Vector tangente a una curva o superficie en un punto dado
En matemáticas , un vector tangente es un vector que es tangente a una curva o superficie en un punto determinado. Los vectores tangentes se describen en la geometría diferencial de curvas en el contexto de curvas en R n . De manera más general, los vectores tangentes son elementos de un espacio tangente de una variedad diferenciable . Los vectores tangentes también pueden describirse en términos de gérmenes . Formalmente, un vector tangente en el punto es una derivación lineal del álgebra definida por el conjunto de gérmenes en .![{\displaystyle x}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Motivación
Antes de pasar a una definición general del vector tangente, analizamos su uso en cálculo y sus propiedades tensoriales .
Cálculo
Sea una curva suave paramétrica . El vector tangente viene dado por siempre que exista y siempre , donde hemos utilizado un número primo en lugar del habitual punto para indicar la diferenciación con respecto al parámetro t . [1] El vector unitario tangente viene dado por![{\displaystyle \mathbf {r} (t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {r} '(t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {r} '(t)\neq \mathbf {0} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {T} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)}{|\mathbf {r} '(t)|}}\,.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ejemplo
Dada la curva
![{\displaystyle \mathbf {r} (t)=\left\{\left(1+t^{2},e^{2t},\cos {t}\right)\mid t\in \mathbb {R } \bien\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle t=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {T} (0)={\frac {\mathbf {r} '(0)}{\|\mathbf {r} '(0)\|}}=\left.{\frac { (2t,2e^{2t},-\sin {t})}{\sqrt {4t^{2}+4e^{4t}+\sin ^{2}{t}}}}\right|_{ t=0}=(0,1,0)\,.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Contravarianza
Si se da paramétricamente en el sistema de coordenadas n -dimensional x i (aquí hemos utilizado superíndices como índice en lugar del subíndice habitual) por o
![{\displaystyle \mathbf {r} (t)=(x^{1}(t),x^{2}(t),\ldots,x^{n}(t))}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {r} =x^{i}=x^{i}(t),\quad a\leq t\leq b\,,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {T} =T^{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle T^{i}={\frac {dx^{i}}{dt}}\,.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle u^{i}=u^{i}(x^{1},x^{2},\ldots,x^{n}),\quad 1\leq i\leq n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
u i![{\displaystyle {\bar {\mathbf {T} }}={\bar {T}}^{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\bar {T}}^{i}={\frac {du^{i}}{dt}}={\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{s} }}{\frac {dx^{s}}{dt}}=T^{s}{\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{s}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
convención de suma de Einsteincontravariante de orden uno ante un cambio de coordenadas. [2]Definición
Sea una función diferenciable y sea un vector en . Definimos la derivada direccional en la dirección en un punto por![{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {v} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {v} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=\left.{\frac {d}{dt}}f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} ) \right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}v_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(\mathbf {x} ) \,.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
[3]![{\displaystyle \mathbf {x} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {v} (f(\mathbf {x} ))\equiv (\nabla _ {\mathbf {v} }(f))(\mathbf {x} )\,.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Propiedades
Sean funciones diferenciables, sean vectores tangentes en y sean . Entonces![{\displaystyle f,g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {w} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (a\mathbf {v} +b\mathbf {w} )(f)=a\mathbf {v} (f)+b\mathbf {w} (f)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {v} (af+bg)=a\mathbf {v} (f)+b\mathbf {v} (g)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {v} (fg)=f(\mathbf {x} )\mathbf {v} (g)+g(\mathbf {x} )\mathbf {v} (f)\,.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Vector tangente en variedades
Sea una variedad diferenciable y sea el álgebra de funciones diferenciables de valor real en . Entonces el vector tangente a en un punto de la variedad viene dado por la derivación que será lineal, es decir, para cualquiera y tenemos![{\displaystyle M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A(M)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle D_{v}:A(M)\rightarrow \mathbb {R}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f,g\en A(M)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle D_{v}(af+bg)=aD_{v}(f)+bD_{v}(g)\,.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Tenga en cuenta que la derivación tendrá, por definición, la propiedad de Leibniz.
![{\displaystyle D_{v}(f\cdot g)(x)=D_{v}(f)(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot D_{v}(g)(x) \,.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ver también
Referencias
- ^ J. Stewart (2001)
- ^ D. Kay (1988)
- ^ A. Gris (1993)
Bibliografía
- Gray, Alfred (1993), Geometría diferencial moderna de curvas y superficies , Boca Raton: CRC Press.
- Stewart, James (2001), Cálculo: conceptos y contextos , Australia: Thomson/Brooks/Cole.
- Kay, David (1988), Esquema de teoría y problemas del cálculo tensorial de Schaums , Nueva York: McGraw-Hill.