Tabla periódica de invariantes topológicas.

Indicación de grupos de simetría topológica a materia condensada topológica.

La tabla periódica de invariantes topológicas es una aplicación de la topología a la física . Indica el grupo de invariantes topológicos para aisladores topológicos y superconductores topológicos en cada dimensión y en cada clase de simetría discreta. ^[1]

Clases de simetría discreta.

Hay diez clases de simetría discreta de aisladores topológicos y superconductores, correspondientes a las diez clases de matrices aleatorias de Altland-Zirnbauer . Están definidos por tres simetrías del hamiltoniano (donde , y , son los operadores de aniquilación y creación del modo , en alguna base espacial arbitraria): simetría de inversión del tiempo, simetría de agujero de partícula (o conjugación de carga) y quiral (o subred) simetría. ${\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{i,j}H_{ij}c_{i}^{\dagger }c_{j}}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle c_{i}^{\dagger }}$ ${\displaystyle i}$

La simetría quiral es un operador unitario , que actúa sobre , como una rotación unitaria ( ,) y satisface . Un hamiltoniano posee simetría quiral cuando , para alguna elección de (en el nivel de los hamiltonianos primeramente cuantificados, esto significa y son matrices anticonmutantes). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle Sc_{i}S^{-1}=(U_{S})_{ij}c_{j}}$ ${\displaystyle S^{2}=1}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S{\hat {H}}S^{-1}=-{\hat {H}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle U_{S}}$ ${\displaystyle H}$

La inversión de tiempo es un operador antiunitario que actúa sobre (donde , es un coeficiente complejo arbitrario y denota conjugación compleja) como . Se puede escribir como donde está el operador de conjugación complejo y es una matriz unitaria. Cualquiera o . Un hamiltoniano con simetría de inversión temporal satisface , o en el nivel de matrices primero cuantificadas, para alguna elección de . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \alpha c_{i}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle ^{*}}$ ${\displaystyle T\alpha c_{i}T^{-1}=\alpha ^{*}{(U_{T})}_{ij}c_{j}}$ ${\displaystyle T=U_{T}{\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle U_{T}}$ ${\displaystyle T^{2}=1}$ ${\displaystyle T^{2}=-1}$ ${\displaystyle T{\hat {H}}T^{-1}={\hat {H}}}$ ${\displaystyle U_{T}H^{*}U_{T}^{-1}=H}$ ${\displaystyle U_{T}}$

La conjugación de carga también es un operador antiunitario que actúa como y puede escribirse como donde es unitario. De nuevo cualquiera o dependiendo de lo que sea. Un hamiltoniano con simetría de huecos de partículas satisface , o en el nivel de matrices hamiltonianas primero cuantificadas, para alguna elección de . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \alpha c_{i}}$ ${\displaystyle C\alpha c_{i}C^{-1}=\alpha ^{*}(U_{C}^{\dagger })_{ji}c_{j}}$ ${\displaystyle C=U_{C}{\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle U_{C}}$ ${\displaystyle C^{2}=1}$ ${\displaystyle C^{2}=-1}$ ${\displaystyle U_{C}}$ ${\displaystyle C{\hat {H}}C^{-1}=-{\hat {H}}}$ ${\displaystyle U_{C}H^{*}U_{C}^{-1}=-H}$ ${\displaystyle U_{C}}$

En el formalismo hamiltoniano de Bloch para cristales periódicos, donde el hamiltoniano actúa sobre modos de momento cristalino , las condiciones de simetría quiral, TRS y PHS se convierten en y . ${\displaystyle H(k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle U_{S}H(k)U_{S}^{-1}=-H(k)}$ ${\displaystyle U_{T}H(k)^{*}U_{T}^{-1}=H(-k)}$ ${\displaystyle U_{C}H(k)^{*}U_{C}^{-1}=-H(-k)}$

Es evidente que si dos de estas tres simetrías están presentes, entonces la tercera también está presente, debido a la relación . ${\displaystyle S=TC}$

Las simetrías discretas antes mencionadas etiquetan 10 clases distintas de simetría discreta, que coinciden con las clases de matrices aleatorias de Altland-Zirnbauer.

Clases de equivalencia de hamiltonianos

Un hamiltoniano en masa en un grupo de simetría particular está restringido a ser una matriz hermitiana sin valores propios de energía cero (es decir, de modo que el espectro esté "cortado" y el sistema sea un aislante en masa) que satisfaga las restricciones de simetría del grupo. En el caso de las dimensiones, este hamiltoniano es una función continua de los parámetros en el vector momento de Bloch en la zona de Brillouin ; entonces las restricciones de simetría deben cumplirse para todos . ${\displaystyle d>0}$ ${\displaystyle H(k)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\vec {k}}}$ ${\displaystyle {\vec {k}}}$

Dados dos hamiltonianos y , puede ser posible deformarse continuamente mientras se mantiene la restricción de simetría y la brecha (es decir, existe una función continua tal que para todos el hamiltoniano no tiene valor propio cero y se mantiene la condición de simetría, y y ). Entonces decimos eso y son equivalentes. ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle H(t,{\vec {k}})}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$ ${\displaystyle H(0,{\vec {k}})=H_{1}({\vec {k}})}$ ${\displaystyle H(1,{\vec {k}})=H_{2}({\vec {k}})}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$

Sin embargo, también puede resultar que no exista tal deformación continua. en este caso, físicamente si dos materiales con hamiltonianos en masa y , respectivamente, son vecinos entre sí con un borde entre ellos, cuando uno se mueve continuamente a través del borde debe encontrar un valor propio cero (ya que no existe una transformación continua que evite esto). Esto puede manifestarse como un modo de borde de energía cero sin espacios o una corriente eléctrica que solo fluye a lo largo del borde. ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$

Una pregunta interesante es preguntar, dada una clase de simetría y una dimensión de la zona de Brillouin, ¿cuáles son todas las clases de equivalencia de los hamiltonianos? Cada clase de equivalencia puede etiquetarse mediante una invariante topológica; dos hamiltonianos cuyos invariantes topológicos son diferentes no pueden deformarse entre sí y pertenecen a diferentes clases de equivalencia.

Clasificación de espacios de hamiltonianos

Para cada una de las clases de simetría, la cuestión se puede simplificar deformando el hamiltoniano en un hamiltoniano "proyectivo" y considerando el espacio simétrico en el que viven dichos hamiltonianos. Estos espacios de clasificación se muestran para cada clase de simetría: ^[2]

Por ejemplo, un hamiltoniano (simétrico real) en la clase de simetría AI puede tener sus valores propios positivos deformados a +1 y sus valores propios negativos deformados a -1; las matrices resultantes se describen mediante la unión de Grassmannianos reales ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N-n}$ ${\displaystyle \bigcup _{n=0}^{\infty }Gr(n,N)=\bigcup _{n=0}^{\infty }O(N)/O(n)\times O(N-n)}$

Clasificación de invariantes

Los fuertes invariantes topológicos de un sistema de muchas bandas en dimensiones pueden etiquetarse mediante los elementos del -ésimo grupo de homotopía del espacio simétrico. Estos grupos se muestran en esta tabla, llamada tabla periódica de aisladores topológicos: ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$

También pueden existir invariantes topológicos débiles (asociados al hecho de que la suspensión de la zona de Brillouin es de hecho equivalente a una esfera encajada con esferas de dimensiones inferiores), que no están incluidas en esta tabla. Además, la tabla supone el límite de un número infinito de bandas, es decir, implica hamiltonianos para . ${\displaystyle d+1}$ ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle N\to \infty }$

La tabla también es periódica en el sentido de que el grupo de invariantes en dimensiones es el mismo que el grupo de invariantes en dimensiones. En el caso de que no haya simetrías antiunitarias, los grupos invariantes son periódicos en dimensión por 2. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d+8}$

Para clases de simetría no triviales, el invariante real puede definirse mediante una de las siguientes integrales sobre toda o parte de la zona de Brillouin: el número de Chern , el número de devanado de Wess-Zumino , el invariante de Chern-Simons , el invariante de Fu-Kane.

Reducción dimensional y reloj Bott.

La tabla periódica también muestra una propiedad peculiar: los grupos invariantes en las dimensiones son idénticos a los de las dimensiones pero en una clase de simetría diferente. Entre las clases de simetría complejas, el grupo invariante para A en dimensiones es el mismo que para AIII en dimensiones, y viceversa. También se puede imaginar organizar cada una de las ocho clases de simetría real en el plano cartesiano de modo que la coordenada sea si la simetría de inversión del tiempo está presente y si está ausente, y la coordenada es si la simetría de huecos de partículas está presente y si está ausente. Entonces el grupo invariante en dimensiones para una determinada clase de simetría real es el mismo que el grupo invariante en dimensiones para la clase de simetría directamente un espacio en el sentido de las agujas del reloj. Este fenómeno fue denominado "reloj de Bott" por Alexei Kitaev , en referencia al teorema de periodicidad de Bott . ^{[1] [3]} ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d-1}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d-1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T^{2}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d-1}$

El reloj de Bott puede entenderse considerando el problema de las extensiones del álgebra de Clifford . ^[1] Cerca de una interfaz entre dos materiales a granel no equivalentes, el hamiltoniano se acerca al cierre de una brecha. Para una expansión de impulso de orden más bajo ligeramente alejada del cierre de la brecha, el hamiltoniano toma la forma de un hamiltoniano de Dirac . Aquí, hay una representación del álgebra de Clifford , mientras que hay un "término masivo" agregado que anticonmuta con el resto del hamiltoniano y desaparece en la interfaz (dándole así a la interfaz un modo de borde sin espacios en ). El término para el hamiltoniano en un lado de la interfaz no se puede deformar continuamente en el término para el hamiltoniano en el otro lado de la interfaz. Así (dejando que sea un escalar positivo arbitrario) el problema de clasificar invariantes topológicos se reduce al problema de clasificar todas las posibles elecciones no equivalentes para extender el álgebra de Clifford a una dimensión superior, manteniendo al mismo tiempo las restricciones de simetría. ${\displaystyle H_{\text{Dirac}}({\vec {k}})=\sum _{j=1}^{d}\Gamma _{j}v_{j}k_{j}+m\Gamma _{0}}$ ${\displaystyle \Gamma _{1},\Gamma _{2},\ldots ,\Gamma _{d}}$ ${\displaystyle \lbrace \Gamma _{i},\Gamma _{j}\rbrace =2\delta _{ij}}$ ${\displaystyle m\Gamma _{0}}$ ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle m\Gamma _{0}}$ ${\displaystyle m\Gamma _{0}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \Gamma _{0}}$

Ver también

• Orden topológico protegido por simetría

Referencias

• Altland, Alejandro; Zirnbauer, Martín R. (1997). "Nuevas clases de simetría en estructuras híbridas mesoscópicas superconductoras normales". Revisión física B. 55 (2): 1142. arXiv : cond-mat/9602137 . Código bibliográfico : 1997PhRvB..55.1142A. doi :10.1103/PhysRevB.55.1142. S2CID  96427496.

1. Chiu, C.; J. Teo; A. Schnyder; S. Ryu (2016). "Clasificación de la materia cuántica topológica con simetrías". Mod. Rev. Física . 88 (35005): 035005. arXiv : 1505.03535 . Código Bib : 2016RvMP...88c5005C. doi : 10.1103/RevModPhys.88.035005. S2CID  119294876.
2. Kitaev, Alexei . Tabla periódica de aisladores y superconductores topológicos, Actas de la conferencia AIP 1134 , 22 (2009); doi : 10.1063/1.3149495, arXiv : 0901.2686
3. Ryu, Shinsei. "Enfoque general de la clasificación topológica". Topología en Materia Condensada . Consultado el 30 de abril de 2018 .

enlaces externos

• Báez, John C. (19 de julio de 2014). "El camino diez veces mayor (Parte 1)". El Café de categoría n . Consultado el 26 de octubre de 2018 .