Tangente

En matemáticas, línea recta que toca una curva plana sin cruzarla.

Tangente a una curva. La línea roja es tangente a la curva en el punto marcado con un punto rojo.

Plano tangente a una esfera

En geometría , la línea tangente (o simplemente tangente ) a una curva plana en un punto dado es, intuitivamente, la línea recta que "apenas toca" la curva en ese punto. Leibniz la definió como la línea que pasa por un par de puntos infinitamente cercanos en la curva. ^{[1] [2]} Más precisamente, una línea recta es tangente a la curva y = f ( x ) en un punto x = c si la línea pasa por el punto ( c , f ( c )) en la curva y tiene pendiente f ' ( c ) , donde f ' es la derivada de f . Una definición similar se aplica a las curvas espaciales y a las curvas en el espacio euclidiano n -dimensional .

El punto en el que la línea tangente y la curva se encuentran o se intersecan se denomina punto de tangencia . Se dice que la línea tangente "va en la misma dirección" que la curva y, por lo tanto, es la mejor aproximación en línea recta a la curva en ese punto. La línea tangente a un punto de una curva diferenciable también puede considerarse como una aproximación de línea tangente , el gráfico de la función afín que mejor se aproxima a la función original en el punto dado. ^[3]

De manera similar, el plano tangente a una superficie en un punto dado es el plano que "apenas toca" la superficie en ese punto. El concepto de tangente es una de las nociones más fundamentales en geometría diferencial y ha sido ampliamente generalizado; véase Espacio tangente .

La palabra "tangente" viene del latín tangere , "tocar".

Historia

Euclides hace varias referencias a la tangente ( ἐφαπτομένη ephaptoménē ) a un círculo en el libro III de los Elementos (c. 300 a. C.). ^[4] En la obra Cónicas de Apolonio (c. 225 a. C.) define una tangente como una línea tal que ninguna otra línea recta podría caer entre ella y la curva . ^[5]

Arquímedes (c. 287 – c. 212 a. C.) encontró la tangente a una espiral de Arquímedes considerando la trayectoria de un punto que se movía a lo largo de la curva. ^[5]

En la década de 1630, Fermat desarrolló la técnica de la adecuación para calcular tangentes y otros problemas de análisis y la utilizó para calcular tangentes a la parábola. La técnica de la adecuación es similar a tomar la diferencia entre y y dividirla por una potencia de . De forma independiente, Descartes utilizó su método de normales basado en la observación de que el radio de un círculo siempre es normal al círculo mismo. ^[6] ${\displaystyle f(x+h)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle h}$

Estos métodos llevaron al desarrollo del cálculo diferencial en el siglo XVII. Muchas personas contribuyeron. Roberval descubrió un método general para dibujar tangentes, al considerar una curva como la descrita por un punto en movimiento cuyo movimiento es el resultado de varios movimientos más simples. ^[7] René-François de Sluse y Johannes Hudde encontraron algoritmos algebraicos para encontrar tangentes. ^[8] Otros desarrollos incluyeron los de John Wallis e Isaac Barrow , que llevaron a la teoría de Isaac Newton y Gottfried Leibniz .

Una definición de 1828 de una tangente era "una línea recta que toca una curva, pero que cuando se traza, no la corta". ^[9] Esta antigua definición impide que los puntos de inflexión tengan tangente. Ha sido descartada y las definiciones modernas son equivalentes a las de Leibniz , quien definió la línea tangente como la línea que pasa por un par de puntos infinitamente cercanos en la curva; en la terminología moderna, esto se expresa como: la tangente a una curva en un punto P en la curva es el límite de la línea que pasa por dos puntos de la curva cuando estos dos puntos tienden a P.

Recta tangente a una curva plana

Una tangente, una cuerda y una secante de un círculo.

La noción intuitiva de que una línea tangente "toca" una curva se puede hacer más explícita al considerar la secuencia de líneas rectas ( líneas secantes ) que pasan por dos puntos, A y B , los que se encuentran en la curva de la función. La tangente en A es el límite cuando el punto B se aproxima o tiende a A. La existencia y unicidad de la línea tangente depende de un cierto tipo de suavidad matemática, conocida como "diferenciabilidad". Por ejemplo, si dos arcos circulares se encuentran en un punto agudo (un vértice), entonces no hay una tangente definida de manera única en el vértice porque el límite de la progresión de las líneas secantes depende de la dirección en la que el "punto B " se aproxima al vértice.

En la mayoría de los puntos, la tangente toca la curva sin cruzarla (aunque puede, al continuar, cruzar la curva en otros lugares alejados del punto de la tangente). Un punto donde la tangente (en este punto) cruza la curva se llama punto de inflexión . Los círculos , parábolas , hipérbolas y elipses no tienen ningún punto de inflexión, pero las curvas más complicadas sí lo tienen, como el gráfico de una función cúbica , que tiene exactamente un punto de inflexión, o una senoide, que tiene dos puntos de inflexión por cada período del seno .

Por el contrario, puede ocurrir que la curva se encuentre completamente a un lado de una línea recta que pasa por un punto de ella, y sin embargo esta línea recta no sea una línea tangente. Este es el caso, por ejemplo, de una línea que pasa por el vértice de un triángulo y no lo corta de otro modo, donde la línea tangente no existe por las razones explicadas anteriormente. En geometría convexa , tales líneas se llaman líneas de apoyo .

Enfoque analítico

En cada punto, la línea móvil es siempre tangente a la curva . Su pendiente es la derivada ; el verde marca la derivada positiva, el rojo la negativa y el negro la cero. El punto (x,y) = (0,1) donde la tangente interseca la curva no es un máximo ni un mínimo, sino un punto de inflexión . (Nota: la figura contiene el etiquetado incorrecto de 0,0 que debería ser 0,1)

La idea geométrica de la línea tangente como límite de las líneas secantes sirve como motivación para los métodos analíticos que se utilizan para encontrar líneas tangentes explícitamente. La cuestión de encontrar la línea tangente a un gráfico, o el problema de la línea tangente, fue una de las cuestiones centrales que llevaron al desarrollo del cálculo en el siglo XVII. En el segundo libro de su Geometría , René Descartes ^[10] dijo sobre el problema de construir la tangente a una curva: "Y me atrevo a decir que este no es sólo el problema más útil y más general en geometría que conozco, sino incluso el que he deseado conocer". ^[11]

Descripción intuitiva

Supongamos que se da una curva como gráfica de una función , y = f ( x ). Para hallar la recta tangente en el punto p = ( a , f ( a )), consideremos otro punto cercano q = ( a + h , f ( a + h )) en la curva. La pendiente de la recta secante que pasa por p y q es igual al cociente de diferencias

${\displaystyle {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$

A medida que el punto q se acerca a p , lo que corresponde a hacer h cada vez más pequeño, el cociente de diferencias debe acercarse a un cierto valor límite k , que es la pendiente de la línea tangente en el punto p . Si se conoce k , la ecuación de la línea tangente se puede encontrar en la forma punto-pendiente:

${\displaystyle y-f(a)=k(x-a).\,}$

Descripción más rigurosa

Para que el razonamiento precedente sea riguroso, hay que explicar qué se entiende por cociente de diferencias que se aproxima a un cierto valor límite k . La formulación matemática precisa fue dada por Cauchy en el siglo XIX y se basa en la noción de límite . Supóngase que el grafo no tiene una ruptura o un borde agudo en p y no está ni vertical ni demasiado ondulado cerca de p . Entonces hay un valor único de k tal que, a medida que h se acerca a 0, el cociente de diferencias se acerca cada vez más a k , y la distancia entre ellos se vuelve insignificante en comparación con el tamaño de h , si h es suficientemente pequeño. Esto lleva a la definición de la pendiente de la línea tangente al grafo como el límite de los cocientes de diferencias para la función f . Este límite es la derivada de la función f en x = a , denotada f  ′( a ). Usando derivadas, la ecuación de la línea tangente puede enunciarse de la siguiente manera:

${\displaystyle y=f(a)+f'(a)(x-a).\,}$

El cálculo proporciona reglas para calcular las derivadas de funciones dadas por fórmulas, como la función potencia , las funciones trigonométricas , la función exponencial , la logaritmo y sus diversas combinaciones. Por lo tanto, las ecuaciones de las tangentes a los gráficos de todas estas funciones, así como muchas otras, se pueden encontrar mediante los métodos del cálculo.

Cómo puede fallar el método

El cálculo también demuestra que hay funciones y puntos en sus gráficas para los cuales no existe el límite que determina la pendiente de la recta tangente. Para estos puntos la función f no es diferenciable . Hay dos posibles razones para que el método de hallar las tangentes basado en los límites y las derivadas falle: o bien la tangente geométrica existe, pero es una recta vertical, que no puede darse en la forma punto-pendiente ya que no tiene pendiente, o bien la gráfica exhibe uno de los tres comportamientos que impiden una tangente geométrica.

La gráfica y = x ^1/3 ilustra la primera posibilidad: aquí el cociente de diferencias en a = 0 es igual a h ^1/3 / h = h ^−2/3 , que se vuelve muy grande a medida que h se acerca a 0. Esta curva tiene una línea tangente en el origen que es vertical.

El gráfico y = x ^2/3 ilustra otra posibilidad: este gráfico tiene una cúspide en el origen. Esto significa que, cuando h tiende a 0, el cociente de diferencias en a = 0 tiende a más o menos infinito dependiendo del signo de x . Por lo tanto, ambas ramas de la curva están cerca de la semilínea vertical para la que y = 0, pero ninguna está cerca de la parte negativa de esta línea. Básicamente, no hay tangente en el origen en este caso, pero en algún contexto se puede considerar esta línea como una tangente, e incluso, en geometría algebraica , como una doble tangente .

La gráfica y = | x | de la función valor absoluto consta de dos líneas rectas con diferentes pendientes unidas en el origen. Cuando un punto q se acerca al origen desde la derecha, la línea secante siempre tiene pendiente 1. Cuando un punto q se acerca al origen desde la izquierda, la línea secante siempre tiene pendiente −1. Por lo tanto, no hay una única tangente a la gráfica en el origen. Tener dos pendientes diferentes (pero finitas) se llama esquina .

Por último, dado que la diferenciabilidad implica continuidad, la discontinuidad de los estados contrapositivos implica no diferenciabilidad. Cualquier discontinuidad de salto o punto de este tipo no tendrá línea tangente. Esto incluye los casos en los que una pendiente se acerca al infinito positivo mientras que la otra se acerca al infinito negativo, lo que conduce a una discontinuidad de salto infinito.

Ecuaciones

Cuando la curva está dada por y = f ( x ) entonces la pendiente de la tangente es así que por la fórmula punto-pendiente la ecuación de la recta tangente en ( X ,  Y ) es ${\displaystyle dy/dx,}$

${\displaystyle y-Y={\frac {dy}{dx}}(X)\cdot (x-X)}$

donde ( x ,  y ) son las coordenadas de cualquier punto en la línea tangente, y donde la derivada se evalúa en . ^[12] ${\displaystyle x=X}$

Cuando la curva está dada por y = f ( x ), la ecuación de la línea tangente también se puede encontrar ^[13] usando la división polinomial para dividir por ; si el resto se denota por , entonces la ecuación de la línea tangente está dada por ${\displaystyle f\,(x)}$ ${\displaystyle (x-X)^{2}}$ ${\displaystyle g(x)}$

${\displaystyle y=g(x).}$

Cuando la ecuación de la curva se da en la forma f ( x ,  y ) = 0 entonces el valor de la pendiente se puede encontrar por diferenciación implícita , dando

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\partial f}{\partial x}}{\bigg /}{\frac {\partial f}{\partial y}}.}$

La ecuación de la recta tangente en un punto ( X , Y ) tal que f ( X , Y ) = 0 es entonces ^[12]

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\cdot (x-X)+{\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)\cdot (y-Y)=0.}$

Esta ecuación sigue siendo cierta si

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)=0,\quad {\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\neq 0,}$

En cuyo caso la pendiente de la tangente es infinita. Sin embargo, si

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)=0,}$

La recta tangente no está definida y se dice que el punto ( X , Y ) es singular .

Para las curvas algebraicas , los cálculos se pueden simplificar un poco al convertirlas a coordenadas homogéneas . Específicamente, sea la ecuación homogénea de la curva g ( x ,  y ,  z ) = 0 donde g es una función homogénea de grado n . Entonces, si ( X ,  Y ,  Z ) se encuentra en la curva, el teorema de Euler implica que se deduce que la ecuación homogénea de la línea tangente es $${\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial x}}\cdot X+{\frac {\partial g}{\partial y}}\cdot Y+{\frac {\partial g}{\partial z}}\cdot Z=ng(X,Y,Z)=0.}$$

${\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial x}}(X,Y,Z)\cdot x+{\frac {\partial g}{\partial y}}(X,Y,Z)\cdot y+{\frac {\partial g}{\partial z}}(X,Y,Z)\cdot z=0.}$

La ecuación de la línea tangente en coordenadas cartesianas se puede encontrar estableciendo z = 1 en esta ecuación. ^[14]

Para aplicar esto a las curvas algebraicas, escriba f ( x ,  y ) como

${\displaystyle f=u_{n}+u_{n-1}+\dots +u_{1}+u_{0}\,}$

donde cada u _r es la suma de todos los términos de grado r . La ecuación homogénea de la curva es entonces

${\displaystyle g=u_{n}+u_{n-1}z+\dots +u_{1}z^{n-1}+u_{0}z^{n}=0.\,}$

Aplicando la ecuación anterior y estableciendo z = 1 se obtiene

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\cdot x+{\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)\cdot y+{\frac {\partial g}{\partial z}}(X,Y,1)=0}$

como la ecuación de la línea tangente. ^[15] La ecuación en esta forma suele ser más sencilla de utilizar en la práctica, ya que no se necesita ninguna simplificación adicional después de su aplicación. ^[14]

Si la curva se da paramétricamente por

${\displaystyle x=x(t),\quad y=y(t)}$

entonces la pendiente de la tangente es

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}{\bigg /}{\frac {dx}{dt}}}$

dando la ecuación para la línea tangente en como ^[16] ${\displaystyle \,t=T,\,X=x(T),\,Y=y(T)}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(T)\cdot (y-Y)={\frac {dy}{dt}}(T)\cdot (x-X).}$

Si

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(T)={\frac {dy}{dt}}(T)=0,}$

La recta tangente no está definida. Sin embargo, puede ocurrir que exista y que se pueda calcular a partir de una ecuación implícita de la curva.

Línea normal a una curva

La línea perpendicular a la línea tangente a una curva en el punto de tangencia se llama línea normal a la curva en ese punto. Las pendientes de las líneas perpendiculares tienen producto −1, por lo que si la ecuación de la curva es y = f ( x ), entonces la pendiente de la línea normal es

${\displaystyle -1{\bigg /}{\frac {dy}{dx}}}$

y se deduce que la ecuación de la recta normal en (X, Y) es

${\displaystyle (x-X)+{\frac {dy}{dx}}(y-Y)=0.}$

De manera similar, si la ecuación de la curva tiene la forma f ( x ,  y ) = 0 entonces la ecuación de la línea normal está dada por ^[17]

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x-X)-{\frac {\partial f}{\partial x}}(y-Y)=0.}$

Si la curva se da paramétricamente por

${\displaystyle x=x(t),\quad y=y(t)}$

entonces la ecuación de la recta normal es ^[16]

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(x-X)+{\frac {dy}{dt}}(y-Y)=0.}$

Angulo entre curvas

El ángulo entre dos curvas en un punto donde se intersecan se define como el ángulo entre sus líneas tangentes en ese punto. Más específicamente, se dice que dos curvas son tangentes en un punto si tienen la misma tangente en un punto, y ortogonales si sus líneas tangentes son ortogonales. ^[18]

Múltiples tangentes en un punto

La trisectriz de Limaçon: curva con dos tangentes en el origen.

Las fórmulas anteriores fallan cuando el punto es un punto singular . En este caso, puede haber dos o más ramas de la curva que pasan por el punto, cada rama tiene su propia línea tangente. Cuando el punto es el origen, las ecuaciones de estas líneas se pueden encontrar para curvas algebraicas factorizando la ecuación formada al eliminar todos los términos de grado menos el más bajo de la ecuación original. Dado que cualquier punto puede convertirse en el origen mediante un cambio de variables (o trasladando la curva), esto proporciona un método para encontrar las líneas tangentes en cualquier punto singular.

Por ejemplo, la ecuación de la trisectriz de Limaçon que se muestra a la derecha es

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-2ax)^{2}=a^{2}(x^{2}+y^{2}).\,}$

Al expandir esto y eliminar todos los términos excepto los de grado 2, obtenemos

${\displaystyle a^{2}(3x^{2}-y^{2})=0\,}$

que, al factorizarse, se convierte en

${\displaystyle y=\pm {\sqrt {3}}x.}$

Así que éstas son las ecuaciones de las dos líneas tangentes que pasan por el origen. ^[19]

Cuando la curva no se cruza consigo misma, la tangente en un punto de referencia puede no estar definida de forma única porque la curva no es diferenciable en ese punto aunque sí lo es en cualquier otro lugar. En este caso, las derivadas izquierda y derecha se definen como los límites de la derivada cuando el punto en el que se evalúa se aproxima al punto de referencia desde la izquierda (valores inferiores) o la derecha (valores superiores), respectivamente. Por ejemplo, la curva y = | x | no es diferenciable en x = 0: sus derivadas izquierda y derecha tienen pendientes respectivas −1 y 1; las tangentes en ese punto con esas pendientes se denominan tangentes izquierda y derecha. ^[20]

A veces, las pendientes de las rectas tangentes izquierda y derecha son iguales, por lo que las rectas tangentes coinciden. Esto es cierto, por ejemplo, para la curva y = x ^2/3 , para la cual tanto la derivada izquierda como la derecha en x = 0 son infinitas; tanto la recta tangente izquierda como la recta tangente derecha tienen ecuación x = 0.

Línea tangente a una curva espacial

En matemáticas , un vector tangente es un vector que es tangente a una curva o superficie en un punto dado. Los vectores tangentes se describen en la geometría diferencial de curvas en el contexto de curvas en R ⁿ . De manera más general, los vectores tangentes son elementos de un espacio tangente de una variedad diferenciable . Los vectores tangentes también se pueden describir en términos de gérmenes . Formalmente, un vector tangente en el punto es una derivación lineal del álgebra definida por el conjunto de gérmenes en . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Círculos tangentes

Dos pares de círculos tangentes. Arriba internamente y abajo externamente tangente

Se dice que dos círculos distintos que se encuentran en el mismo plano son tangentes entre sí si se encuentran exactamente en un punto.

Si los puntos en el plano se describen utilizando coordenadas cartesianas , entonces dos círculos , con radios y centros y son tangentes entre sí siempre que ${\displaystyle r_{1},r_{2}}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$

${\displaystyle \left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}\pm r_{2}\right)^{2}.}$

Los dos círculos se llaman tangentes externamente si la distancia entre sus centros es igual a la suma de sus radios,

${\displaystyle \left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}+r_{2}\right)^{2}.}$

o internamente tangente si la distancia entre sus centros es igual a la diferencia entre sus radios: ^[21]

${\displaystyle \left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}.}$

Plano tangente a una superficie

El plano tangente a una superficie en un punto dado p se define de forma análoga a la recta tangente en el caso de las curvas. Es la mejor aproximación de la superficie por un plano en p , y se puede obtener como la posición límite de los planos que pasan por 3 puntos distintos en la superficie cerca de p cuando estos puntos convergen a p . Matemáticamente, si la superficie está dada por una función , la ecuación del plano tangente en el punto se puede expresar como: ${\displaystyle z=f(x,y)}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$

${\displaystyle z-z_{0}={\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})}$.

Aquí, y son las derivadas parciales de la función con respecto a y respectivamente, evaluadas en el punto . En esencia, el plano tangente captura el comportamiento local de la superficie en el punto específico p . Es un concepto fundamental utilizado en cálculo y geometría diferencial, crucial para comprender cómo cambian las funciones localmente en las superficies. ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$ ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial y}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

Variedades de dimensiones superiores

De manera más general, hay un espacio tangente de dimensión k en cada punto de una variedad de dimensión k en el espacio euclidiano de dimensión n .

Véase también

• El método de Newton
• Normal (geometría)
• Círculo osculador
• Curva osculante
• Plano osculador
• Perpendicular
• Subtangente
• Línea de apoyo
• Cono tangente
• Angulo tangencial
• Componente tangencial
• Rectas tangentes a círculos
• Vector tangente
• Multiplicidad (matemáticas)#Comportamiento de una función polinómica cerca de una raíz múltiple
• Curva algebraica#Tangente en un punto

Referencias

1. En " Nova Methodus pro Maximis et Minimis " ( Acta Eruditorum , octubre de 1684), Leibniz parece tener una noción de líneas tangentes fácilmente desde el principio, pero luego afirma: "modo teneatur in genere, tangentem invenire esse rectam ducere, quae duo curvae puncta distantiam infinito parvam habentia jungat, seu latus productum polygoni infinitanguli, quod nobis curvae aequivalet", es decir. define el método para dibujar tangentes a través de puntos infinitamente cercanos entre sí.
2. Thomas L. Hankins (1985). La ciencia y la Ilustración . Cambridge University Press. pág. 23. ISBN 9780521286190.
3. Dan Sloughter (2000). "Mejores aproximaciones afines"
4. Euclides. «Elementos de Euclides» . Consultado el 1 de junio de 2015 .
5. Shenk, Al. "e-CALCULUS Section 2.8" (PDF) . pág. 2.8 . Consultado el 1 de junio de 2015 .
6. Katz, Victor J. (2008). Una historia de las matemáticas (3.ª ed.). Addison Wesley. pág. 510. ISBN 978-0321387004.
7. Wolfson, Paul R. (2001). "Lo torcido se volvió recto: Roberval y Newton sobre las tangentes". The American Mathematical Monthly . 108 (3): 206–216. doi :10.2307/2695381. JSTOR  2695381.
8. Katz, Victor J. (2008). Una historia de las matemáticas (3.ª ed.). Addison Wesley. pp. 512–514. ISBN 978-0321387004.
9. Noah Webster, Diccionario americano de la lengua inglesa (Nueva York: S. Converse, 1828), vol. 2, pág. 733, [1]
10. Descartes, René (1954) [1637]. La geometría de René Descartes. Traducido por Smith, David Eugene ; Latham, Marcia L. Open Court. pág. 95.
11. RE Langer (octubre de 1937). "René Descartes". American Mathematical Monthly . 44 (8). Asociación Matemática de América: 495–512. doi :10.2307/2301226. JSTOR  2301226.
12. Arte de Edwards 191
13. Strickland-Constable, Charles, "Un método simple para encontrar tangentes a gráficos polinomiales", Mathematical Gazette , noviembre de 2005, 466–467.
14. Arte de Edwards 192
15. Arte de Edwards. 193
16. Arte de Edwards. 196
17. Arte de Edwards. 194
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19. Arte de Edwards. 197
20. Thomas, George B. Jr., y Finney, Ross L. (1979), Cálculo y geometría analítica , Addison Wesley Publ. Co.: pág. 140.
21. "Círculos para el Certificado de fin de estudios de Matemáticas con honores por Thomas O'Sullivan 1997".

Fuentes

• J. Edwards (1892). Cálculo diferencial. Londres: MacMillan and Co., págs. 143 y siguientes.

Enlaces externos

• "Línea tangente", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Línea tangente". MundoMatemático .
• Tangente a un círculo Con animación interactiva
• Tangente y primera derivada: una simulación interactiva