Tensor Q

Parámetro de orden de orientación

En física, el tensor es un parámetro de orden de orientación que describe cristales líquidos nemáticos uniaxiales y biaxiales y desaparece en la fase líquida isótropa . ^[1] El tensor es un tensor simétrico, sin trazas, de segundo orden y se define por ^{[2] [3] [4]} ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$

${\displaystyle \mathbf {Q} =S\left(\mathbf {n} \mathbf {n} -{\frac {1}{3}}\mathbf {I} \right)+P\left(\mathbf {m} \mathbf {m} -{\frac {1}{3}}\mathbf {I} \right)}$

donde y son parámetros de orden escalar, son los dos directores de la fase nemática y es la temperatura ; en cristales líquidos uniaxiales, . Los componentes del tensor son ${\displaystyle S=S(T)}$ ${\displaystyle P=P(T)}$ ${\displaystyle (\mathbf {n} ,\mathbf {m} )}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle P=0}$

${\displaystyle Q_{ij}=S\left(n_{i}n_{j}-{\frac {1}{3}}\delta _{ij}\right)+P\left(m_{i}m_{j}-{\frac {1}{3}}\delta _{ij}\right)}$

Los estados con directores y son físicamente equivalentes y, de manera similar, los estados con directores y son físicamente equivalentes. ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle -\mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {m} }$ ${\displaystyle -\mathbf {m} }$

El tensor siempre se puede diagonalizar, ${\displaystyle \mathbf {Q} }$

${\displaystyle \mathbf {Q} =-{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}S+P&0&0\\0&S-P&0\\0&0&-2S\\\end{pmatrix}}}$

Los siguientes son los invariantes del tensor ${\displaystyle \mathbf {Q} }$

${\displaystyle \delta =Q_{ij}Q_{ij}={\frac {1}{2}}(3S^{2}+P^{2}),\quad \Delta =Q_{ij}Q_{jk}Q_{ki}={\frac {3}{4}}S(S^{2}-P^{2});}$

El invariante de primer orden es trivial aquí. Se puede demostrar que ${\displaystyle Q_{ii}=0}$ ${\displaystyle \delta ^{3}\geq 6\Delta ^{2}.}$

Nemática uniaxial

En cristales líquidos nemáticos uniaxiales, y por lo tanto el tensor se reduce a ${\displaystyle P=0}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$

${\displaystyle \mathbf {Q} =S\left(\mathbf {n} \mathbf {n} -{\frac {1}{3}}\mathbf {I} \right).}$

El parámetro de orden escalar se define de la siguiente manera. Si representa el ángulo entre el eje de una molécula nemática y el eje director , entonces ^[2] ${\displaystyle \theta _{\mathrm {mol} }}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

${\displaystyle S=\langle P_{2}(\cos \theta _{\mathrm {mol} })\rangle ={\frac {1}{2}}\langle 3\cos ^{2}\theta _{\mathrm {mol} }-1\rangle ={\frac {1}{2}}\int (3\cos ^{2}\theta _{\mathrm {mol} }-1)f(\theta _{\mathrm {mol} })d\Omega }$

donde denota el promedio del conjunto de los ángulos de orientación calculados con respecto a la función de distribución y es el ángulo sólido . La función de distribución debe satisfacer necesariamente la condición ya que los directores y son físicamente equivalentes. ${\displaystyle \langle \cdot \rangle }$ ${\displaystyle f(\theta _{\mathrm {mol} })}$ ${\displaystyle d\Omega =\sin \theta _{\mathrm {mol} }d\theta _{\mathrm {mol} }d\phi _{\mathrm {mol} }}$ ${\displaystyle f(\theta _{\mathrm {mol} }+\pi )=f(\theta _{\mathrm {mol} })}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle -\mathbf {n} }$

El rango para está dado por , donde representa la alineación perfecta de todas las moléculas a lo largo del director y representa la alineación aleatoria completa (isotrópica) de todas las moléculas con respecto al director; el caso indica que todas las moléculas están alineadas perpendicularmente al eje director, aunque tales nemáticos son raros o difíciles de sintetizar. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle -1/2\leq S\leq 1}$ ${\displaystyle S=1}$ ${\displaystyle S=0}$ ${\displaystyle S=-1/2}$

Véase también

• Teoría de Landau-de-Gennes

Referencias

1. De Gennes, PG (1969). Fenomenología de los efectos de orden de corto alcance en la fase isotrópica de materiales nemáticos. Physics Letters A, 30 (8), 454-455.
2. De Gennes, PG, y Prost, J. (1993). La física de los cristales líquidos (n.º 83). Oxford University Press.
3. Mottram, NJ, y Newton, CJ (2014). Introducción a la teoría del tensor Q. Preimpresión de arXiv arXiv:1409.3542.
4. Kleman, M., y Lavrentovich, OD (Eds.). (2003). Física de la materia blanda: una introducción. Nueva York, NY: Springer New York.