12 temperamento igual ( 12-ET ) [a] es el sistema musical que divide la octava en 12 partes, todas ellas igualmente temperadas (igualmente espaciadas) en una escala logarítmica , con una razón igual a la raíz 12 de 2 ( 12 √ 2 ≈ 1.05946 ). Ese intervalo más pequeño resultante, 1 ⁄ 12 del ancho de una octava, se llama semitono o medio paso.
El temperamento igual de doce tonos es el sistema más extendido en la música actual. Ha sido el sistema de afinación predominante en la música occidental, comenzando por la música clásica , desde el siglo XVIII, y Europa utilizó casi exclusivamente aproximaciones de este durante milenios antes de eso. [ cita requerida ] También se ha utilizado en otras culturas.
En la actualidad, el 12-ET suele estar afinado en relación con un tono estándar de 440 Hz, llamado A440 , lo que significa que una nota, A , está afinada a 440 hercios y todas las demás notas se definen como algún múltiplo de semitonos aparte de ella, ya sea más alta o más baja en frecuencia . El tono estándar no siempre ha sido 440 Hz. Ha variado y, en general, ha aumentado en los últimos cientos de años. [1]
Las dos figuras a las que se atribuye con frecuencia el logro del cálculo exacto del temperamento igual de doce tonos son Zhu Zaiyu (también romanizado como Chu-Tsaiyu. Chino:朱載堉) en 1584 y Simon Stevin en 1585. Según Fritz A. Kuttner, un crítico de la teoría, [2] se sabe que "Chu-Tsaiyu presentó un método sumamente preciso, simple e ingenioso para el cálculo aritmético de los monoacordes de temperamento igual en 1584" y que "Simon Stevin ofreció una definición matemática del temperamento igual más un cálculo algo menos preciso de los valores numéricos correspondientes en 1585 o más tarde". Los desarrollos ocurrieron de forma independiente. [3]
Kenneth Robinson atribuye la invención del temperamento igual a Zhu Zaiyu [4] y proporciona citas textuales como evidencia. [5] Se cita a Zhu Zaiyu diciendo que, en un texto que data de 1584, "He fundado un nuevo sistema. Establezco un pie como el número del cual se deben extraer los otros, y usando proporciones los extraigo. En total, uno tiene que encontrar las cifras exactas para los flautistas en doce operaciones". [5] Kuttner no está de acuerdo y señala que su afirmación "no puede considerarse correcta sin mayores calificaciones". [2] Kuttner propone que ni Zhu Zaiyu ni Simon Stevin lograron el temperamento igual y que ninguno de los dos debería ser tratado como inventor. [3]
Un juego completo de campanas de bronce, entre muchos instrumentos musicales encontrados en la tumba del marqués Yi de Zeng (principios de los Reinos Combatientes, c. siglo V a. C. en la Edad del Bronce china), cubre cinco octavas completas de 7 notas en la tonalidad de Do mayor, incluidos semitonos de 12 notas en el medio del rango. [6]
, un matemático de las dinastías del Sur y del Norte que vivió entre 370 y 447, describió una aproximación para el temperamento igual. [7] Él presentó la secuencia numérica aproximada más antigua registrada en relación con el temperamento igual en la historia: 900 849 802 758 715 677 638 601 570 536 509.5 479 450. [8]
Zhu Zaiyu (朱載堉), un príncipe de la corte Ming , pasó treinta años investigando sobre la idea del temperamento igual originalmente postulada por su padre. Describió su nueva teoría del tono en su obra Fusion of Music and Calendar 律暦融通, publicada en 1580. A esto le siguió la publicación de un relato detallado de la nueva teoría del temperamento igual con una especificación numérica precisa para 12-ET en su obra de 5000 páginas Complete Compendium of Music and Pitch ( Yuelü quan shu 樂律全書) en 1584. [9] Joseph Needham también ofrece un relato más extenso. [5] Zhu obtuvo su resultado matemáticamente dividiendo la longitud de la cuerda y el tubo sucesivamente por 12 √ 2 ≈ 1.059463, y para la longitud del tubo por 24 √ 2 , [10] de modo que después de doce divisiones (una octava) la longitud se dividió por un factor de 2:
De manera similar, después de 84 divisiones (7 octavas), la longitud se dividió por un factor de 128:
Zhu Zaiyu ha sido acreditado como la primera persona en resolver matemáticamente el problema del temperamento igual. [11] Al menos un investigador ha propuesto que Matteo Ricci , un jesuita en China, registró este trabajo en su diario personal [11] [12] y puede haber transmitido el trabajo de regreso a Europa. (Los recursos estándar sobre el tema no mencionan tal transferencia. [13] ) En 1620, el trabajo de Zhu fue referenciado por un matemático europeo. [ ¿ Quién? ] [12] Murray Barbour dijo: "La primera aparición conocida impresa de las cifras correctas para el temperamento igual fue en China, donde la brillante solución del príncipe Tsaiyü sigue siendo un enigma". [14] El físico alemán del siglo XIX Hermann von Helmholtz escribió en Sobre las sensaciones del tono que un príncipe chino (ver más abajo) introdujo una escala de siete notas y que la división de la octava en doce semitonos fue descubierta en China. [15]
Zhu Zaiyu ilustró su teoría del temperamento igual con la construcción de un conjunto de 36 tubos de afinación de bambú que abarcaban 3 octavas, con instrucciones sobre el tipo de bambú, el color de la pintura y especificaciones detalladas sobre su longitud y diámetros interior y exterior. También construyó un instrumento de afinación de 12 cuerdas, con un conjunto de tubos de afinación ocultos dentro de su cavidad inferior. En 1890, Victor-Charles Mahillon , conservador del museo del Conservatorio de Bruselas, duplicó un conjunto de tubos de afinación según la especificación de Zhu Zaiyu. Dijo que la teoría china de los tonos sabía más sobre la longitud de los tubos de afinación que su contraparte occidental, y que el conjunto de tubos duplicado según los datos de Zaiyu demostraba la precisión de esta teoría.
Una de las primeras discusiones sobre el temperamento igual aparece en los escritos de Aristóxeno en el siglo IV a. C. [16]
Vincenzo Galilei (padre de Galileo Galilei ) fue uno de los primeros defensores prácticos del temperamento igual de doce tonos. Compuso un conjunto de suites de danza en cada una de las 12 notas de la escala cromática en todas las "claves de transposición", y publicó también, en su " Fronimo " de 1584, 24 + 1 ricercars . [17] Utilizó la proporción 18:17 para trastear el laúd (aunque era necesario algún ajuste para octavas puras). [18]
El compatriota y compañero laudista de Galilei, Giacomo Gorzanis, había escrito música basada en el temperamento igual en 1567. [19] Gorzanis no fue el único laudista que exploró todos los modos o tonalidades: Francesco Spinacino escribió un "Recercare de tutti li Toni" ( Recercar en todos los tonos) ya en 1507. [20] En el siglo XVII, el laudista y compositor John Wilson escribió un conjunto de 30 preludios, incluidos 24 en todas las tonalidades mayores y menores. [21] [22] Henricus Grammateus trazó una aproximación cercana al temperamento igual en 1518. Las primeras reglas de afinación en temperamento igual fueron dadas por Giovani Maria Lanfranco en su "Scintille de musica". [23] Zarlino en su polémica con Galilei inicialmente se opuso al temperamento igual pero finalmente lo aceptó en relación con el laúd en su Sopplimenti musicali en 1588.
La primera mención del temperamento igual relacionado con la duodécima raíz de dos en Occidente apareció en el manuscrito de Simon Stevin Van De Spiegheling der singconst (c. 1605), publicado póstumamente casi tres siglos después en 1884. [24] Sin embargo, debido a la precisión insuficiente de su cálculo, muchos de los números de longitud de acordes que obtuvo estaban desviados por una o dos unidades de los valores correctos. [13] Como resultado, las relaciones de frecuencia de los acordes de Simon Stevin no tienen una relación unificada, sino una relación por tono, lo que Gene Cho afirma que es incorrecto. [25]
Las siguientes fueron las longitudes de acordes de Simon Stevin de Van de Spiegheling der singconst : [26]
Una generación más tarde, el matemático francés Marin Mersenne presentó varias longitudes de acordes temperados iguales obtenidos por Jean Beaugrand, Ismael Bouillaud y Jean Galle. [27]
En 1630, Johann Faulhaber publicó una tabla de monocordios de 100 céntimos, que contenía varios errores debidos al uso de tablas logarítmicas. No explicó cómo obtuvo sus resultados. [28]
Desde 1450 hasta aproximadamente 1800, los intérpretes de instrumentos de cuerda pulsada (laudistas y guitarristas) generalmente favorecieron el temperamento igual, [29] y el manuscrito para laúd de Brossard compilado en el último cuarto del siglo XVII contiene una serie de 18 preludios atribuidos a Bocquet escritos en todas las tonalidades, incluido el último preludio, titulado Prélude sur tous les tons , que modula enarmónicamente a través de todas las tonalidades. [30] [ aclaración necesaria ] Angelo Michele Bartolotti publicó una serie de passacaglias en todas las tonalidades, con pasajes conectados que modulan enarmónicamente. Entre los compositores de teclado del siglo XVII, Girolamo Frescobaldi abogó por el temperamento igual. Algunos teóricos, como Giuseppe Tartini , se opusieron a la adopción del temperamento igual; Consideraban que degradar la pureza de cada acorde degradaba el atractivo estético de la música, aunque Andreas Werckmeister abogó enfáticamente por el temperamento igual en su tratado de 1707 publicado póstumamente. [31]
El temperamento igual de doce tonos se impuso por diversas razones. Se adecuaba convenientemente al diseño de teclado existente y permitía una libertad armónica total con la carga de una impureza moderada en cada intervalo, particularmente en las consonancias imperfectas. Esto permitió una mayor expresión a través de la modulación enarmónica , que se volvió extremadamente importante en el siglo XVIII en la música de compositores como Francesco Geminiani , Wilhelm Friedemann Bach , Carl Philipp Emmanuel Bach y Johann Gottfried Müthel . [ cita requerida ] El temperamento igual de doce tonos tenía algunas desventajas, como las terceras imperfectas, pero cuando Europa cambió al temperamento igual, cambió la música que escribía para adaptarse al sistema y minimizar la disonancia. [b]
El progreso del temperamento igual desde mediados del siglo XVIII en adelante se describe con detalle en bastantes publicaciones académicas modernas: ya era el temperamento de elección durante la era clásica (segunda mitad del siglo XVIII), [ cita requerida ] y se convirtió en estándar durante la era romántica temprana (primera década del siglo XIX), [ cita requerida ] excepto para los órganos que cambiaron a él más gradualmente, completándolo solo en la segunda década del siglo XIX. (En Inglaterra, algunos organistas de catedral y directores de coro se resistieron incluso después de esa fecha; Samuel Sebastian Wesley , por ejemplo, se opuso a él todo el tiempo. Murió en 1876.) [ cita requerida ]
Es posible lograr un temperamento igual preciso utilizando el método Sabbatini del siglo XVII de dividir la octava en tres terceras mayores temperadas. [32] Esto también fue propuesto por varios escritores durante la era clásica. La afinación sin frecuencias de pulso pero empleando varias comprobaciones, logrando una precisión prácticamente moderna, ya se hacía en las primeras décadas del siglo XIX. [33] El uso de frecuencias de pulso, propuesto por primera vez en 1749, se volvió común después de su difusión por Helmholtz y Ellis en la segunda mitad del siglo XIX. [34] La máxima precisión estaba disponible con 2 tablas decimales publicadas por White en 1917. [35]
Es en el ambiente de temperamento igual que se desarrollaron y florecieron los nuevos estilos de tonalidad simétrica y politonalidad , la música atonal como la escrita con la técnica dodecafónica o serialismo , y el jazz (al menos su componente de piano).
En el temperamento igual dodecafónico, que divide la octava en 12 partes iguales, la anchura de un semitono , es decir, la relación de frecuencias del intervalo entre dos notas adyacentes, es la raíz duodécima de dos :
Este intervalo se divide en 100 céntimos .
Para encontrar la frecuencia, P n , de una nota en 12-ET, se puede utilizar la siguiente definición:
En esta fórmula, P n se refiere al tono o frecuencia (normalmente en hercios ) que estás intentando encontrar. P a se refiere a la frecuencia de un tono de referencia. n y a se refieren a los números asignados al tono deseado y al tono de referencia, respectivamente. Estos dos números son de una lista de números enteros consecutivos asignados a semitonos consecutivos. Por ejemplo, A 4 (el tono de referencia) es la 49.ª tecla desde el extremo izquierdo de un piano (afinado a 440 Hz ), y C 4 ( el C central ) y F# 4 son la 40.ª y la 46.ª tecla respectivamente. Estos números se pueden utilizar para encontrar la frecuencia de C 4 y F# 4 :
Los intervalos de 12-ET se aproximan mucho a algunos intervalos en la entonación justa . [37]
El 12 ET es muy preciso en el límite 3, pero a medida que se aumenta el límite primo a 11, empeora gradualmente en aproximadamente un sexto de semitono cada vez. Sus armónicos undécimo y decimotercero son extremadamente imprecisos. Los armónicos decimoséptimo y decimonoveno del 12 ET son casi tan precisos como su tercer armónico, pero en este punto, el límite primo se ha vuelto demasiado alto para sonar consonante para la mayoría de las personas. [ cita requerida ]
12 ET tiene una muy buena aproximación de la quinta perfecta ( 3 /2 ) y su inversión , la cuarta perfecta ( 4 /3 ), especialmente para la división de la octava en un número relativamente pequeño de tonos. En concreto, una quinta justa es sólo un quincuagésimo primero de un semitono más agudo que la aproximación de temperamento igual. Porque el tono mayor ( 9 /8 ) es simplemente dos quintas perfectas menos una octava, y su inversión, la séptima menor pitagórica ( 16 /9) , son simplemente dos cuartos perfectos combinados, que, en su mayor parte, conservan la precisión de sus predecesores; el error se duplica, pero sigue siendo pequeño, tan pequeño, de hecho, que los humanos no pueden percibirlo. Se pueden seguir utilizando fracciones con potencias superiores a tres, siendo las dos siguientes 27 /16 y 32 /27 , pero a medida que los términos de las fracciones se hacen más grandes, se vuelven menos agradables al oído. [ cita requerida ]
12 Aproximación de ET del quinto armónico ( 5 /4) está aproximadamente un séptimo de semitono desfasado. Debido a que los intervalos que están a menos de un cuarto de un paso de escala siguen sonando afinados, otros intervalos de cinco límites en 12 ET, como 5 /3 y 8 /5 , tienen errores de tamaño similar. La tríada mayor , por lo tanto, suena afinada ya que su relación de frecuencia es aproximadamente 4:5:6, además, fusionada con su primera inversión y dos tónicas de suboctava, es 1:2:3:4:5:6, los seis armónicos naturales más bajos del tono bajo. [ cita requerida ]
12 Aproximación de ET del séptimo armónico ( 7 /4) está desfasado aproximadamente un tercio de semitono. Debido a que el error es mayor que un cuarto de semitono, los intervalos de siete límites en 12 ET tienden a sonar desafinados. En las fracciones de tritono 7 /5 y 10 /7 , los errores de los armónicos quinto y séptimo se cancelan parcialmente entre sí, de modo que las fracciones justas están dentro de un cuarto de semitono de sus equivalentes igualmente temperados. [ cita requerida ]
El undécimo armónico ( 11 /8) , a 551,32 centavos, se encuentra casi exactamente a mitad de camino entre los dos intervalos de temperamento igual más cercanos en 12 ET y, por lo tanto, no se aproxima a ninguno de ellos. De hecho , 11 /8 está casi tan lejos de cualquier aproximación de temperamento igual como es posible en 12 ET. El decimotercer armónico ( 13 /8) , en dos quintas partes de un semitono más agudo que una sexta menor, es casi tan inexacta. Aunque esto significa que la fracción 13 /11 y también su inversión ( 22 /13) se aproximan con precisión (específicamente, por tres semitonos), ya que los errores de los armónicos undécimo y decimotercero se cancelan en su mayoría, la mayoría de las personas que no están familiarizadas con los cuartos de tono o la microtonalidad no estarán familiarizadas con los armónicos undécimo y decimotercero. De manera similar, mientras que el error del undécimo o decimotercero armónico podría cancelarse en su mayoría por el error del séptimo armónico, la mayoría de los músicos occidentales no encontrarían consonantes las fracciones resultantes ya que 12 ET no las aproxima con precisión. [ cita requerida ]
El decimoséptimo armónico ( 17 /16) es solo unos 5 centavos más agudo que un semitono en 12 ET. Se puede combinar con la aproximación de 12 ET del tercer armónico para obtener 17 /12 , que es, como la siguiente aproximación de Pell después de 7 /5 , a sólo tres centavos del tritono igualmente temperado (la raíz cuadrada de dos), y 17 /9 , que está a solo un centésimo de la séptima mayor de 12 ET. El decimonoveno armónico es solo unos 2,5 centésimas más plano que tres de los semitonos de 12 ET, por lo que también se puede combinar con el tercer armónico para producir 19 /12 , que es aproximadamente 4,5 centavos más plano que una sexta menor igualmente temperada, y 19 /18 , que es aproximadamente 6,5 centésimas más plano que un semitono. Sin embargo, debido a que 17 y 19 son bastante grandes para las proporciones de consonantes y la mayoría de las personas no están familiarizadas con los intervalos límite de 17 y 19, los intervalos límite de 17 y 19 no son útiles para la mayoría de los propósitos, por lo que probablemente no se pueda juzgar que desempeñen un papel en ninguna consonancia de 12 ET. [ cita requerida ]
En la siguiente tabla se comparan los tamaños de varios intervalos justos con sus contrapartes de temperamento igual, expresados como proporción y en centésimas . La mayoría de las personas no notan diferencias de menos de seis centésimas, y los intervalos que tienen más de un cuarto de tono, que en este caso son 25 centésimas, suenan desafinados. [ cita requerida ]
12-ET suaviza varias comas , lo que significa que hay varias fracciones cercanas a 1 /1 que son tratados como 1 /1 por 12-ET debido a su mapeo de diferentes fracciones al mismo intervalo de temperamento igual. Por ejemplo, 729/512 ( 3 6 /2 9 ) y 1024 /729 ( 2 10 /3 6) se asignan cada uno al tritono, por lo que se tratan como nominalmente el mismo intervalo; por lo tanto, su cociente ,531441/ 524288 ( 3 12 /2 19 ) se asigna a/trata como unísono. Esta es la coma pitagórica y es la única coma de 3 límites de 12-ET. Sin embargo, a medida que se aumenta el límite primo e incluye más intervalos, aumenta la cantidad de comas. La coma de cinco límites más importante de 12-ET es 81/ 80 ( 3 4/ 2 4 × 5 1 ), que se conoce como coma sintónica y es el factor entre las terceras y sextas pitagóricas y sus contrapartes justas. Las otras comas de 5 límites de 12-ET incluyen:
Una de las comas de 7 límites que 12-ET atenúa es la kleisma septimal , que es igual a 225/ 224 , o 3 2 × 5 2 /2 5 × 7 112 -ET también incluye otras comas de 7 límites :
Históricamente, se han utilizado múltiples sistemas de afinación que pueden considerarse como ligeras variaciones de 12-TEDO, con doce notas por octava pero con alguna variación entre los tamaños de intervalos, de modo que las notas no están espaciadas de manera uniforme. Un ejemplo de esto es una escala de tres límites donde las quintas perfectas de 700 centésimas con temperamento uniforme se reemplazan por quintas perfectas de 701,955 centésimas con entonación justa. Debido a que los dos intervalos difieren en menos de 2 centésimas, o 1 ⁄ 600 de una octava, las dos escalas son muy similares. De hecho, los chinos desarrollaron la entonación justa de 3 límites al menos un siglo antes de que He Chengtian creara la secuencia de 12-TEDO. [38] Asimismo, la afinación pitagórica, desarrollada por los antiguos griegos, fue el sistema predominante en Europa hasta el Renacimiento, cuando los europeos se dieron cuenta de que los intervalos disonantes como 81 ⁄ 64 [39] podían hacerse más consonantes al templarlos a proporciones más simples como 5 ⁄ 4 , lo que resultó en que Europa desarrollara una serie de temperamentos de medio tono que modificaban ligeramente los tamaños de los intervalos pero que aún podían verse como una aproximación de 12-TEDO. Debido a la tendencia de los temperamentos de medio tono a concentrar el error en una quinta perfecta enarmónica, lo que la hace muy disonante , los teóricos musicales europeos, como Andreas Werckmeister, Johann Philipp Kirnberger, Francesco Antonio Vallotti y Thomas Young, crearon varios temperamentos bien con el objetivo de dividir las comas para reducir la disonancia de los intervalos más afectados. Werckmeister y Kirnberger no estaban satisfechos con su primer temperamento y por ello crearon varios temperamentos, siendo estos últimos más parecidos al temperamento igual que los primeros. Asimismo, Europa en su conjunto pasó gradualmente de temperamentos de tono medio y de tono bueno a 12-TEDO, el sistema que todavía se utiliza en la actualidad.
Si bien algunos tipos de música, como el serialismo , utilizan las doce notas de 12-TEDO, la mayoría de la música solo utiliza notas de un subconjunto particular de 12-TEDO conocido como escala. Existen muchos tipos diferentes de escalas.
El tipo de escala más popular en 12-TEDO es el meantone. El meantone se refiere a cualquier escala donde todas sus notas son consecutivas en el círculo de quintas. Existen escalas meantone de diferentes tamaños, y algunas escalas meantone utilizadas incluyen meantone de cinco notas , meantone de siete notas y meantone de nueve notas . El meantone está presente en el diseño de instrumentos occidentales. Por ejemplo, las teclas de un piano y sus predecesores están estructuradas de modo que las teclas blancas forman una escala meantone de siete notas y las teclas negras forman una escala meantone de cinco notas. Otro ejemplo es que las guitarras y otros instrumentos de cuerda con al menos cinco cuerdas suelen estar afinados de modo que sus cuerdas al aire formen una escala meantone de cinco notas.
Otras escalas utilizadas en 12-TEDO incluyen la escala menor melódica ascendente , la escala menor armónica , la escala mayor armónica , la escala disminuida y la escala interior .
![{\displaystyle \left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{12}=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f0e94dc870dfc2af0eb35a7b362eb3776054719)
![{\displaystyle \left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{84}=2^{7}=128}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efc85da07cabc4f33cc3fc965e9ef6e74361e7c7)
![{\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}=2^{\frac {1}{12}}\aproximadamente 1.059463}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/232c2beab28b1c46c328080d982595d9ef196e08)
![{\displaystyle P_{n}=P_{a}\left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{(na)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3381e111c79f7e16a073bbe05c6cabeaba2ff79a)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}P_{40}&=440\left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{(40-49)}&&\aproximadamente 261,626\ \mathrm {Hz} \\P_{46}&=440\left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{(46-49)}&&\aproximadamente 369,994\ \mathrm {Hz} \end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b2cc77efb874655e7633d236cfd2c9f7e5b8229)