Tensor de estrés-energía

Tensor describing energy momentum density in spacetime

Componentes contravariantes del tensor tensión-energía.

El tensor de tensión-energía , a veces llamado tensor de tensión-energía-momento o tensor de energía-momento , es una cantidad física tensorial que describe la densidad y el flujo de energía y momento en el espacio-tiempo , generalizando el tensor de tensión de la física newtoniana . Es un atributo de la materia , la radiación y los campos de fuerza no gravitacionales . Esta densidad y flujo de energía y momento son las fuentes del campo gravitacional en las ecuaciones de campo de Einstein de la relatividad general , así como la densidad de masa es la fuente de dicho campo en la gravedad newtoniana .

Definición

El tensor de tensión-energía implica el uso de variables en superíndice ( no exponentes; véase notación de índice de tensor y notación de suma de Einstein ). Si se utilizan coordenadas cartesianas en unidades del SI , entonces los componentes del cuatrivector de posición x se dan por: ( x ⁰ , x ¹ , x ² , x ³ ) = ( t , x , y , z ) , donde t es el tiempo en segundos, y x , y y z son distancias en metros .

El tensor de tensión-energía se define como el tensor T ^αβ de orden dos que da el flujo del componente α -ésimo del vector de momento a través de una superficie con coordenada x ^β constante . En la teoría de la relatividad , este vector de momento se toma como el cuatro-momento . En la relatividad general, el tensor de tensión-energía es simétrico, ^[1]

${\displaystyle T^{\alpha \beta }=T^{\beta \alpha }.}$

En algunas teorías alternativas, como la teoría de Einstein-Cartan , el tensor de tensión-energía puede no ser perfectamente simétrico debido a un tensor de espín distinto de cero , que geométricamente corresponde a un tensor de torsión distinto de cero .

Componentes

Dado que el tensor de tensión-energía es de orden 2, sus componentes se pueden mostrar en forma de matriz de 4 × 4:

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}T^{00}&T^{01}&T^{02}&T^{03}\\T^{10}&T^{11}&T^{12}&T^{13}\\T^{20}&T^{21}&T^{22}&T^{23}\\T^{30}&T^{31}&T^{32}&T^{33}\end{pmatrix}}\,,}$

donde los índices μ y ν toman los valores 0, 1, 2, 3.

A continuación, k y ℓ varían de 1 a 3:

1. El componente tiempo-tiempo es la densidad de masa relativista, es decir, la densidad de energía dividida por la velocidad de la luz al cuadrado, mientras se está en el marco de referencia en movimiento conjunto . ^[2] Tiene una interpretación física directa. En el caso de un fluido perfecto, este componente es

   ${\displaystyle T^{00}=\rho ~,}$

   donde es la masa relativista por unidad de volumen, y para un campo electromagnético en un espacio vacío, este componente es ${\displaystyle \rho }$

   ${\displaystyle T^{00}={1 \over c^{2}}\left({\frac {1}{2}}\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right),}$

   donde E y B son los campos eléctrico y magnético, respectivamente. ^[3]
2. El flujo de masa relativista a través de la superficie x ^k es equivalente al componente k de la densidad del momento lineal ,

   ${\displaystyle T^{0k}=T^{k0}~.}$

3. Los componentes
   ${\displaystyle T^{k\ell }}$
   representan el flujo del componente k del momento lineal a través de la superficie x ^ℓ . En particular,

   ${\displaystyle T^{kk}}$

   (no se suma) representa la tensión normal en la dirección de la coordenada k ( k = 1, 2, 3 ), que se llama " presión " cuando es la misma en todas las direcciones, k . Los componentes restantes

   ${\displaystyle T^{k\ell }\quad k\neq \ell }$

   representar el esfuerzo cortante (comparar con el tensor de esfuerzo ).

En física del estado sólido y mecánica de fluidos , el tensor de tensión se define como los componentes espaciales del tensor de tensión-energía en el marco de referencia adecuado . En otras palabras, el tensor de tensión-energía en ingeniería se diferencia del tensor de tensión-energía relativista por un término de convección de momento.

Formas covariantes y mixtas

La mayor parte de este artículo trabaja con la forma contravariante, T ^μν del tensor de tensión-energía. Sin embargo, a menudo es necesario trabajar con la forma covariante,

${\displaystyle T_{\mu \nu }=T^{\alpha \beta }g_{\alpha \mu }g_{\beta \nu },}$

o la forma mixta,

${\displaystyle T^{\mu }{}_{\nu }=T^{\mu \alpha }g_{\alpha \nu },}$

o como una densidad tensorial mixta

${\displaystyle {\mathfrak {T}}^{\mu }{}_{\nu }=T^{\mu }{}_{\nu }{\sqrt {-g}}\,.}$

Este artículo utiliza la convención de signos espaciales (−+++) para la firma métrica.

Derecho de conservación

En relatividad especial

El tensor de tensión-energía es la corriente de Noether conservada asociada con las traslaciones del espacio-tiempo .

La divergencia de la tensión no gravitacional y la energía es cero. En otras palabras, la energía no gravitacional y el momento se conservan.

${\displaystyle 0=T^{\mu \nu }{}_{;\nu }=\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }{}.\!}$

Cuando la gravedad es despreciable y se utiliza un sistema de coordenadas cartesianas para el espacio-tiempo, esto puede expresarse en términos de derivadas parciales como

${\displaystyle 0=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }=\partial _{\nu }T^{\mu \nu }.\!}$

La forma integral de la formulación no covariante es

${\displaystyle 0=\int _{\partial N}T^{\mu \nu }\mathrm {d} ^{3}s_{\nu }\!}$

donde N es cualquier región compacta de cuatro dimensiones del espacio-tiempo; es su límite, una hipersuperficie tridimensional; y es un elemento del límite considerado como la normal que apunta hacia afuera. ${\displaystyle \partial N}$ ${\displaystyle \mathrm {d} ^{3}s_{\nu }}$

En el espacio-tiempo plano y utilizando coordenadas cartesianas, si se combina esto con la simetría del tensor tensión-energía, se puede demostrar que el momento angular también se conserva:

${\displaystyle 0=(x^{\alpha }T^{\mu \nu }-x^{\mu }T^{\alpha \nu })_{,\nu }.\!}$

En relatividad general

Cuando la gravedad no es despreciable o cuando se utilizan sistemas de coordenadas arbitrarios, la divergencia de la tensión-energía se desvanece. Pero en este caso, se utiliza una definición de la divergencia sin coordenadas que incorpora la derivada covariante.

${\displaystyle 0=\operatorname {div} T=T^{\mu \nu }{}_{;\nu }=\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }}$

¿Dónde está el símbolo de Christoffel que es el campo de fuerza gravitacional ? ${\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }}$

En consecuencia, si cualquier campo vectorial de Killing es , entonces la ley de conservación asociada con la simetría generada por el campo vectorial de Killing puede expresarse como ${\displaystyle \xi ^{\mu }}$

${\displaystyle 0=\nabla _{\nu }\left(\xi ^{\mu }T_{\mu }^{\nu }\right)={\frac {1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\nu }\left({\sqrt {-g}}\ \xi ^{\mu }T_{\mu }^{\nu }\right)}$

La forma integral de esto es

${\displaystyle 0=\int _{\partial N}{\sqrt {-g}}\ \xi ^{\mu }T_{\mu }^{\nu }\ \mathrm {d} ^{3}s_{\nu }=\int _{\partial N}\xi ^{\mu }{\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }\ \mathrm {d} ^{3}s_{\nu }}$

En relatividad especial

En relatividad especial , el tensor de tensión-energía contiene información sobre las densidades de energía y momento de un sistema dado, además de las densidades de flujo de energía y momento. ^[4]

Dada una densidad lagrangiana que es función de un conjunto de campos y sus derivadas, pero explícitamente no de ninguna de las coordenadas del espacio-tiempo, podemos construir el tensor de tensión-energía canónico observando la derivada total con respecto a una de las coordenadas generalizadas del sistema. Por lo tanto, con nuestra condición ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \phi _{\alpha }}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x^{\nu }}}=0}$

Usando la regla de la cadena, tenemos entonces

${\displaystyle {\frac {d{\mathcal {L}}}{dx^{\nu }}}=d_{\nu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}{\frac {\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}{\partial x^{\nu }}}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{\alpha }}}{\frac {\partial \phi _{\alpha }}{\partial x^{\nu }}}}$

Escrito en taquigrafía útil,

${\displaystyle d_{\nu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\nu }\partial _{\mu }\phi _{\alpha }+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{\alpha }}}\partial _{\nu }\phi _{\alpha }}$

Luego podemos utilizar la ecuación de Euler-Lagrange:

${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{\alpha }}}}$

Y luego usamos el hecho de que las derivadas parciales conmutan de modo que ahora tenemos

${\displaystyle d_{\nu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi _{\alpha }+\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\right)\partial _{\nu }\phi _{\alpha }}$

Podemos reconocer el lado derecho como una regla del producto. Escribiéndola como la derivada de un producto de funciones nos dice que

${\displaystyle d_{\nu }{\mathcal {L}}=\partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\nu }\phi _{\alpha }\right]}$

Ahora, en el espacio plano, se puede escribir . Al hacer esto y moverlo al otro lado de la ecuación, obtenemos que ${\displaystyle d_{\nu }{\mathcal {L}}=\partial _{\mu }[\delta _{\nu }^{\mu }{\mathcal {L}}]}$

${\displaystyle \partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\nu }\phi _{\alpha }\right]-\partial _{\mu }\left(\delta _{\nu }^{\mu }{\mathcal {L}}\right)=0}$

Y al reagrupar los términos,

${\displaystyle \partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\nu }\phi _{\alpha }-\delta _{\nu }^{\mu }{\mathcal {L}}\right]=0}$

Es decir que la divergencia del tensor entre paréntesis es 0. En efecto, con esto definimos el tensor de tensión-energía:

${\displaystyle T_{\nu }^{\mu }\equiv {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\nu }\phi _{\alpha }-\delta _{\nu }^{\mu }{\mathcal {L}}}$

Por construcción tiene la propiedad de que

${\displaystyle \partial _{\mu }T_{\nu }^{\mu }=0}$

Nótese que esta propiedad sin divergencia de este tensor es equivalente a cuatro ecuaciones de continuidad . Es decir, los campos tienen al menos cuatro conjuntos de cantidades que obedecen a la ecuación de continuidad. A modo de ejemplo, se puede ver que es la densidad de energía del sistema y que, por lo tanto, es posible obtener la densidad hamiltoniana a partir del tensor de tensión-energía. ${\displaystyle T_{0}^{0}}$

De hecho, dado que este es el caso, observando que , entonces tenemos ${\displaystyle \partial _{\mu }T_{0}^{\mu }=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}+\nabla \cdot \left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \nabla \phi _{\alpha }}}{\dot {\phi }}_{\alpha }\right)=0}$

Podemos entonces concluir que los términos de representan la densidad de flujo de energía del sistema. ${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \nabla \phi _{\alpha }}}{\dot {\phi }}_{\alpha }}$

Rastro

Nótese que la traza del tensor de tensión-energía se define como , por lo que ${\displaystyle T_{\mu }^{\mu }}$

${\displaystyle T_{\mu }^{\mu }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\mu }\phi _{\alpha }-\delta _{\mu }^{\mu }{\mathcal {L}}.}$

Desde , ${\displaystyle \delta _{\mu }^{\mu }=4}$

${\displaystyle T_{\mu }^{\mu }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\mu }\phi _{\alpha }-4{\mathcal {L}}.}$

En relatividad general

En la relatividad general , el tensor simétrico de tensión-energía actúa como fuente de la curvatura del espacio-tiempo y es la densidad de corriente asociada con las transformaciones de calibración de la gravedad, que son transformaciones generales de coordenadas curvilíneas . (Si hay torsión , entonces el tensor ya no es simétrico. Esto corresponde al caso con un tensor de espín distinto de cero en la teoría de la gravedad de Einstein-Cartan ).

En la relatividad general, las derivadas parciales utilizadas en la relatividad especial se sustituyen por derivadas covariantes . Esto significa que la ecuación de continuidad ya no implica que la energía y el momento no gravitacionales expresados ​​por el tensor se conserven absolutamente, es decir, que el campo gravitacional puede realizar trabajo sobre la materia y viceversa. En el límite clásico de la gravedad newtoniana , esto tiene una interpretación sencilla: la energía cinética se intercambia con la energía potencial gravitacional , que no está incluida en el tensor, y el momento se transfiere a través del campo a otros cuerpos. En la relatividad general, el pseudotensor de Landau-Lifshitz es una forma única de definir las densidades de energía y momento del campo gravitacional . Cualquier pseudotensor de tensión-energía puede hacerse desaparecer localmente mediante una transformación de coordenadas.

En un espacio-tiempo curvo, la integral espacial depende ahora de la porción espacial, en general. De hecho, no hay forma de definir un vector global de energía-momento en un espacio-tiempo curvo general.

Ecuaciones de campo de Einstein

En relatividad general, el tensor de tensión-energía se estudia en el contexto de las ecuaciones de campo de Einstein, que a menudo se escriben como

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}R\,g_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu },}$

donde es el tensor de Ricci , es el escalar de Ricci (la contracción tensorial del tensor de Ricci), es el tensor métrico , Λ es la constante cosmológica (despreciable a la escala de una galaxia o más pequeña), y es la constante gravitacional de Einstein . ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }\,}$ ${\displaystyle \kappa =8\pi G/c^{4}}$

Estrés-energía en situaciones especiales

Partícula aislada

En relatividad especial, la energía-tensión de una partícula no interactuante con masa en reposo m y trayectoria es: ${\displaystyle \mathbf {x} _{\text{p}}(t)}$

${\displaystyle T^{\alpha \beta }(\mathbf {x} ,t)={\frac {m\,v^{\alpha }(t)v^{\beta }(t)}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}\;\,\delta \left(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{\text{p}}(t)\right)={\frac {E}{c^{2}}}\;v^{\alpha }(t)v^{\beta }(t)\;\,\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{\text{p}}(t))}$

¿Dónde está el vector de velocidad (que no debe confundirse con el de cuatro velocidades , ya que le falta un ) ${\displaystyle v^{\alpha }}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle v^{\alpha }=\left(1,{\frac {d\mathbf {x} _{\text{p}}}{dt}}(t)\right)\,,}$

${\displaystyle \delta }$es la función delta de Dirac y es la energía de la partícula. ${\textstyle E={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}$

Escrito en lenguaje de física clásica, el tensor de tensión-energía sería (masa relativista, momento, el producto diádico del momento y la velocidad)

${\displaystyle \left({\frac {E}{c^{2}}},\,\mathbf {p} ,\,\mathbf {p} \,\mathbf {v} \right)}$.

Estrés-energía de un fluido en equilibrio

Para un fluido perfecto en equilibrio termodinámico , el tensor de tensión-energía adquiere una forma particularmente simple

${\displaystyle T^{\alpha \beta }\,=\left(\rho +{p \over c^{2}}\right)u^{\alpha }u^{\beta }+pg^{\alpha \beta }}$

donde es la densidad de masa-energía ( kilogramos por metro cúbico), es la presión hidrostática ( pascales ), es la cuadrivelocidad del fluido y es la matriz inversa del tensor métrico . Por lo tanto, la traza viene dada por ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle u^{\alpha }}$ ${\displaystyle g^{\alpha \beta }}$

${\displaystyle T_{\,\alpha }^{\alpha }=g_{\alpha \beta }T^{\beta \alpha }=3p-\rho c^{2}\,.}$

La cuatro velocidades satisface

${\displaystyle u^{\alpha }u^{\beta }g_{\alpha \beta }=-c^{2}\,.}$

En un marco de referencia inercial que se mueve con el fluido, mejor conocido como el marco de referencia propio del fluido , la velocidad cuadriplicada es

${\displaystyle u^{\alpha }=(1,0,0,0)\,,}$

La matriz inversa del tensor métrico es simplemente

${\displaystyle g^{\alpha \beta }\,=\left({\begin{matrix}-{\frac {1}{c^{2}}}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)\,}$

y el tensor de tensión-energía es una matriz diagonal

${\displaystyle T^{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}\rho &0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{matrix}}\right).}$

Tensor de energía y tensión electromagnética

El tensor de tensión-energía de Hilbert de un campo electromagnético sin fuente es

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F^{\mu \alpha }g_{\alpha \beta }F^{\nu \beta }-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }F_{\delta \gamma }F^{\delta \gamma }\right)}$

¿Dónde está el tensor del campo electromagnético ? ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$

Campo escalar

El tensor de tensión-energía para un campo escalar complejo que satisface la ecuación de Klein-Gordon es ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\left(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }+g^{\mu \beta }g^{\nu \alpha }-g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }\right)\partial _{\alpha }{\bar {\phi }}\partial _{\beta }\phi -g^{\mu \nu }mc^{2}{\bar {\phi }}\phi ,}$

y cuando la métrica es plana (Minkowski en coordenadas cartesianas) sus componentes resultan ser:

${\displaystyle {\begin{aligned}T^{00}&={\frac {\hbar ^{2}}{mc^{4}}}\left(\partial _{0}{\bar {\phi }}\partial _{0}\phi +c^{2}\partial _{k}{\bar {\phi }}\partial _{k}\phi \right)+m{\bar {\phi }}\phi ,\\T^{0i}=T^{i0}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{mc^{2}}}\left(\partial _{0}{\bar {\phi }}\partial _{i}\phi +\partial _{i}{\bar {\phi }}\partial _{0}\phi \right),\ \mathrm {and} \\T^{ij}&={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\left(\partial _{i}{\bar {\phi }}\partial _{j}\phi +\partial _{j}{\bar {\phi }}\partial _{i}\phi \right)-\delta _{ij}\left({\frac {\hbar ^{2}}{m}}\eta ^{\alpha \beta }\partial _{\alpha }{\bar {\phi }}\partial _{\beta }\phi +mc^{2}{\bar {\phi }}\phi \right).\end{aligned}}}$

Definiciones variantes de estrés-energía

Existen varias definiciones no equivalentes ^[5] de energía-estrés no gravitacional:

Tensor de tensión-energía de Hilbert

El tensor de tensión-energía de Hilbert se define como la derivada funcional

${\displaystyle T_{\mu \nu }={\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta S_{\mathrm {matter} }}{\delta g^{\mu \nu }}}={\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial \left({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }\right)}{\partial g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\partial {\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}{\partial g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} },}$

donde es la parte no gravitacional de la acción , es la parte no gravitacional de la densidad lagrangiana y se ha utilizado la ecuación de Euler-Lagrange . Esta es simétrica e invariante de calibre. Consulte la acción de Einstein-Hilbert para obtener más información. ${\displaystyle S_{\mathrm {matter} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}$

Tensor de tensión-energía canónico

El teorema de Noether implica que existe una corriente conservada asociada con las traslaciones a través del espacio y el tiempo; para más detalles, consulte la sección anterior sobre el tensor de tensión-energía en la relatividad especial. Esto se denomina tensor de tensión-energía canónico. Generalmente, no es simétrico y, si tenemos alguna teoría de calibración, puede que no sea invariante de calibración porque las transformaciones de calibración dependientes del espacio no conmutan con las traslaciones espaciales.

En la relatividad general , las traslaciones se realizan con respecto al sistema de coordenadas y, como tal, no se transforman de manera covariante. Consulte la sección a continuación sobre el pseudotensor de energía y tensión gravitacional.

Tensor de tensión-energía de Belinfante-Rosenfeld

En presencia de espín u otro momento angular intrínseco, el tensor de tensión-energía canónico de Noether no es simétrico. El tensor de tensión-energía de Belinfante-Rosenfeld se construye a partir del tensor de tensión-energía canónico y la corriente de espín de tal manera que es simétrico y aún se conserva. En relatividad general, este tensor modificado concuerda con el tensor de tensión-energía de Hilbert.

Estrés gravitacional – energía

Según el principio de equivalencia, la tensión-energía gravitacional siempre desaparecerá localmente en cualquier punto elegido en algún marco elegido, por lo tanto, la tensión-energía gravitacional no se puede expresar como un tensor distinto de cero; en su lugar, tenemos que utilizar un pseudotensor .

En la relatividad general, existen muchas definiciones posibles y distintas del pseudotensor de esfuerzo-energía-momento gravitacional. Entre ellas, se encuentran el pseudotensor de Einstein y el pseudotensor de Landau-Lifshitz . El pseudotensor de Landau-Lifshitz se puede reducir a cero en cualquier evento del espacio-tiempo eligiendo un sistema de coordenadas adecuado.

Véase también

• Tensor de energía y tensión electromagnética
• Estado de la energía
• Densidad de energía de los campos eléctricos y magnéticos.
• Tensor de tensión de Maxwell
• Vector de Poynting
• Cálculo de Ricci
• Clasificación Segre

Notas y referencias

1. En las páginas 141-142 de Misner, Thorne y Wheeler , la sección 5.7 "Simetría del tensor de tensión-energía" comienza con "Todos los tensores de tensión-energía explorados anteriormente eran simétricos. Que no podrían haber sido de otra manera se ve de la siguiente manera".
2. Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John A. (1973). Gravitación . San Francisco, CA: WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-0334-3.
3. d'Inverno, RA (1992). Introducción a la relatividad de Einstein . Nueva York, NY: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-859686-8.
4. Landau, LD; Lifshitz, EM (2010). La teoría clásica de campos (4.ª ed.). Butterworth-Heinemann. págs. 84-85. ISBN 978-0-7506-2768-9.
5. Baker, MR; Kiriushcheva, N.; Kuzmin, S. (2021). "Los tensores de energía-momento (métricos) de Noether y Hilbert no son, en general, equivalentes". Física nuclear B . 962 (1): 115240. arXiv : 2011.10611 . Código Bibliográfico :2021NuPhB.96215240B. doi :10.1016/j.nuclphysb.2020.115240. S2CID  227127490.

• W. Wyss (2005). "El tensor de energía-momento en la teoría clásica de campos" (PDF) . Colorado, EE. UU.

Enlaces externos

• Conferencia de Stephan Waner
• Tutorial de Caltech sobre relatividad: una discusión sencilla de la relación entre el tensor de tensión-energía de la relatividad general y la métrica