En química , una reacción ácido-base es una reacción química que ocurre entre un ácido y una base . Puede utilizarse para determinar el pH mediante titulación . Varios marcos teóricos proporcionan concepciones alternativas de los mecanismos de reacción y su aplicación para resolver problemas relacionados; estas se denominan teorías ácido-base, por ejemplo, la teoría ácido-base de Brønsted-Lowry .
Su importancia se hace evidente al analizar las reacciones ácido-base para especies gaseosas o líquidas, o cuando el carácter ácido o básico puede ser algo menos evidente. El primero de estos conceptos fue aportado por el químico francés Antoine Lavoisier , alrededor de 1776. [1]
Es importante pensar en los modelos de reacción ácido-base como teorías que se complementan entre sí. [2] Por ejemplo, el modelo de Lewis actual tiene la definición más amplia de lo que son un ácido y una base, siendo la teoría de Brønsted-Lowry un subconjunto de lo que son los ácidos y las bases, y la teoría de Arrhenius la más restrictiva.
El concepto de reacción ácido-base fue propuesto por primera vez en 1754 por Guillaume-François Rouelle , quien introdujo la palabra " base " en la química para referirse a una sustancia que reacciona con un ácido para darle forma sólida (como una sal). Las bases son en su mayoría de naturaleza amarga. [3]
El primer concepto científico de ácidos y bases fue proporcionado por Lavoisier alrededor de 1776. Dado que el conocimiento de Lavoisier de los ácidos fuertes se limitaba principalmente a los oxoácidos , como el HNO 3 ( ácido nítrico ) y el H 2 SO 4 ( ácido sulfúrico ), que tienden a contener átomos centrales en estados de oxidación altos rodeados de oxígeno, y dado que no era consciente de la verdadera composición de los ácidos hidrohálicos ( HF , HCl , HBr y HI ), definió los ácidos en términos de su contenido de oxígeno , que de hecho nombró a partir de palabras griegas que significan "formador de ácido" (del griego ὀξύς (oxys) 'ácido, agudo' y γεινομαι (geinomai) 'engendrar'). La definición de Lavoisier se mantuvo durante más de 30 años, hasta el artículo de 1810 y las conferencias posteriores de Sir Humphry Davy en las que demostró la falta de oxígeno en el sulfuro de hidrógeno ( H 2 S ), el telururo de hidrógeno ( H 2 Te ) y los ácidos hidrohálicos . Sin embargo, Davy no logró desarrollar una nueva teoría y concluyó que "la acidez no depende de ninguna sustancia elemental en particular, sino de la disposición peculiar de varias sustancias". [4] Una modificación notable de la teoría del oxígeno fue proporcionada por Jöns Jacob Berzelius , quien afirmó que los ácidos son óxidos de no metales mientras que las bases son óxidos de metales.
En 1838, Justus von Liebig propuso que un ácido es un compuesto que contiene hidrógeno cuyo hidrógeno puede ser reemplazado por un metal. [5] [6] [7] Esta redefinición se basó en su extenso trabajo sobre la composición química de los ácidos orgánicos , terminando el cambio doctrinal de los ácidos basados en oxígeno a los ácidos basados en hidrógeno iniciado por Davy. La definición de Liebig, aunque completamente empírica, permaneció en uso durante casi 50 años hasta la adopción de la definición de Arrhenius. [8]
La primera definición moderna de ácidos y bases en términos moleculares fue ideada por Svante Arrhenius . [9] [10] Una teoría del hidrógeno de los ácidos, surgió de su trabajo de 1884 con Friedrich Wilhelm Ostwald al establecer la presencia de iones en solución acuosa y condujo a que Arrhenius recibiera el Premio Nobel de Química en 1903.
Según la definición de Arrhenius:
Esto provoca la protonación del agua, o la creación del ion hidronio ( H 3 O + ). [nota 1] Por lo tanto, en los tiempos modernos, el símbolo H + se interpreta como una abreviatura de H 3 O + , porque ahora se sabe que un protón desnudo no existe como especie libre en solución acuosa. [14] Esta es la especie que se mide mediante indicadores de pH para medir la acidez o basicidad de una solución.
Las definiciones de acidez y alcalinidad de Arrhenius se limitan a las soluciones acuosas y no son válidas para la mayoría de las soluciones no acuosas, y se refieren a la concentración de iones del disolvente. Según esta definición, el H2SO4 puro y el HCl disueltos en tolueno no son ácidos, y el NaOH fundido y las soluciones de amida de calcio en amoníaco líquido no son alcalinas. Esto condujo al desarrollo de la teoría de Brønsted-Lowry y la posterior teoría de Lewis para dar cuenta de estas excepciones no acuosas . [15]
La reacción de un ácido con una base se denomina reacción de neutralización . Los productos de esta reacción son una sal y agua.
En esta representación tradicional, una reacción de neutralización ácido-base se formula como una reacción de doble sustitución . Por ejemplo, la reacción de ácido clorhídrico (HCl) con soluciones de hidróxido de sodio (NaOH) produce una solución de cloruro de sodio (NaCl) y algunas moléculas de agua adicionales.
El modificador ( aq ) en esta ecuación fue implícito por Arrhenius, en lugar de incluirse explícitamente. Indica que las sustancias están disueltas en agua. Aunque las tres sustancias, HCl, NaOH y NaCl son capaces de existir como compuestos puros, en soluciones acuosas están completamente disociadas en los iones acuosos H + , Cl − , Na + y OH − .
El polvo de hornear se utiliza para hacer que la masa de panes y pasteles "suba" creando millones de pequeñas burbujas de dióxido de carbono . El polvo de hornear no debe confundirse con el bicarbonato de sodio , que es bicarbonato de sodio ( NaHCO3 ). El polvo de hornear es una mezcla de bicarbonato de sodio y sales ácidas. Las burbujas se crean porque, cuando el polvo de hornear se combina con agua, el bicarbonato de sodio y las sales ácidas reaccionan para producir dióxido de carbono gaseoso .
Ya sea que se preparen comercialmente o en el hogar, los principios detrás de las formulaciones de los polvos para hornear siguen siendo los mismos. La reacción ácido-base se puede representar de manera genérica como se muestra: [16]
Las reacciones reales son más complicadas porque los ácidos son complicados. Por ejemplo, a partir de bicarbonato de sodio y fosfato monocálcico ( Ca(H 2 PO 4 ) 2 ), la reacción produce dióxido de carbono según la siguiente estequiometría : [17]
Una formulación típica (por peso) podría requerir un 30% de bicarbonato de sodio, un 5-12% de fosfato monocálcico y un 21-26% de sulfato de aluminio y sodio . Alternativamente, un polvo de hornear comercial podría utilizar pirofosfato ácido de sodio como uno de los dos componentes ácidos en lugar de sulfato de aluminio y sodio. Otro ácido típico en dichas formulaciones es el crémor tártaro ( KC 4 H 5 O 6 ), un derivado del ácido tartárico . [17]
La definición de Brønsted-Lowry, formulada en 1923, independientemente por Johannes Nicolaus Brønsted en Dinamarca y Martin Lowry en Inglaterra, [18] [19] se basa en la idea de la protonación de bases a través de la desprotonación de ácidos, es decir, la capacidad de los ácidos de "donar" iones de hidrógeno ( H + ) -también conocidos como protones- a bases, que los "aceptan". [20] [nota 2]
Una reacción ácido-base es, por tanto, la eliminación de un ion hidrógeno del ácido y su adición a la base. [21] La eliminación de un ion hidrógeno de un ácido produce su base conjugada , que es el ácido con un ion hidrógeno eliminado. La recepción de un protón por una base produce su ácido conjugado , que es la base con un ion hidrógeno añadido.
A diferencia de las definiciones anteriores, la definición de Brønsted-Lowry no se refiere a la formación de sal y disolvente, sino a la formación de ácidos conjugados y bases conjugadas , producidas por la transferencia de un protón del ácido a la base. [11] [20] En este enfoque, los ácidos y las bases son fundamentalmente diferentes en comportamiento de las sales, que se consideran electrolitos, sujetos a las teorías de Debye , Onsager y otros. Un ácido y una base reaccionan no para producir una sal y un disolvente, sino para formar un nuevo ácido y una nueva base. Por tanto, el concepto de neutralización está ausente. [4] El comportamiento ácido-base de Brønsted-Lowry es formalmente independiente de cualquier disolvente, lo que lo hace más abarcador que el modelo de Arrhenius. El cálculo del pH bajo el modelo de Arrhenius dependía de que los álcalis (bases) se disolvieran en agua ( solución acuosa ). El modelo de Brønsted-Lowry amplió lo que se podía probar en términos de pH utilizando soluciones insolubles y solubles (gas, líquido, sólido).
La fórmula general para las reacciones ácido-base según la definición de Brønsted-Lowry es: donde HA representa el ácido, B representa la base, BH + representa el ácido conjugado de B y A − representa la base conjugada de HA.
Por ejemplo, un modelo de Brønsted-Lowry para la disociación del ácido clorhídrico (HCl) en solución acuosa sería el siguiente:
La eliminación de H + del HCl produce el ion cloruro , Cl− , la base conjugada del ácido. La adición de H+ al H2O ( que actúa como base ) forma el ion hidronio , H3O + , el ácido conjugado de la base.
El agua es anfótera , es decir, puede actuar como ácido y como base. El modelo de Brønsted-Lowry lo explica, mostrando la disociación del agua en bajas concentraciones de iones hidronio e hidróxido :
Esta ecuación se demuestra en la imagen siguiente:
Aquí, una molécula de agua actúa como un ácido, donando un H + y formando la base conjugada, OH − , y una segunda molécula de agua actúa como base, aceptando el ion H + y formando el ácido conjugado, H 3 O + .
Como ejemplo del agua actuando como ácido, considere una solución acuosa de piridina , C 5 H 5 N .
En este ejemplo, una molécula de agua se divide en un ion hidrógeno, que se dona a una molécula de piridina, y un ion hidróxido.
En el modelo de Brønsted–Lowry, el disolvente no tiene por qué ser necesariamente agua, como lo exige el modelo ácido-base de Arrhenius. Por ejemplo, considere lo que sucede cuando el ácido acético , CH 3 COOH , se disuelve en amoníaco líquido .
Se elimina un ion H + del ácido acético, formando su base conjugada, el ion acetato , CH 3 COO − . La adición de un ion H + a una molécula de amoniaco del disolvente crea su ácido conjugado, el ion amonio, NH+4.
El modelo de Brønsted-Lowry denomina ácidos a las sustancias que contienen hidrógeno (como el HCl ). Por tanto, algunas sustancias que muchos químicos consideraban ácidos, como el SO3 o el BCl3 , quedan excluidas de esta clasificación debido a la falta de hidrógeno. Gilbert N. Lewis escribió en 1938: "Restringir el grupo de ácidos a aquellas sustancias que contienen hidrógeno interfiere tan gravemente con la comprensión sistemática de la química como lo haría la restricción del término agente oxidante a las sustancias que contienen oxígeno ". [4] Además, KOH y KNH2 no se consideran bases de Brønsted, sino sales que contienen las bases OH2 y NH3 .−
2.
El requisito de hidrógeno de Arrhenius y Brønsted-Lowry fue eliminado por la definición de Lewis de reacciones ácido-base, ideada por Gilbert N. Lewis en 1923, [22] en el mismo año que Brønsted-Lowry, pero no fue elaborada por él hasta 1938. [4] En lugar de definir las reacciones ácido-base en términos de protones u otras sustancias enlazadas, la definición de Lewis define una base (conocida como una base de Lewis ) como un compuesto que puede donar un par de electrones , y un ácido (un ácido de Lewis ) como un compuesto que puede recibir este par de electrones. [23]
Por ejemplo, el trifluoruro de boro , BF 3 es un ácido de Lewis típico. Puede aceptar un par de electrones ya que tiene una vacante en su octeto . El ion fluoruro tiene un octeto lleno y puede donar un par de electrones. Por lo tanto, es una reacción típica de ácido de Lewis, base de Lewis. Todos los compuestos de elementos del grupo 13 con una fórmula AX 3 pueden comportarse como ácidos de Lewis. De manera similar, los compuestos de elementos del grupo 15 con una fórmula DY 3 , como las aminas , NR 3 , y las fosfinas , PR 3 , pueden comportarse como bases de Lewis. Los aductos entre ellos tienen la fórmula X 3 A←DY 3 con un enlace covalente dativo , mostrado simbólicamente como ←, entre los átomos A (aceptor) y D (donador). Los compuestos del grupo 16 con una fórmula DX 2 también pueden actuar como bases de Lewis; De esta manera, un compuesto como un éter , R 2 O , o un tioéter , R 2 S , puede actuar como una base de Lewis. La definición de Lewis no se limita a estos ejemplos. Por ejemplo, el monóxido de carbono actúa como una base de Lewis cuando forma un aducto con trifluoruro de boro, de fórmula F 3 B←CO .
Los aductos que involucran iones metálicos se denominan compuestos de coordinación; cada ligando dona un par de electrones al ion metálico. [23] La reacción puede verse como una reacción ácido-base en la que una base más fuerte (amoníaco) reemplaza a una más débil (agua).
Las definiciones de Lewis y Brønsted-Lowry son consistentes entre sí ya que la reacción es una reacción ácido-base en ambas teorías.
Una de las limitaciones de la definición de Arrhenius es su dependencia de las soluciones acuosas. Edward Curtis Franklin estudió las reacciones ácido-base en amoníaco líquido en 1905 y señaló las similitudes con la teoría de Arrhenius basada en agua. Albert FO Germann , trabajando con fosgeno líquido , COCl
2, formuló la teoría basada en solventes en 1925, generalizando así la definición de Arrhenius para cubrir los solventes apróticos. [24]
Germann señaló que en muchas soluciones hay iones en equilibrio con las moléculas del disolvente neutro:
Por ejemplo, el agua y el amoníaco experimentan dicha disociación en hidronio e hidróxido , y amonio y amida , respectivamente:
Algunos sistemas apróticos también experimentan dicha disociación, como el tetróxido de dinitrógeno en nitrosonio y nitrato , [nota 3] el tricloruro de antimonio en dicloroantimonio y tetracloroantimoniato, y el fosgeno en clorocarboxonio y cloruro :
Un soluto que provoca un aumento en la concentración de iones solvonio y una disminución en la concentración de iones solvato se define como un ácido . Un soluto que provoca un aumento en la concentración de iones solvato y una disminución en la concentración de iones solvonio se define como una base .
Así, en el amoniaco líquido, KNH 2 (que aporta NH−2) es una base fuerte y NH 4 NO 3 (que aporta NH+4) es un ácido fuerte. En dióxido de azufre líquido ( SO 2 ), los compuestos de tionilo (que aportan SO 2+ ) se comportan como ácidos y los sulfitos (que aportan SO2−3) se comportan como bases.
Las reacciones ácido-base no acuosas en el amoníaco líquido son similares a las reacciones en el agua:
El ácido nítrico puede ser una base en ácido sulfúrico líquido: La singularidad de esta definición se muestra al describir las reacciones en disolventes apróticos; por ejemplo, en N 2 O 4 líquido :
Como la definición del sistema de disolventes depende tanto del soluto como del disolvente en sí, un soluto en particular puede ser un ácido o una base según la elección del disolvente: el HClO 4 es un ácido fuerte en el agua, un ácido débil en el ácido acético y una base débil en el ácido fluorosulfónico; esta característica de la teoría se ha considerado a la vez una fortaleza y una debilidad, porque se ha visto que algunas sustancias (como el SO 3 y el NH 3 ) son ácidas o básicas por sí mismas. Por otro lado, la teoría del sistema de disolventes ha sido criticada por ser demasiado general para ser útil. Además, se ha pensado que hay algo intrínsecamente ácido en los compuestos de hidrógeno, una propiedad que no comparten las sales de solvonio no hidrogénicas. [4]
Esta teoría ácido-base fue un resurgimiento de la teoría del oxígeno de los ácidos y bases propuesta por el químico alemán Hermann Lux [27] [28] en 1939, mejorada por Håkon Flood c. 1947 [29] y todavía se utiliza en la geoquímica moderna y la electroquímica de sales fundidas . Esta definición describe un ácido como un aceptor de iones de óxido ( O 2− ) y una base como un donante de iones de óxido. Por ejemplo: [30]
Esta teoría también es útil en la sistematización de las reacciones de los compuestos de gases nobles , especialmente los óxidos de xenón, fluoruros y oxofluoruros. [31]
Mikhail Usanovich desarrolló una teoría general que no restringe la acidez a los compuestos que contienen hidrógeno, pero su enfoque, publicado en 1938, era incluso más general que la teoría de Lewis. [4] La teoría de Usanovich puede resumirse definiendo un ácido como cualquier cosa que acepte especies negativas o done especies positivas, y una base como lo inverso. Esto definió el concepto de redox (oxidación-reducción) como un caso especial de reacciones ácido-base.
Algunos ejemplos de reacciones ácido-base de Usanovich incluyen:
En 1963, Ralph Pearson propuso un concepto cualitativo conocido como el principio de ácidos y bases duros y blandos . [32] Más tarde se hizo cuantitativo con la ayuda de Robert Parr en 1984. [33] [34] "Duro" se aplica a especies que son pequeñas, tienen estados de carga altos y son débilmente polarizables. "Suave" se aplica a especies que son grandes, tienen estados de carga bajos y son fuertemente polarizables. Los ácidos y las bases interactúan, y las interacciones más estables son duro-duro y blando-blando. Esta teoría ha encontrado uso en química orgánica e inorgánica.
El modelo ECW creado por Russell S. Drago es un modelo cuantitativo que describe y predice la fuerza de las interacciones ácido-base de Lewis, −Δ H . El modelo asignó los parámetros E y C a muchos ácidos y bases de Lewis. Cada ácido se caracteriza por un E A y un C A . Cada base se caracteriza asimismo por su propio E B y C B . Los parámetros E y C se refieren, respectivamente, a las contribuciones electrostáticas y covalentes a la fuerza de los enlaces que formarán el ácido y la base. La ecuación es
El término W representa una contribución de energía constante para la reacción ácido-base, como la escisión de un ácido o una base diméricos. La ecuación predice la inversión de las fuerzas de los ácidos y las bases. Las representaciones gráficas de la ecuación muestran que no existe un orden único de fuerzas de bases de Lewis o de ácidos de Lewis. [35]
La reacción de un ácido fuerte con una base fuerte es esencialmente una reacción cuantitativa. Por ejemplo,
En esta reacción, tanto los iones de sodio como los de cloruro son espectadores, ya que la reacción de neutralización no los involucra. Con bases débiles, la adición de ácido no es cuantitativa porque una solución de una base débil es una solución tampón . Una solución de un ácido débil también es una solución tampón. Cuando un ácido débil reacciona con una base débil, se produce una mezcla en equilibrio. Por ejemplo, la adenina , escrita como AH, puede reaccionar con un ion de fosfato de hidrógeno, HPO2−4.
La constante de equilibrio para esta reacción se puede derivar de las constantes de disociación ácida de la adenina y del ion fosfato de dihidrógeno.
La notación [X] significa "concentración de X". Cuando se combinan estas dos ecuaciones eliminando la concentración de iones hidrógeno, se obtiene una expresión para la constante de equilibrio, K.
Una reacción ácido-álcali es un caso especial de reacción ácido-base, en la que la base utilizada también es un álcali . Cuando un ácido reacciona con una sal alcalina (un hidróxido metálico), el producto es una sal metálica y agua. Las reacciones ácido-álcali también son reacciones de neutralización .
En general, las reacciones ácido-álcali se pueden simplificar a
omitiendo los iones espectadores .
Los ácidos son, en general , sustancias puras que contienen cationes hidrógeno ( H + ) o hacen que se produzcan en soluciones. El ácido clorhídrico ( HCl ) y el ácido sulfúrico ( H2SO4 ) son ejemplos comunes. En el agua, estos se descomponen en iones:
El álcali se descompone en agua, produciendo iones hidróxido disueltos:
![{\displaystyle {\ce {C5H5N + H2O <=> [C5H5NH]+ + OH-}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51c558ba4024498fa2ac090294a9166d0d031da5)
![{\displaystyle {\ce {[Ag(H2O)4]+ + 2 NH3 -> [Ag(NH3)2]+ + 4 H2O}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab838ea7ca092f0ed7ebbb492686dc803792d54d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\ce {2 H2O}}&{\ce {\, <=> H3O+ + OH-}}\\[4pt]{\ce {2 NH3}}&{\ce {\, <=> NH4+ + NH2-}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4264aceade575d64125a0462b1e2db1de6e9397a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\ce {N2O4}}&{\ce {\, <=> NO+ + NO3-}}\\[4pt]{\ce {2 SbCl3}}&{\ce {\, <=> SbCl2+ + SbCl4-}}\\[4pt]{\ce {COCl2}}&{\ce {\, <=> COCl+ + Cl-}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbcbbcedea481264959a17cd4e62bd4581943e0c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\underset {\text{base}}{{\ce {2 NaNH2}}}}+{\underset {{\text{anfifílico}} \encima {\text{amida}}}{{\ce {Zn(NH2)2}}}}&\longrightarrow {\ce {Na2[Zn(NH2)4]}}\\[4pt]{\underset {\text{ácido}}{{\ce {2 NH4I}}}}\ +\ {\ce {Zn(NH2)2}}&\longrightarrow {\ce {[Zn(NH3)4]I2}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/566b6409699bbe094046ba0d1a19cd4d1ae8aed4)
![{\displaystyle {\begin{array}{ccccl}_{\text{(base)}}&&_{\text{(ácido)}}\\[4pt]{\ce {MgO}}&+&{\ce {CO2}}&\longrightarrow &{\ce {MgCO3}}\\[4pt]{\ce {CaO}}&+&{\ce {SiO2}}&\longrightarrow &{\ce {CaSiO3}}\\[4pt]{\ce {NO3-}}&+&{\ce {S2O7^2-}}\!\!&\longrightarrow &{\ce {NO2+ + 2 SO4^2-}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea15558b1c2e044b77df454d8cbf9aaaa4311e81)
![{\displaystyle {\begin{array}{ccccll}_{\text{(base)}}&&_{\text{(ácido)}}\\[4pt]{\ce {Na2O}}&+&{\ce {SO3}}&\longrightarrow &{\ce {2Na+{}+\ SO4^{2}-}}&{\text{(especie intercambiada: }}{\ce {O^{2}-}}{\text{anión)}}\\[4pt]{\ce {3(NH4)2S}}&+&{\ce {Sb2S5}}&\longrightarrow &{\ce {6NH4+{}+\ 2SbS4^{3}-}}&{\text{(especie intercambiada: }}{\ce {3S^{2}-}}{\text{aniones)}}\\[4pt]{\ce {2Na}}&+&{\ce {Cl2}}&\longrightarrow &{\ce {2Na+{}+\ 2Cl-}}&{\text{(especie intercambiada: 2 electrones)}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3606147e890a19772c493ab5a946da7b90555599)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\ce {A-}}\right]\!\left[{\ce {H+}}\right]&=K_{a1}{\bigl [}{\ce {AH}}{\bigr ]}\\[4pt]\left[{\ce {HPO4^2-}}\right]\!\left[{\ce {H+}}\right]&=K_{a2}\left[{\ce {H2PO4-}}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b4bd713d82d4b0058d56ae9166383f24aa74a97)
![{\displaystyle \left[{\ce {A-}}\right]\!\left[{\ce {H2PO4-}}\right]=K{\bigl [}{\ce {AH}}{\bigr ]}\!\left[{\ce {HPO4^2-}}\right];\quad K={\frac {K_{a1}}{K_{a2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0c498e9be275bfbf1309eeb04663c8e7a567c14)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\ce {HCl}}&\longrightarrow {\ce {H_{(aq)}+ {}+ Cl_{(aq)}-}}\\[4pt]{\ce {H2SO4}}&\longrightarrow {\ce {H_{(aq)}+ {}+ HSO4_{\,(aq)}-}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfbdb6749d03edb4c3545e037931de683e668e80)
