Teoría de Picard-Lefschetz

Estudio de la topología de una variedad compleja.

En matemáticas, la teoría de Picard-Lefschetz estudia la topología de una variedad compleja observando los puntos críticos de una función holomorfa en la variedad. Fue introducido por Émile Picard para superficies complejas en su libro Picard & Simart (1897) y extendido a dimensiones superiores por Solomon Lefschetz  (1924). Es un análogo complejo de la teoría de Morse que estudia la topología de una variedad real observando los puntos críticos de una función real. Pierre Deligne y Nicholas Katz  (1973) ampliaron la teoría de Picard-Lefschetz a variedades en campos más generales, y Deligne utilizó esta generalización en su prueba de las conjeturas de Weil .

Fórmula de Picard-Lefschetz

La fórmula de Picard-Lefschetz describe la monodromía en un punto crítico.

Supongamos que f es un mapa holomórfico desde una variedad compleja proyectiva (k+1) -dimensional hasta la línea proyectiva P ¹ . Supongamos también que todos los puntos críticos no son degenerados y se encuentran en diferentes fibras, y tienen imágenes x ₁ ,..., x _n en P ¹ . Elija cualquier otro punto x en P ¹ . El grupo fundamental π ₁ ( P ¹  – { x ₁ , ...,  x _n },  x ) se genera mediante bucles w _i que rodean los puntos x _i , y para cada punto x _i hay un ciclo de desaparición en la homología H _k ( Y _x ) de la fibra en  x . Tenga en cuenta que esta es la homología intermedia ya que la fibra tiene una dimensión compleja k , por lo tanto una dimensión real 2k . La acción monodromía de π ₁ ( P ¹  – { x ₁ , ...,  x _n },  x ) sobre H _k ( Y _x ) se describe a continuación mediante la fórmula de Picard-Lefschetz. (La acción de la monodromía sobre otros grupos de homología es trivial). La acción de monodromía de un generador w _i del grupo fundamental sobre  ∈  H _k ( Y _x ) viene dada por ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle w_{i}(\gamma )=\gamma +(-1)^{(k+1)(k+2)/2}\langle \gamma ,\delta _{i}\rangle \delta _{i}}$

donde δ _i es el ciclo de desaparición de x _i . Esta fórmula aparece implícitamente para k  = 2 (sin los coeficientes explícitos de los ciclos de desaparición δ _i ) en Picard y Simart (1897, p.95). Lefschetz (1924, capítulos II, V) dio la fórmula explícita en todas las dimensiones.

Ejemplo

Considere la familia proyectiva de curvas hiperelípticas de género definida por ${\displaystyle g}$

${\displaystyle y^{2}=(x-t)(x-a_{1})\cdots (x-a_{k})}$

donde está el parámetro y . Entonces, esta familia tiene degeneraciones de doble punto siempre . Dado que la curva es una suma conexa de tori, la forma de intersección de una curva genérica es la matriz ${\displaystyle t\in \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle k=2g+1}$ ${\displaystyle t=a_{i}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle H_{1}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}^{\oplus g}={\begin{bmatrix}0&1&0&0&\cdots &0&0\\1&0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&1&\cdots &0&0\\0&0&1&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\cdots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&\cdots &0&1\\0&0&0&0&\cdots &1&0\end{bmatrix}}}$

Podemos calcular fácilmente la fórmula de Picard-Lefschetz en torno a una degeneración en . Supongamos que son los -ciclos del -ésimo toroide. Entonces, la fórmula de Picard-Lefschetz dice ${\displaystyle \mathbb {A} _{t}^{1}}$ ${\displaystyle \gamma ,\delta }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle w_{j}(\gamma )=\gamma -\delta }$

si el -ésimo toro contiene el ciclo de desaparición. De lo contrario es el mapa de identidad. ${\displaystyle j}$

Ver también

• lápiz lefschetz

Referencias

• Deligne, Pierre ; Katz, Nicholas (1973), Groupes de monodromie en géométrie algébrique. II , Apuntes de conferencias de matemáticas, vol. 340, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0060505, ISBN 978-3-540-06433-6, SEÑOR  0354657
• Lamotke, Klaus (1981), "La topología de variedades proyectivas complejas después de S. Lefschetz", Topología , 20 (1): 15–51, doi : 10.1016/0040-9383(81)90013-6 , ISSN  0040-9383, Señor  0592569
• Lefschetz, S. (1924), L'analysis situs et la géométrie algébrique , Gauthier-Villars, MR  0033557
• Lefschetz, Solomon (1975), Aplicaciones de la topología algebraica. Gráficos y redes, la teoría de Picard-Lefschetz y las integrales de Feynman, Ciencias Matemáticas Aplicadas, vol. 16, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90137-4, SEÑOR  0494126
• Picard, É.; Simart, G. (1897), Teoría de las funciones algébriques de dos variables independientes. Tomo I (en francés), París: Gauthier-Villars et Fils.
• Vassiliev, VA (2002), Teoría aplicada de Picard-Lefschetz , Encuestas y monografías matemáticas, vol. 97, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , doi :10.1090/surv/097, ISBN 978-0-8218-2948-6, señor  1930577