El método de Monte Carlo en mecánica estadística

Monte Carlo en física estadística se refiere a la aplicación del método de Monte Carlo a problemas de física estadística o mecánica estadística .

Descripción general

La motivación general para utilizar el método de Monte Carlo en física estadística es evaluar una integral multivariable. El problema típico comienza con un sistema para el cual se conoce el hamiltoniano, se encuentra a una temperatura dada y sigue la estadística de Boltzmann . Para obtener el valor medio de alguna variable macroscópica, digamos A, el enfoque general es calcular, sobre todo el espacio de fases , PS para simplificar, el valor medio de A utilizando la distribución de Boltzmann:

${\displaystyle \langle A\rangle =\int _{PS}A_{\vec {r}}{\frac {e^{-\beta E_{\vec {r}}}}{Z}}d{\vec {r}}}$.

donde es la energía del sistema para un estado dado definido por - un vector con todos los grados de libertad (por ejemplo, para un sistema mecánico, ), y ${\displaystyle E({\vec {r}})=E_{\vec {r}}}$ ${\displaystyle {\vec {r}}}$ ${\displaystyle {\vec {r}}=\left({\vec {q}},{\vec {p}}\right)}$ ${\displaystyle \beta \equiv 1/k_{b}T}$

${\displaystyle Z=\int _{PS}e^{-\beta E_{\vec {r}}}d{\vec {r}}}$

es la función de partición .

Un enfoque posible para resolver esta integral multivariable es enumerar exactamente todas las configuraciones posibles del sistema y calcular los promedios a voluntad. Esto se hace en sistemas que se pueden resolver con exactitud y en simulaciones de sistemas simples con pocas partículas. En cambio, en sistemas realistas, una enumeración exacta puede ser difícil o imposible de implementar.

Para estos sistemas, generalmente se emplea la integración de Monte Carlo (que no debe confundirse con el método de Monte Carlo , que se utiliza para simular cadenas moleculares). La principal motivación para su uso es el hecho de que, con la integración de Monte Carlo, el error es igual a , independientemente de la dimensión de la integral. Otro concepto importante relacionado con la integración de Monte Carlo es el muestreo de importancia , una técnica que mejora el tiempo computacional de la simulación. ${\displaystyle 1/{\sqrt {N}}}$

En las siguientes secciones se discute la implementación general de la integración de Monte Carlo para resolver este tipo de problemas.

Muestreo de importancia

Una estimación, bajo integración de Monte Carlo, de una integral definida como

${\displaystyle \langle A\rangle =\int _{PS}A_{\vec {r}}e^{-\beta E_{\vec {r}}}d{\vec {r}}/Z}$

es

${\displaystyle \langle A\rangle \simeq {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}A_{{\vec {r}}_{i}}e^{-\beta E_{{\vec {r}}_{i}}}/Z}$

donde se obtienen uniformemente de todo el espacio de fases (PS) y N es el número de puntos de muestreo (o evaluaciones de funciones). ${\displaystyle {\vec {r}}_{i}}$

De todo el espacio de fases, algunas zonas del mismo son generalmente más importantes para la media de la variable que otras. En particular, aquellas que tienen el valor de suficientemente alto en comparación con el resto de los espectros de energía son las más relevantes para la integral. Con este hecho, la pregunta natural que se plantea es: ¿es posible elegir, con más frecuencia, los estados que se sabe que son más relevantes para la integral? La respuesta es sí, utilizando la técnica de muestreo de importancia . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle e^{-\beta E_{{\vec {r}}_{i}}}}$

Supongamos que se trata de una distribución que elige los estados que se sabe que son más relevantes para la integral. ${\displaystyle p({\vec {r}})}$

El valor medio de se puede reescribir como ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \langle A\rangle =\int _{PS}p^{-1}({\vec {r}}){\frac {A_{\vec {r}}}{p^{-1}({\vec {r}})}}e^{-\beta E_{\vec {r}}}/Zd{\vec {r}}=\int _{PS}p^{-1}({\vec {r}})A_{\vec {r}}^{*}e^{-\beta E_{\vec {r}}}/Zd{\vec {r}}}$,

donde son los valores muestreados teniendo en cuenta la probabilidad de importancia . Esta integral se puede estimar mediante ${\displaystyle A_{\vec {r}}^{*}}$ ${\displaystyle p({\vec {r}})}$

${\displaystyle \langle A\rangle \simeq {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}p^{-1}({\vec {r}}_{i})A_{{\vec {r}}_{i}}^{*}e^{-\beta E_{{\vec {r}}_{i}}}/Z}$

donde ahora se generan aleatoriamente utilizando la distribución. Como la mayoría de las veces no es fácil encontrar una forma de generar estados con una distribución dada, se debe utilizar el algoritmo Metropolis . ${\displaystyle {\vec {r}}_{i}}$ ${\displaystyle p({\vec {r}})}$

Canónico

Como se sabe que los estados más probables son aquellos que maximizan la distribución de Boltzmann, una buena distribución, , para elegir para el muestreo de importancia es la distribución de Boltzmann o distribución canónica. Sea ${\displaystyle p({\vec {r}})}$

${\displaystyle p({\vec {r}})={\frac {e^{-\beta E_{\vec {r}}}}{Z}}}$

sea ​​la distribución a utilizar. Sustituyendo en la suma anterior,

${\displaystyle \langle A\rangle \simeq {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}A_{{\vec {r}}_{i}}^{*}}$.

Entonces, el procedimiento para obtener un valor medio de una variable dada, utilizando el algoritmo de Metrópolis, con la distribución canónica, es utilizar el algoritmo de Metrópolis para generar estados dados por la distribución y realizar medias sobre . ${\displaystyle p({\vec {r}})}$ ${\displaystyle A_{\vec {r}}^{*}}$

Hay una cuestión importante que debe tenerse en cuenta al utilizar el algoritmo de metrópolis con la distribución canónica: al realizar una medida dada, es decir, la realización de , se debe asegurar que dicha realización no esté correlacionada con el estado anterior del sistema (de lo contrario, los estados no se generan "aleatoriamente"). En sistemas con brechas de energía relevantes, este es el principal inconveniente del uso de la distribución canónica porque el tiempo necesario para que el sistema se descorrelacione con el estado anterior puede tender a infinito. ${\displaystyle {\vec {r}}_{i}}$

Multicanónico

Como se mencionó anteriormente, el enfoque microcanónico tiene un inconveniente importante, que se vuelve relevante en la mayoría de los sistemas que utilizan la integración de Monte Carlo. Para aquellos sistemas con "paisajes energéticos aproximados", se puede utilizar el enfoque multicanónico.

El enfoque multicanónico utiliza una opción diferente para el muestreo de importancia:

${\displaystyle p({\vec {r}})={\frac {1}{\Omega (E_{\vec {r}})}}}$

donde es la densidad de estados del sistema. La principal ventaja de esta elección es que el histograma de energía es plano, es decir, los estados generados se distribuyen de manera uniforme en energía. Esto significa que, al utilizar el algoritmo Metropolis, la simulación no ve el "paisaje energético aproximado", porque cada energía se trata por igual. ${\displaystyle \Omega (E)}$

El principal inconveniente de esta opción es el hecho de que, en la mayoría de los sistemas, es desconocida. Para superar esto, normalmente se utiliza el algoritmo de Wang y Landau para obtener la DOS durante la simulación. Obsérvese que una vez conocida la DOS, se pueden calcular los valores medios de cada variable para cada temperatura, ya que la generación de estados no depende de . ${\displaystyle \Omega (E)}$ ${\displaystyle \beta }$

Implementación

En esta sección, la implementación se centrará en el modelo de Ising . Consideremos una red de espín bidimensional, con L espines (sitios reticulares) en cada lado. Naturalmente , hay espines y, por lo tanto, el espacio de fases es discreto y se caracteriza por N espines, donde es el espín de cada sitio reticular. La energía del sistema está dada por , donde son el conjunto de primeros espines del vecindario de i y J es la matriz de interacción (para un modelo de Ising ferromagnético, J es la matriz identidad). Se plantea el problema. ${\displaystyle N=L^{2}}$ ${\displaystyle {\vec {r}}=(\sigma _{1},\sigma _{2},...,\sigma _{N})}$ ${\displaystyle \sigma _{i}\in \{-1,1\}}$ ${\displaystyle E({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j\in viz_{i}}(1-J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j})}$ ${\displaystyle viz_{i}}$

En este ejemplo, el objetivo es obtener y (por ejemplo, obtener la susceptibilidad magnética del sistema) ya que es fácil generalizar a otros observables. Según la definición, . ${\displaystyle \langle M\rangle }$ ${\displaystyle \langle M^{2}\rangle }$ ${\displaystyle M({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}}$

Canónico

Primero, el sistema debe inicializarse: sea la temperatura de Boltzmann del sistema e inicialice el sistema con un estado inicial (que puede ser cualquier cosa ya que el resultado final no debe depender de él). ${\displaystyle \beta =1/k_{b}T}$

En el caso de la elección microcanónica, se debe emplear el método de la metrópolis. Como no hay una forma correcta de elegir qué estado se va a elegir, se puede particularizar y optar por intentar invertir un giro a la vez. Esta elección se suele denominar inversión de un solo giro . Se deben realizar los siguientes pasos para realizar una sola medición.

Paso 1: generar un estado que siga la distribución: ${\displaystyle p({\vec {r}})}$

Paso 1.1: Realizar TT veces la siguiente iteración:

Paso 1.1.1: elegir un sitio reticular al azar (con probabilidad 1/N), que se llamará i, con espín . ${\displaystyle \sigma _{i}}$

Paso 1.1.2: elige un número aleatorio . ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$

Paso 1.1.3: Calcular el cambio de energía al intentar invertir el giro i:

${\displaystyle \Delta E=2\sigma _{i}\sum _{j\in viz_{i}}\sigma _{j}}$

y su cambio de magnetización: ${\displaystyle \Delta M=-2\sigma _{i}}$

Paso 1.1.4: si , invierte el giro ( ), de lo contrario, no lo hagas. ${\displaystyle \alpha <\min(1,e^{-\beta \Delta E})}$ ${\displaystyle \sigma _{i}=-\sigma _{i}}$

Paso 1.1.5: actualizar las distintas variables macroscópicas en caso de que el giro se invierta: , ${\displaystyle E=E+\Delta E}$ ${\displaystyle M=M+\Delta M}$

después de tiempos TT, se considera que el sistema no está correlacionado con su estado anterior, lo que significa que, en ese momento, la probabilidad de que el sistema se encuentre en un estado dado sigue la distribución de Boltzmann, que es el objetivo propuesto por este método.

Paso 2: realizar la medición:

Paso 2.1: guardar, en un histograma, los valores de M y M ² .

Como nota final, se debe tener en cuenta que el TT no es fácil de estimar porque no es fácil decir cuándo el sistema está descorrelacionado con respecto al estado anterior. Para superar este punto, generalmente no se utiliza un TT fijo, sino TT como un tiempo de tunelización . Un tiempo de tunelización se define como el número de pasos 1. que el sistema necesita dar para pasar del mínimo de su energía al máximo de su energía y regresar.

Una desventaja importante de este método con la opción de inversión de espín único en sistemas como el modelo de Ising es que el tiempo de tunelización se escala como una ley de potencia donde z es mayor que 0,5, fenómeno conocido como desaceleración crítica . ${\displaystyle N^{2+z}}$

Aplicabilidad

El método, por tanto, no tiene en cuenta la dinámica, lo que puede ser un gran inconveniente o una gran ventaja. De hecho, el método sólo se puede aplicar a magnitudes estáticas, pero la libertad de elegir los movimientos hace que el método sea muy flexible. Una ventaja adicional es que algunos sistemas, como el modelo de Ising , carecen de una descripción dinámica y sólo se definen mediante una prescripción energética; para estos, el método de Monte Carlo es el único viable.

Generalizaciones

El gran éxito de este método en la mecánica estadística ha dado lugar a diversas generalizaciones como el método de recocido simulado para optimización, en el que se introduce una temperatura ficticia y luego se reduce gradualmente.

Véase también

• Integración de Monte Carlo
• Algoritmo de Metropolis
• Muestreo de importancia
• Montecarlo cuántico
• Modelado molecular de Monte Carlo

Referencias

• Allen, MP y Tildesley, DJ (1987). Simulación por ordenador de líquidos . Oxford University Press. ISBN 0-19-855645-4.
• Frenkel, D. y Smit, B. (2001). Comprensión de la simulación molecular . Academic Press. ISBN 0-12-267351-4.
• Binder, K. y Heermann, DW (2002). Simulación de Monte Carlo en física estadística. Introducción (4.ª ed.). Springer. ISBN 3-540-43221-3.
• Spanier, Jerome; Gelbard, Ely M. (2008). "Muestreo de importancia". Principios de Monte Carlo y problemas de transporte de neutrones . Dover. págs. 110–124. ISBN 978-0-486-46293-6.