El muestreo de trayectorias de transición (TPS) es un método de muestreo de eventos poco frecuentes que se utiliza en simulaciones por computadora de eventos poco frecuentes: transiciones físicas o químicas de un sistema de un estado estable a otro que ocurren con demasiada poca frecuencia como para ser observadas en una escala de tiempo de computadora. Algunos ejemplos incluyen el plegamiento de proteínas , las reacciones químicas y la nucleación . Las herramientas de simulación estándar, como la dinámica molecular, pueden generar las trayectorias dinámicas de todos los átomos del sistema. Sin embargo, debido a la brecha en las escalas de tiempo accesibles entre la simulación y la realidad, incluso las supercomputadoras actuales podrían requerir años de simulaciones para mostrar un evento que ocurre una vez por milisegundo sin algún tipo de aceleración.
El método TPS se centra en la parte más interesante de la simulación, la transición . Por ejemplo, una proteína inicialmente desdoblada vibrará durante mucho tiempo en una configuración de cuerda abierta antes de experimentar una transición y plegarse sobre sí misma. El objetivo del método es reproducir con precisión esos momentos de plegamiento.
Consideremos en general un sistema con dos estados estables A y B. El sistema pasará mucho tiempo en esos estados y ocasionalmente saltará de uno a otro. Hay muchas formas en las que puede tener lugar la transición. Una vez que se asigna una probabilidad a cada una de las muchas vías, se puede construir un paseo aleatorio de Monte Carlo en el espacio de caminos de las trayectorias de transición y, de este modo, generar el conjunto de todas las vías de transición. A continuación, se puede extraer toda la información relevante del conjunto, como el mecanismo de reacción, los estados de transición y las constantes de velocidad .
Dado un camino inicial, TPS proporciona algunos algoritmos para perturbar ese camino y crear uno nuevo. Como en todos los recorridos de Monte Carlo, el nuevo camino será aceptado o rechazado para tener la probabilidad de camino correcta. El procedimiento se itera y el conjunto se muestrea gradualmente.
Un algoritmo potente y eficiente es el llamado movimiento de disparo . [1] Considere el caso de un sistema clásico de muchos cuerpos descrito por las coordenadas r y los momentos p . La dinámica molecular genera una trayectoria como un conjunto de ( r t , p t ) en tiempos discretos t en [0, T ] donde T es la longitud de la trayectoria. Para una transición de A a B, ( r 0 , p 0 ) está en A, y ( r T , p T ) está en B. Uno de los tiempos de la trayectoria se elige al azar, los momentos p se modifican ligeramente en p + δp , donde δp es una perturbación aleatoria consistente con las restricciones del sistema, por ejemplo, la conservación de la energía y el momento lineal y angular. Luego se simula una nueva trayectoria desde este punto, tanto hacia atrás como hacia adelante en el tiempo hasta que se alcanza uno de los estados. Al estar en una región de transición, esto no llevará mucho tiempo. Si la nueva ruta todavía conecta A con B, se acepta; de lo contrario, se rechaza y el procedimiento comienza nuevamente.
En el procedimiento de Bennett-Chandler, [2] [3] la constante de velocidad k AB para la transición de A a B se deriva de la función de correlación
donde h X es la función característica del estado X y h X ( t ) es 1 si el sistema en el momento t está en el estado X o 0 en caso contrario. La derivada temporal C'( t ) comienza en el momento 0 en el valor k AB TST de la teoría del estado de transición (TST) y alcanza una meseta k AB ≤ k AB TST para momentos del orden del tiempo de transición. Por lo tanto, una vez que se conoce la función hasta estos momentos, también se dispone de la constante de velocidad.
En el marco TPS, C ( t ) se puede reescribir como un promedio en el conjunto de trayectorias.
donde el subíndice AB denota un promedio en el conjunto de caminos que comienzan en A y visitan B al menos una vez. El tiempo t' es un tiempo arbitrario en la región de meseta de C ( t ). El factor C ( t ') en este tiempo específico se puede calcular con una combinación de muestreo de caminos y muestreo paraguas .
El cálculo de la constante de velocidad TPS se puede mejorar con una variación del método denominado muestreo de interfaz de transición (TIS). [4] En este método, la región de transición se divide en subregiones mediante interfaces. La primera interfaz define el estado A y la última el estado B. Las interfaces no son interfaces físicas sino hipersuperficies en el espacio de fases .
La constante de velocidad puede verse como un flujo a través de estas interfaces. La velocidad k AB es el flujo de trayectorias que comienzan antes de la primera interfaz y pasan por la última. Al ser un evento poco frecuente, el flujo es muy pequeño y prácticamente imposible de calcular con una simulación directa. Sin embargo, utilizando las otras interfaces entre los estados, se puede reescribir el flujo en términos de probabilidades de transición entre interfaces.
,
donde P A ( i + 1| i ) es la probabilidad de que las trayectorias, provenientes del estado A y que cruzan la interfaz i, alcancen la interfaz i + 1. Aquí la interfaz 0 define el estado A y la interfaz n define el estado B. El factor Φ 1,0 es el flujo a través de la interfaz más cercana a A . Al hacer que esta interfaz esté lo suficientemente cerca, la cantidad se puede calcular con una simulación estándar, ya que el evento de cruce a través de esta interfaz ya no es un evento raro.
Notablemente, en la fórmula anterior no hay ninguna suposición de Markov de probabilidades de transición independientes. Las cantidades P A ( i + 1|i) llevan un subíndice A para indicar que las probabilidades dependen todas de la historia del camino, desde que salió de A . Estas probabilidades se pueden calcular con una simulación de muestreo de camino usando el movimiento de tiro TPS. Un camino que cruza la interfaz i se perturba y se dispara un nuevo camino . Si el camino todavía comienza desde A y cruza la interfaz i , se acepta . La probabilidad P A ( i + 1| i ) se deriva de la relación entre el número de caminos que llegan a la interfaz i + 1 y el número total de caminos en el conjunto.
Las consideraciones teóricas muestran que los cálculos de TIS son al menos dos veces más rápidos que los de TPS, y los experimentos informáticos han demostrado que la constante de velocidad de TIS puede converger hasta 10 veces más rápido. Una razón para esto se debe a que TIS utiliza trayectorias de longitud ajustable y, en promedio, más cortas que TPS. Además, TPS se basa en la función de correlación C ( t ), calculada mediante la suma de términos positivos y negativos debido a los recruces. En cambio, TIS calcula la velocidad como un flujo positivo efectivo, la cantidad k AB se calcula directamente como un promedio de solo términos positivos que contribuyen a las probabilidades de transición de la interfaz.
El TPS/TIS tal como se implementa normalmente puede ser aceptable para cálculos de no equilibrio siempre que los flujos interfaciales sean independientes del tiempo ( estacionarios ). Para tratar sistemas no estacionarios en los que existe dependencia temporal en la dinámica, ya sea debido a la variación de un parámetro externo o a la evolución del sistema mismo, pueden necesitarse otros métodos de eventos raros , como el muestreo de eventos raros mediante procesos estocásticos . [5]
Para una revisión de TPS:
Para una revisión de TIS
