Tabla periódica de aislantes topológicos y superconductores topológicos

Indicación de grupos de simetría topológica para materia condensada topológica

La tabla periódica de aislantes topológicos y superconductores topológicos , también llamada clasificación décuple de aislantes topológicos y superconductores , es una aplicación de la topología a la física de la materia condensada . Indica el grupo matemático para el invariante topológico de los aislantes topológicos y superconductores topológicos, dada una dimensión y una clase de simetría discreta. ^[1] Las diez posibles familias de simetría discreta se clasifican según tres simetrías principales: simetría partícula-hueco , simetría de inversión temporal y simetría quiral . La tabla fue desarrollada entre 2008-2010 ^[1] por la colaboración de Andreas P. Schnyder, Shinsei Ryu , Akira Furusaki y Andreas WW Ludwig; ^{[2] [3]} e independientemente por Alexei Kitaev . ^[4]

Descripción general

Esta tabla se aplica a los aislantes topológicos y a los superconductores topológicos con una brecha de energía, cuando se excluyen las interacciones entre partículas. La tabla ya no es válida si se incluyen las interacciones. ^[1]

Los aislantes topológicos y superconductores se clasifican aquí en diez clases de simetría (A, AII, AI, BDI, D, DIII, AII, CII, C, CI) nombradas según la clasificación de Altland-Zirnbauer, definida aquí por las propiedades del sistema con respecto a tres operadores: el operador de inversión temporal , la conjugación de carga y la simetría quiral . Las clases de simetría se ordenan según el reloj de Bott (ver abajo) de modo que los mismos valores se repitan en las diagonales. ^[5] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S}$

Una X en la tabla de “Simetrías” indica que el hamiltoniano de la simetría está roto respecto del operador dado. Un valor de ±1 indica el valor del operador al cuadrado para ese sistema. ^[5]

La dimensión indica la dimensionalidad de los sistemas: 1D (cadena), 2D (plano) y 3D. Puede extenderse hasta cualquier número de dimensiones enteras positivas. A continuación, puede haber cuatro posibles valores de grupo que se tabulan para una clase y dimensión dadas: ^[5]

• Un valor de 0 indica que no hay fase topológica para esa clase y dimensión.
• El grupo indica que el invariante topológico puede tomar valores enteros (por ejemplo, ±0,±1,±2,...). ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• El grupo de indica que el invariante topológico puede tomar valores pares (por ejemplo ±0,±2,±4,...). ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$
• El grupo de indica que el invariante topológico puede tomar dos valores (por ejemplo ±1). ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Ejemplos físicos

El modelo no quiral Su–Schrieffer–Heeger ( ), se puede asociar con la clase de simetría BDI con un invariante topológico entero debido a la invariancia de calibre . ^{[6] [7]} El problema es similar al efecto Hall cuántico entero y al efecto Hall anómalo cuántico (ambos en ) que son de clase A, con número de Chern entero . ^[8] ${\displaystyle d=1}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle d=2}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Por el contrario, la cadena de Kitaev ( ), es un ejemplo de clase de simetría D, con un invariante topológico binario. ^[7] De manera similar, los superconductores ( ) también están en la clase D, pero con un invariante topológico. ^[7] ${\displaystyle d=1}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle p_{x}+ip_{y}}$ ${\displaystyle d=2}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

El efecto Hall de espín cuántico ( ) descrito por el modelo de Kane-Mele es un ejemplo de la clase AII, con un invariante topológico. ^[9] ${\displaystyle d=2}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Construcción

Clases de simetría discreta

Existen diez clases de simetría discreta de aislantes y superconductores topológicos, correspondientes a las diez clases Altland–Zirnbauer de matrices aleatorias . Se definen mediante tres simetrías del hamiltoniano , (donde , y , son los operadores de aniquilación y creación del modo , en alguna base espacial arbitraria): simetría de inversión temporal , simetría de partícula-hueco (o conjugación de carga ) y simetría quiral (o de subred). ${\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{i,j}H_{ij}c_{i}^{\dagger }c_{j}}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle c_{i}^{\dagger }}$ ${\displaystyle i}$

• La simetría quiral es un operador unitario , que actúa sobre , como una rotación unitaria ( ,) y satisface . Un hamiltoniano posee simetría quiral cuando , para alguna elección de (en el nivel de los hamiltonianos de primera cuantificación, esto significa que y son matrices anticonmutativas). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle Sc_{i}S^{-1}=(U_{S})_{ij}c_{j}}$ ${\displaystyle S^{2}=1}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S{\hat {H}}S^{-1}=-{\hat {H}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle U_{S}}$ ${\displaystyle H}$

• La simetría de inversión temporal (TRS) es un operador antiunitario , que actúa sobre , (donde , es un coeficiente complejo arbitrario, y , denota conjugación compleja) como . Puede escribirse como donde es el operador de conjugación complejo y es una matriz unitaria. O bien . Un hamiltoniano con simetría de inversión temporal satisface , o en el nivel de matrices cuantificadas primero, , para alguna elección de . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \alpha c_{i}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle ^{*}}$ ${\displaystyle T\alpha c_{i}T^{-1}=\alpha ^{*}{(U_{T})}_{ij}c_{j}}$ ${\displaystyle T=U_{T}{\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle U_{T}}$ ${\displaystyle T^{2}=1}$ ${\displaystyle T^{2}=-1}$ ${\displaystyle T{\hat {H}}T^{-1}={\hat {H}}}$ ${\displaystyle U_{T}H^{*}U_{T}^{-1}=H}$ ${\displaystyle U_{T}}$

• La conjugación de carga o simetría partícula-hueco (PHS) también es un operador antiunitario que actúa sobre como , y puede escribirse como donde es unitario. Nuevamente o bien o bien dependiendo de lo que sea. Un hamiltoniano con simetría partícula-hueco satisface , o en el nivel de matrices hamiltonianas cuantificadas primero, , para alguna elección de . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \alpha c_{i}}$ ${\displaystyle C\alpha c_{i}C^{-1}=\alpha ^{*}(U_{C}^{\dagger })_{ji}c_{j}}$ ${\displaystyle C=U_{C}{\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle U_{C}}$ ${\displaystyle C^{2}=1}$ ${\displaystyle C^{2}=-1}$ ${\displaystyle U_{C}}$ ${\displaystyle C{\hat {H}}C^{-1}=-{\hat {H}}}$ ${\displaystyle U_{C}H^{*}U_{C}^{-1}=-H}$ ${\displaystyle U_{C}}$

En el formalismo hamiltoniano de Bloch para estructuras cristalinas , donde el hamiltoniano actúa sobre los modos del momento cristalino , las condiciones de simetría quiral, TRS y PHS se convierten en ${\displaystyle H(k)}$ ${\displaystyle k}$

• ${\displaystyle U_{S}H(k)U_{S}^{-1}=-H(k)}$(simetría quiral)

• ${\displaystyle U_{T}H(k)^{*}U_{T}^{-1}=H(-k)}$(simetría de inversión temporal),

• ${\displaystyle U_{C}H(k)^{*}U_{C}^{-1}=-H(-k)}$(simetría partícula-agujero).

Es evidente que si dos de estas tres simetrías están presentes, entonces la tercera también está presente, debido a la relación . ${\displaystyle S=TC}$

Las simetrías discretas mencionadas anteriormente etiquetan 10 clases de simetría discreta distintas, que coinciden con las clases Altland-Zirnbauer de matrices aleatorias.

Clases de equivalencia de hamiltonianos

Un hamiltoniano en volumen en un grupo de simetría particular está restringido a ser una matriz hermítica sin valores propios de energía cero (es decir, de modo que el espectro esté "abierto" y el sistema sea un aislante en volumen) que satisfaga las restricciones de simetría del grupo. En el caso de las dimensiones, este hamiltoniano es una función continua de los parámetros en el vector de momento de Bloch en la zona de Brillouin ; entonces las restricciones de simetría deben cumplirse para todos los . ${\displaystyle d>0}$ ${\displaystyle H(k)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\vec {k}}}$ ${\displaystyle {\vec {k}}}$

Dados dos hamiltonianos y , puede ser posible deformarlos continuamente en mientras se mantiene la restricción de simetría y la brecha (es decir, existe una función continua tal que para todos los hamiltonianos no tiene valor propio cero y se mantiene la condición de simetría, y y ). Entonces decimos que y son equivalentes. ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle H(t,{\vec {k}})}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$ ${\displaystyle H(0,{\vec {k}})=H_{1}({\vec {k}})}$ ${\displaystyle H(1,{\vec {k}})=H_{2}({\vec {k}})}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$

Sin embargo, también puede resultar que no exista tal deformación continua. En este caso, físicamente, si dos materiales con hamiltonianos volumétricos y , respectivamente, están vecinos entre sí con un borde entre ellos, cuando uno se mueve continuamente a través del borde debe encontrarse con un valor propio cero (ya que no hay ninguna transformación continua que evite esto). Esto puede manifestarse como un modo de borde de energía cero sin brechas o una corriente eléctrica que solo fluye a lo largo del borde. ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$

Una pregunta interesante es preguntar, dada una clase de simetría y una dimensión de la zona de Brillouin, cuáles son todas las clases de equivalencia de los hamiltonianos. Cada clase de equivalencia puede etiquetarse mediante un invariante topológico; dos hamiltonianos cuyos invariantes topológicos sean diferentes no pueden deformarse entre sí y pertenecen a clases de equivalencia diferentes.

Espacios de clasificación de hamiltonianos

Para cada una de las clases de simetría, la cuestión se puede simplificar deformando el hamiltoniano en un hamiltoniano "proyectivo" y considerando el espacio simétrico en el que viven dichos hamiltonianos. Estos espacios de clasificación se muestran para cada clase de simetría: ^[4]

Por ejemplo, un hamiltoniano (simétrico real) en la clase de simetría AI puede tener sus valores propios positivos deformados a +1 y sus valores propios negativos deformados a -1; las matrices resultantes se describen mediante la unión de Grassmannianos reales. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N-n}$ ${\displaystyle \bigcup _{n=0}^{\infty }\mathrm {Gr} (n,N)=\bigcup _{n=0}^{\infty }\mathrm {O} (N)/\mathrm {\mathrm {O} } (n)\times \mathrm {\mathrm {O} } (N-n)}$

Clasificación de invariantes

Los invariantes topológicos fuertes de un sistema multibanda en dimensiones se pueden etiquetar con los elementos del -ésimo grupo de homotopía del espacio simétrico. Estos grupos se muestran en esta tabla, llamada tabla periódica de aislantes topológicos: ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$

También pueden existir invariantes topológicos débiles (asociados al hecho de que la suspensión de la zona de Brillouin es de hecho equivalente a una esfera acuñada con esferas de menor dimensión), que no están incluidas en esta tabla. Además, la tabla supone el límite de un número infinito de bandas, es decir, implica hamiltonianos para . ${\displaystyle d+1}$ ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle N\to \infty }$

La tabla también es periódica en el sentido de que el grupo de invariantes en dimensiones es el mismo que el grupo de invariantes en dimensiones. En el caso de que no haya simetrías antiunitarias, los grupos de invariantes son periódicos en dimensión por 2. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d+8}$

Para las clases de simetría no triviales, el invariante real se puede definir mediante una de las siguientes integrales sobre toda o parte de la zona de Brillouin: el número de Chern , el número de bobinado de Wess-Zumino , el invariante de Chern-Simons y el invariante de Fu-Kane.

Reducción dimensional y reloj Bott

La tabla periódica también muestra una propiedad peculiar: los grupos invariantes en dimensiones son idénticos a los de las dimensiones pero en una clase de simetría diferente. Entre las clases de simetría complejas, el grupo invariante para A en dimensiones es el mismo que el de AIII en dimensiones, y viceversa. También se puede imaginar organizar cada una de las ocho clases de simetría reales en el plano cartesiano de manera que la coordenada sea si la simetría de inversión temporal está presente y si está ausente, y la coordenada sea si la simetría de hueco de partícula está presente y si está ausente. Entonces el grupo invariante en dimensiones para una cierta clase de simetría real es el mismo que el grupo invariante en dimensiones para la clase de simetría directamente un espacio en el sentido de las agujas del reloj. Este fenómeno fue denominado el reloj de Bott por Alexei Kitaev , en referencia al teorema de periodicidad de Bott . ^{[1] [10]} ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d-1}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d-1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T^{2}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d-1}$

El reloj de Bott se puede entender considerando el problema de las extensiones del álgebra de Clifford . ^[1] Cerca de una interfaz entre dos materiales a granel no equivalentes, el hamiltoniano se acerca a un cierre de brecha. Para la expansión de orden más bajo en momento ligeramente lejos del cierre de brecha, el hamiltoniano toma la forma de un hamiltoniano de Dirac . Aquí, son una representación del álgebra de Clifford , mientras que es un "término de masa" agregado que y anticonmuta con el resto del hamiltoniano y se desvanece en la interfaz (dando así a la interfaz un modo de borde sin brecha en ). El término para el hamiltoniano en un lado de la interfaz no se puede deformar continuamente en el término para el hamiltoniano en el otro lado de la interfaz. Por lo tanto (dejando que sea un escalar positivo arbitrario) el problema de clasificar invariantes topológicos se reduce al problema de clasificar todas las posibles opciones no equivalentes de para extender el álgebra de Clifford a una dimensión superior, mientras se mantienen las restricciones de simetría. ${\displaystyle H_{\text{Dirac}}({\vec {k}})=\sum _{j=1}^{d}\Gamma _{j}v_{j}k_{j}+m\Gamma _{0}}$ ${\displaystyle \Gamma _{1},\Gamma _{2},\ldots ,\Gamma _{d}}$ ${\displaystyle \lbrace \Gamma _{i},\Gamma _{j}\rbrace =2\delta _{ij}}$ ${\displaystyle m\Gamma _{0}}$ ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle m\Gamma _{0}}$ ${\displaystyle m\Gamma _{0}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \Gamma _{0}}$

Véase también

• Orden topológico protegido por simetría

Referencias

• Altland, Alexander; Zirnbauer, Martin R. (1997). "Nuevas clases de simetría en estructuras híbridas superconductoras normales mesoscópicas". Physical Review B . 55 (2): 1142. arXiv : cond-mat/9602137 . Código Bibliográfico :1997PhRvB..55.1142A. doi :10.1103/PhysRevB.55.1142. S2CID  96427496.

1. Chiu, C.; J. Teo; A. Schnyder; S. Ryu (2016). "Clasificación de la materia cuántica topológica con simetrías". Rev. Mod. Phys . 88 (35005): 035005. arXiv : 1505.03535 . Bibcode :2016RvMP...88c5005C. doi :10.1103/RevModPhys.88.035005. S2CID  119294876.
2. Schnyder, Andreas P.; Ryu, Shinsei; Furusaki, Akira; Ludwig, Andreas WW (26 de noviembre de 2008). "Clasificación de aislantes topológicos y superconductores en tres dimensiones espaciales". Physical Review B . 78 (19): 195125. arXiv : 0803.2786 . Código Bibliográfico :2008PhRvB..78s5125S. doi :10.1103/PhysRevB.78.195125.
3. Ryu, Shinsei; Schnyder, Andreas P; Furusaki, Akira; Ludwig, Andreas WW (17 de junio de 2010). "Aislantes topológicos y superconductores: camino de diez vías y jerarquía dimensional". New Journal of Physics . 12 (6): 065010. arXiv : 0912.2157 . Bibcode :2010NJPh...12f5010R. doi :10.1088/1367-2630/12/6/065010. ISSN  1367-2630.
4. Kitaev, Alexei (2009). "Tabla periódica de aislantes topológicos y superconductores". Actas de la conferencia AIP . AIP. págs. 22–30. arXiv : 0901.2686 . doi :10.1063/1.3149495.
5. Equipo del curso de Topología de abc (2021). «10 clases de simetría y la tabla periódica de aislantes topológicos». Curso online de topología en materia condensada - TU Delft . Consultado el 13 de septiembre de 2024 .
6. Sachdev, Subir (13 de abril de 2023). Fases cuánticas de la materia. Cambridge University Press. ISBN 978-1-009-21269-4.
7. Huber, Sebastian (2013). "5 aislantes topológicos y superconductores". Números cuánticos topológicos en sistemas de materia condensada. ETH Zurich.
8. Altland, Alexander; Simons, Ben (14 de septiembre de 2023). Teoría de campos de materia condensada. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-49460-1.
9. Stanescu, Tudor D. (2 de julio de 2024). Introducción a la materia cuántica topológica y la computación cuántica. CRC Press. ISBN 978-1-040-04191-8.
10. Ryu, Shinsei. "Enfoque general para la clasificación topológica". Topología en materia condensada . Consultado el 30 de abril de 2018 .

Enlaces externos

• Baez, John C. (19 de julio de 2014). "El camino de diez pasos (parte 1)". The n-Category Café . Consultado el 26 de octubre de 2018 .