En matemáticas , específicamente en combinatoria , un par Wilf–Zeilberger , o par WZ , es un par de funciones que se pueden usar para certificar ciertas identidades combinatorias . Los pares WZ reciben su nombre de Herbert S. Wilf y Doron Zeilberger , y son fundamentales para la evaluación de muchas sumas que involucran coeficientes binomiales , factoriales y, en general, cualquier serie hipergeométrica . La contraparte WZ de una función se puede usar para encontrar una suma equivalente y mucho más simple. Aunque encontrar pares WZ a mano es poco práctico en la mayoría de los casos, el algoritmo de Gosper proporciona un método para encontrar la contraparte WZ de una función, y se puede implementar en un programa de manipulación simbólica .
Definición
Dos funciones F y G forman un par WZ si y solo si se cumplen las dos condiciones siguientes:
En conjunto, estas condiciones garantizan que
porque la función G telescópica :
Por lo tanto,
eso es
La constante no depende de n . Su valor se puede encontrar sustituyendo n = n 0 por un n 0
particular .
Si F y G forman un par WZ, entonces satisfacen la relación
donde es una función racional de n y k y se llama certificado de prueba WZ .
Ejemplo
Se puede utilizar un par Wilf-Zeilberger para verificar la identidad
Divida la identidad por su lado derecho:
Utilice el certificado de prueba
para verificar que el lado izquierdo no depende de n , donde
Ahora F y G forman un par Wilf-Zeilberger.
Para demostrar que la constante en el lado derecho de la identidad es 1, sustituya n = 0, por ejemplo.
Referencias
Véase también
Enlaces externos
- El algoritmo de Gosper proporciona un método para generar pares WZ cuando existen.
- Generatingfunctionology proporciona detalles sobre el método WZ de certificación de identidad.