de oscilación relativa

En 1996, Gesztesy - Simon - Teschl demostró que el número de raíces del determinante de Wronski de dos funciones propias de un problema de Sturm-Liouville da el número de valores propios entre los valores propios correspondientes. Posteriormente, Krüger-Teschl generalizó este concepto al caso de dos funciones propias de dos problemas de Sturm-Liouville diferentes. La investigación del número de raíces del determinante de Wronski de dos soluciones se conoce como teoría de oscilaciones relativas.

Véase también

Los resultados clásicos en la teoría de oscilaciones son:

• Teorema de Kneser (ecuaciones diferenciales)
• Teorema de comparación de Sturm-Picone
• Teorema de separación de Sturm

Referencias

• Atkinson, FV (1964). Problemas de contorno discretos y continuos . Academic Press. ISBN 978-0-08-095516-2.
• Gesztesy, F.; Simon, B.; Teschl, G. (1996). "Ceros de la teoría de oscilación wronskiana y renormalizada" (PDF) . Am. J. Math . 118 (3): 571–594. doi :10.1353/ajm.1996.0024. S2CID  14430688.
• Kreith, K. (1973). Teoría de la oscilación . Apuntes de clase de matemáticas. Vol. 324. Springer. doi :10.1007/BFb0067537. ISBN. 978-3-540-40005-9.
• Krüger, H.; Teschl, G. (2009). "Teoría de oscilación relativa, ceros ponderados del wronskiano y la función de desplazamiento espectral". Commun. Math. Phys . 287 (2): 613–640. arXiv : math/0703574 . Código Bibliográfico :2009CMaPh.287..613K. doi :10.1007/s00220-008-0600-8. S2CID  881636.
• Sturm, JCF (1836). "Mémoire Sur les Equations différentielles linéaires du second ordre". J. Matemáticas. Pures Appl . 1 : 106–186.Reimpreso en Pont, Jean-Claude, ed. (2009). Obras completas de Charles François Sturm . Springer. págs. 392–472. doi :10.1007/978-3-7643-7990-2_30.
• Swanson, CA (2016) [1968]. Comparación y teoría de oscilación de ecuaciones diferenciales lineales. Elsevier. ISBN 978-1-4832-6667-1.
• Teschl, G. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos. Providence : American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-8328-0.
• Weidmann, J. (1987). Teoría espectral de operadores diferenciales ordinarios . Apuntes de clase de matemáticas. Vol. 1258. Springer. doi :10.1007/BFb0077960. ISBN . 978-3-540-47912-3.