Teoría de Newton-Cartan

Reformulación geométrica de la gravedad newtoniana.

La teoría de Newton-Cartan (o gravitación newtoniana geometrizada ) es una reformulación geométrica, así como una generalización, de la gravedad newtoniana introducida por primera vez por Élie Cartan ^{[1] [2]} y Kurt Friedrichs ^[3] y desarrollada más tarde por Dautcourt, ^[4] Dixon, ^[5] Dombrowski y Horneffer, Ehlers, Havas, ^[6] Künzle, ^[7] Lottermoser, Trautman [ ^8] y otros. En esta reformulación, las similitudes estructurales entre la teoría de Newton y la teoría general de la relatividad de Albert Einstein se ven fácilmente, y ha sido utilizada por Cartan y Friedrichs para dar una formulación rigurosa de la forma en que la gravedad newtoniana puede verse como un límite específico de la relatividad general, y por Jürgen Ehlers para extender esta correspondencia a soluciones específicas de la relatividad general.

Espacio-tiempos clásicos

En la teoría de Newton-Cartan, se parte de una variedad tetradimensional suave y se definen dos métricas (degeneradas). Una métrica temporal con signatura , utilizada para asignar longitudes temporales a vectores en y una métrica espacial con signatura . También se requiere que estas dos métricas satisfagan una condición de transversalidad (u "ortogonalidad"), . Por lo tanto, se define un espacio-tiempo clásico como un cuádruple ordenado , donde y son como se describe, es un operador de derivada covariante compatible con métricas; y las métricas satisfacen la condición de ortogonalidad. Se podría decir que un espacio-tiempo clásico es el análogo de un espacio-tiempo relativista , donde es una métrica lorentziana suave en la variedad . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle t_{ab}}$ ${\displaystyle (1,0,0,0)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle h^{ab}}$ ${\displaystyle (0,1,1,1)}$ ${\displaystyle h^{ab}t_{bc}=0}$ ${\displaystyle (M,t_{ab},h^{ab},\nabla )}$ ${\displaystyle t_{ab}}$ ${\displaystyle h^{ab}}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle (M,g_{ab})}$ ${\displaystyle g_{ab}}$ ${\displaystyle M}$

Formulación geométrica de la ecuación de Poisson

En la teoría de la gravitación de Newton, la ecuación de Poisson se lee

${\displaystyle \Delta U=4\pi G\rho \,}$

donde es el potencial gravitatorio, es la constante gravitatoria y es la densidad de masa. El principio de equivalencia débil motiva una versión geométrica de la ecuación de movimiento para una partícula puntual en el potencial ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle m_{t}\,{\ddot {\vec {x}}}=-m_{g}{\vec {\nabla }}U}$

donde es la masa inercial y la masa gravitacional. Dado que, según el principio de equivalencia débil , la ecuación de movimiento correspondiente ${\displaystyle m_{t}}$ ${\displaystyle m_{g}}$ ${\displaystyle m_{t}=m_{g}}$

${\displaystyle {\ddot {\vec {x}}}=-{\vec {\nabla }}U}$

ya no contiene una referencia a la masa de la partícula. Siguiendo la idea de que la solución de la ecuación es entonces una propiedad de la curvatura del espacio, se construye una conexión de modo que la ecuación geodésica

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\lambda }}{ds^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {dx^{\mu }}{ds}}{\frac {dx^{\nu }}{ds}}=0}$

representa la ecuación de movimiento de una partícula puntual en el potencial . La conexión resultante es ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }=\gamma ^{\lambda \rho }U_{,\rho }\Psi _{\mu }\Psi _{\nu }}$

con y ( ). La conexión se ha construido en un sistema inercial pero se puede demostrar que es válida en cualquier sistema inercial mostrando la invariancia de y bajo las transformaciones de Galileo. El tensor de curvatura de Riemann en las coordenadas del sistema inercial de esta conexión se da entonces por ${\displaystyle \Psi _{\mu }=\delta _{\mu }^{0}}$ ${\displaystyle \gamma ^{\mu \nu }=\delta _{A}^{\mu }\delta _{B}^{\nu }\delta ^{AB}}$ ${\displaystyle A,B=1,2,3}$ ${\displaystyle \Psi _{\mu }}$ ${\displaystyle \gamma ^{\mu \nu }}$

${\displaystyle R_{\kappa \mu \nu }^{\lambda }=2\gamma ^{\lambda \sigma }U_{,\sigma [\mu }\Psi _{\nu ]}\Psi _{\kappa }}$

donde los corchetes significan la combinación antisimétrica del tensor . El tensor de Ricci viene dado por ${\displaystyle A_{[\mu \nu ]}={\frac {1}{2!}}[A_{\mu \nu }-A_{\nu \mu }]}$ ${\displaystyle A_{\mu \nu }}$

${\displaystyle R_{\kappa \nu }=\Delta U\Psi _{\kappa }\Psi _{\nu }\,}$

lo que conduce a la siguiente formulación geométrica de la ecuación de Poisson

${\displaystyle R_{\mu \nu }=4\pi G\rho \Psi _{\mu }\Psi _{\nu }}$

Más explícitamente, si los índices romanos i y j abarcan las coordenadas espaciales 1, 2, 3, entonces la conexión está dada por

${\displaystyle \Gamma _{00}^{i}=U_{,i}}$

El tensor de curvatura de Riemann por

${\displaystyle R_{0j0}^{i}=-R_{00j}^{i}=U_{,ij}}$

y el tensor de Ricci y el escalar de Ricci por

${\displaystyle R=R_{00}=\Delta U}$

donde todos los componentes no enumerados son iguales a cero.

Obsérvese que esta formulación no requiere la introducción del concepto de métrica: la conexión por sí sola proporciona toda la información física.

Ascensor Bargmann

Se ha demostrado que la teoría de la gravitación de Newton-Cartan en cuatro dimensiones se puede reformular como una reducción de Kaluza-Klein de la gravedad de Einstein en cinco dimensiones a lo largo de una dirección similar a la nula. ^[9] Se considera que esta elevación es útil para modelos holográficos no relativistas . ^[10]

Referencias

1. Cartan, Élie (1923), "Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée (Première partie)" (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 40 : 325, doi : 10.24033/asens. 751
2. Cartan, Élie (1924), "Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (Première partie) (Suite)" (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 41 : 1, doi : 10.24033/asens.753
3. Friedrichs, KO (1927), "Eine Invariante Formulierung des Newtonschen Gravitationsgesetzes und der Grenzüberganges vom Einsteinschen zum Newtonschen Gesetz", Mathematische Annalen , 98 : 566–575, doi :10.1007/bf01451608, S2CID  121571333
4. Dautcourt, G. (1964), "Die Newtonische Gravitationstheorie als strenger Grenzfall der allgemeinen Relativitätstheorie", Acta Physica Polonica , 65 : 637–646
5. Dixon, WG (1975), "Sobre la singularidad de la teoría newtoniana como teoría geométrica de la gravitación", Communications in Mathematical Physics , 45 (2): 167–182, Bibcode :1975CMaPh..45..167D, doi :10.1007/bf01629247, S2CID  120158054
6. Havas, P. (1964), "Formulaciones cuatridimensionales de la mecánica newtoniana y su relación con la teoría especial y general de la relatividad", Reviews of Modern Physics , 36 (4): 938–965, Bibcode :1964RvMP...36..938H, doi :10.1103/revmodphys.36.938
7. Künzle, H. (1976), "Límites newtonianos covariantes de los espacios-tiempos de Lorentz", General Relativity and Gravitation , 7 (5): 445–457, Bibcode :1976GReGr...7..445K, doi :10.1007/bf00766139, S2CID  117098049
8. Trautman, A. (1965), Deser, Jürgen; Ford, KW (eds.), Fundamentos y problemas actuales de la relatividad general , vol. 98, Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall , págs. 1–248
9. Duval, C.; Burdet, G.; Künzle, HP; Perrin, M. (1985). "Estructuras de Bargmann y teoría de Newton-Cartan". Physical Review D . 31 (8): 1841–1853. Bibcode :1985PhRvD..31.1841D. doi :10.1103/PhysRevD.31.1841. PMID  9955910.
10. Goldberger, Walter D. (2009). "Dualidad AdS/CFT para teoría de campos no relativista". Journal of High Energy Physics . 2009 (3): 069. arXiv : 0806.2867 . Bibcode :2009JHEP...03..069G. doi :10.1088/1126-6708/2009/03/069. S2CID  118553009.

Bibliografía

• Cartan, Élie (1923), "Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée (Première partie)" (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 40 : 325, doi : 10.24033/asens.751
• Cartan, Élie (1924), "Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (Première partie) (Suite)" (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 41 : 1, doi : 10.24033 /asens.753
• Cartan, Élie (1955), Obras completas , vol. III/1, Gauthier-Villars, págs. 659, 799
• Renn, Jürgen; Schemmel, Matías, eds. (2007), La Génesis de la Relatividad General , vol. 4, Springer, págs. 1107-1129(Traducción al inglés del artículo n.° 40 de Ann. Sci. Éc. Norm. Supér.)
• Capítulo 1 de Ehlers, Jürgen (1973), "Estudio de la teoría de la relatividad general", en Israel, Werner (ed.), Relatividad, astrofísica y cosmología , D. Reidel, págs. 1–125, ISBN 90-277-0369-8